【转】第5章数据的描述性分析

文章来源于：炼数成金；摘自《数据分析：R语言实战》

第5章数据的描述性分析

通过前面两章的学习，我们知道，数据收集是取得统计数据的过程，数据预处理是将数据中的问题清理干净，那么接下来的步骤就是统计分析了。数据分析是通过统计方法研究数据的过程，所用的方法分为描述性统计和统计推断两部分。描述性统计用编制图表、计算统计量等形式对数据进行加工处理和显示，进而综合、概括和分析，得出反映所研究数据的一般性特征——数字特征、分布状态等。

描述性统计分析是统计分析的第一步，做好这一步是下面进行正确统计推断的先决条件。

本章将分别从统计量和图形的角度描述样本的分布特征，重点介绍如何运用R中的函数完成。

5.1 R内置的分布
分布是描述一个样本数据最核心、最重要的方式。R内嵌了很多常用的统计分布，提供了四类函数：概率密度函数（density）、累积分布函数（probability）、分位数（quantile）和伪随机数（random）。在R中分别用d、p、q、r表示这4个项目，后面接分布的英文名称或缩写。

例如正态分布的4个函数分别表示为dnorm、pnorm、qnorm及rnorm。表5.1列出了R中的分布函数，每个分布函数都有各自的参数，有些有默认值（如正态分布默认为N(0,1)），有些则没有。

最常用的函数一般都来自于统计分析程序包stats，它不需要手动安装，打开R的同时其就已经自动加载。另外，有些分布较为复杂但在统计上应用较广，例如Wishart分布和Pareto分布，使用它们需要加载新的程序包。

表5.1 R内置的分布及对应函数

分　布	R函数	参数及默认值	所属程序包
贝塔Beta	_beta	shape1, shape2, ncp=0	stats
二项Binomial	_binom	size, prob
柯西Cauchy	_cauchy	location=0, scale=1
卡方Chi-square(x²)	_chisq	df, ncp
指数Exponential	_exp	rate
F分布Fisher-Snedecor	_f	df1, df2, ncp
伽马Gamma	_gamma	shape, scale=1
几何Geometric	_geom	prob
超几何Hypergeometric	_hyper	m, n, k
对数正态Lognormal	_lnorm	meanlog=0, sdlog=1
逻辑斯蒂Logistic	_logis	location=0, scale=1
负二项Negative binomial	_nbinom	size, prob
多项式Multinomial	_multinom	size, prob
正态Normal	_norm	mean=0, sd=1
泊松Poisson	_pois	lambda
学生Student’s t	_t	df
均匀Uniform	_unif	min=0, max=1
威布尔Weibull	_weibull	shape, scale=1
威尔考克森Wilcoxon	_wilcox	m, n
帕累托Pareto	_pareto	shape, scale	actuar （含有许多逆函数）
布尔Burr	_burr	shape1, shape2, rate=1 (scale=1/rate)
逆指数Inverse Exponential	_invexp	rate
狄利克雷Dirichlet	_dirichlet	alpha	MCMCpack （蒙特卡罗，马氏链）
威沙特Wishart	_wish	v, S
逆威沙特Inverse Wishart	_iwish	v, S
广义极值 Generalized Extreme Value	_gev	xi, mu, sigma	evir （极值统计分析）
广义帕累托 Generalized Pareto	_gpd	xi=1, mu=0, sigma=1	evir （极值统计分析）
多元正态 Multivariate Normal	_mvnorm	mean, sigma	mvtnorm
多元t分布Multivariate-t	_mvt	sigma=diag(2), df=1	mvtnorm

5.2 集中趋势的分析
5.2.1 集中趋势的测度
样本观测值来自于总体，其中含有总体各方面的信息，乍看这些信息有时显得杂乱无章，需要对样本进行加工，通过探索性分析、计算统计量来提炼有用的信息。
描述数据分布特征的统计量可分为两类：一类表示数量的中心位置；另一类表示数量的变异程度（或称离散程度）。两者相互补充，共同反映数据的全貌。
描述统计分布集中趋势的指标主要是平均数、中位数、众数，也称为“平均指标”。这些指标的主要作用包括：
 反映总体各单位变量分布的集中趋势和一般水平；
 便于比较同类现象在不同单位之间的水平；
 便于比较同类现象在不同时期的发展变化趋势或规律；

 用于分析现象之间的依存关系。

（1）均值（平均数）
均值是最常用于度量数据平均水平的统计量，记为，定义为

（2）众数
一组数据中出现次数最多的观测值叫做众数，用表示。众数测度数据的集中性趋势，一般在数据量较大的情况下，众数比较有意义。众数不受极端值的影响，一组数据分布的最高位置对应的数值即众数。
如果数据没有明显的集中趋势，那么众数可能不存在；如果有两个最高峰点，那么这组数据就有两个众数。
（3）中位数
中位数简单来讲就是数据排序位于中间位置的值，记为，即

中位数描述数据中心位置，对于对称分布的数据，均值接近中位数；偏态分布是指频数分布不对称，集中位置偏向一侧，数据的均值则与中位数不同。
中位数是描述分析中重要的统计量，与众数类似，它的显著特点在于不受异常值的影响，具有稳健性。
平均数、众数和中位数三者一起可以对数据的分布形式做简单描述。
 如果数据具有单一众数且分布对称，那么均值、众数和中位数相等，即。
 若集中位置偏向数值小的一侧，称为正偏态分布，也称右偏分布（可以简单地记为分布的“尾巴”在右边）。此时数据存在极大值，必然拉动均值向极大值一方靠拢，因此，如图5.1(b)所示。
 如果集中位置偏向数值大的一侧，称为负偏态分布，也叫左偏分布，即，如图5.1(a)所示。

（4）分位数

中位数是将数据等分后中间位置的点，与之类似的还有四分位点、十分位点和百分位点。常用的是数据排序后处于25%和75%位置上的值，即四分位点。

5.2.2 R语言实现

R中的函数mean()用于计算样本均值，其调用格式如下：

mean(x, trim = 0, na.rm = FALSE, ...)

内部的参数x是计算对象，可以为向量、矩阵、数据或数据框；trim用于设置计算前去掉与均值差别较大数据的比例，默认为0，表示计算中包括全部数据；na.rm默认为FALSE，表示不允许数据有缺失。

我们使用2007.01-2012.09时间段中国人寿股票价格的样本作为实例，具体说明用R如何做描述统计。这一数据集读入后包含两列，第一列为交易日期，第二列为当日收盘价：

> data=read.csv("d:/data/中国人寿股价.csv")

>attach(data)

The following object is masked from data (position 3):

Clsprc, Trddt

>price=Clsprc[!is.na(Clsprc)] #获得价格向量，同时去掉缺失数据

>mean(price)

[1] 27.83326

有时计算均值时，我们希望赋予各变量的权重是不一样的，也就是要计算加权平均数，这时用到的指令是weighted.mean(x,w,…)，其中x是样本数据，w是与x长度相等的数值型向量，用于指出赋予样本各数据的权重值。

中位数通过函数median()计算，该函数与mean()的使用方法相同。由计算结果发现，均值略大于中位数，可以初步判断，中国人寿股价样本呈右偏分布。

>median(price)

[1] 24.02

分位数通过quantile()计算，x是数值向量，probs给出相应的百分位数，默认值是（0,0.25,0.5,0.75,1），na.rm=FALSE表示不允许包含缺失数据。

默认条件下，可以直接计算出“五数”：最小值、25%的四分位数、中位数、75%的四分位数和最大值。函数fivenum()用来计算五数。

quantile(x, probs = seq(0, 1, 0.25), na.rm = FALSE,names = TRUE, type = 7, ...)

>quantile(price)

0% 25% 50% 75% 100%

14.740 19.285 24.020 31.160 75.080

>fivenum(price)

[1] 14.74 19.27 24.02 31.16 75.08

>min(price);max(price)

[1] 14.74

[1] 75.08

这样一个一个地输入函数非常不方便，R提供了总体描述的函数。函数summary()可以计算出一组数据的五数和均值。

>summary(price)

Min.1st Qu.Median Mean3rd Qu. Max.

14.74 19.28 24.02 27.83 31.16 75.08

另外，在R中没有直接的函数用来计算众数。对于离散型样本数据，可以简单地手动计算，使用指令which.max(table(x))。但像本例中这样的连续型样本，众数的定义是其分布的密度函数峰值对应的取值，这就需要我们自己写一个函数（function）来计算，然而出于描述数据分布形态的目的，我们大可以直接画出直方图来观察众数的大概位置。

5.3 离散趋势的分析

集中趋势只是数据分布的一个概括性度量，它反映的是各变量值向中心值聚集的程度。而变量的分散程度如何度量呢？分散程度，即各观测值远离中心值的程度，也称为“离中趋势”。离散程度越小，数据的代表性就越好。

5.3.1 离散趋势的测度

数据分布的离散程度主要靠极差、四分差、平均差、方差、标准差等统计指标来度量。在实际分析中，离散程度分析主要有以下作用：

衡量平均指标的代表性；
反映社会经济活动的均衡性；
研究总体标志值分布偏离正态的情况；
抽样推断等统计分析的一个基本指标。

（1）极差

首先从最简单的统计量入手，极差是描述数据离散程度最简单的测度值，是样本数据中两个极端值之差，也称为全距。数据越分散，极差越大。

极差计算简单又容易理解，但它只是利用了数据两端的信息，容易受极端值的影响，并且没有充分利用数列的信息

（2）四分位差

数据的四分位差是两个四分位点之差，反映了中间50%数据的离散程度，其数值越小，说明中间的数据越集中。

虽然四分位差避免了极端数据的影响，但“掐头去尾”后仍然丢失很多信息。

（3）方差与标准差

描述离散程度，最常用的指标是方差和标准差，它们利用了样本的全部信息去描述数据取值分散性。方差是各样本相对均值的偏差平方和的平均，即

方差的平方根，称为标准差。与方差不同的是，标准差是具有量纲的，它与变量值的计量单位相同，因此具有较强的实际意义，在实际分析中会比较常用。

（4）变异系数
一组数据的标准差与相应平均数之比，称为变异系数，也叫做离散系数。它是刻画数据相对分散性的一种度量，记为CV。既然是“相对”，说明它去除了单位的影响，因此是个无量纲的统计量，用百分数表示。在实际应用中可以消除由于不同计量单位、不同平均水平所产生的影响。

5.3.2 R语言实现

可以通过函数range()计算极差。给出最小值和最大值两个点，再相减得到。

> m=range(price);m[2]-m[1]

[1] 60.34

>max(price)-min(price)

[1] 60.34

四分位差同样需要手动计算，比较便捷的方法是直接使用函数fivenum()。

> q=fivenum(price);q[4]-q[2]

[1] 11.89

R中的方差函数和标准差函数分别是var()和sd()，非常简单。还可以手动输入公式，计算验证一下。

var(x, y = NULL, na.rm = FALSE, use)

sd(x, na.rm = FALSE)

>var(price);sd(price)

[1] 138.7829

[1] 11.78061

>sqrt((sum(price^2)-(sum(price))^2/length(price))/(length(price)-1))

[1] 11.78061

除了上面几个最常用的离散趋势统计量外，R还有一个比较特殊的函数，即离差mad()，它用于计算中位数绝对偏差，具有渐近正态的一致性。

mad(x, center = median(x), constant = 1.4826, na.rm = FALSE, low = FALSE, high = FALSE)

其中的参数center可选，默认为中位数，即计算样本偏离中位数的程度；constant是比例因子，默认为一个常数；参数low/high默认取值为FALSE，若是TRUE，表示对于偶数个样本数据，中位数不取两个中间值的平均，而是采用较小/大的那一个。在默认状态下，R中离差的计算公式相当于

其中系数1.4826约等于1/qnorm(3/4)，这样离差mad()在估计方差时才具有渐近正态的一致性。
>mad(price)
[1] 7.813302

5.4 数据的分布分析

5.4.1 分布情况的测度

仅通过集中趋势和离散趋势两个指标，仍无法判断数据的分布形态。数据比较集中的区域在分布图上就会形成一个“峰”，这个“峰”可能偏左，也可能偏右；峰值可能较高，也可能较低，这时就需要用到偏态（Skewness）和峰度（Kurtosis）两个统计方法对数据分布特征作进一步描述。

（1）偏度

前面提到，通过均值和平均数、众数之间的关系可以大致判断出数据点分布状态是对称、左偏还是右偏。显然，判断偏斜方向并不难，但要判断偏斜的程度却需要更精确的测度，即偏度系数。样本的偏度系数记为SK，计算公式为

其中，s是标准差，是样本的3阶中心矩。
具体的判断方法是：如果样本的偏度系数SK=0，则说明数据关于均值对称；当SK<0时，样本是左偏分布（Negative Skew）；当SK>0时，表示正偏离程度较大，说明样本是右偏分布（Positive Skew），如图5.2所示。

（2）峰度
偏度系数判断尖峰在水平方向上往哪边偏移，可以说它是从横向的角度描述分布特点，那么从纵向的角度，描述数据分布的平坦或尖峰程度（称为峰态），就要通过峰度系数来衡量。记为K。

其中，是样本4阶中心矩，是样本标准差的四次方。对于分组数据，利用组中值计算峰度系数，代表组内的频数。

峰态通常是与标准正态分布相比较而言的，如果一组数据服从标准正态分布，则峰度系数K=0；当分布比正态更加尖峰时，K>0；当分布比较扁平时，K<0。如图5.3所示，当K>0时，分布为尖峰形状，因此分布两侧的尾部数据较少（Thin tails）；而K<0时，分布的峰值较低，造成尾部较厚（Fat tails）。

5.4.2 R语言实现

在程序包timeDate中（或直接加载fBasics程序包），有直接计算偏度和峰度系数的函数，为skewness()和kurtosis()。

也可以自己写一个函数function()进行验证，由于计算方法上的一些差别，两种方法计算的结果有出入，但不影响对样本分布形态的判断。

>library(timeDate) #加载程序包

>skewness(price) #计算偏度系数

[1] 1.683351

attr(,"method")

[1] "moment"

> SK=function(x){

+ n=length(x);m=mean(x)

+ C=n/((n-1)*(n-2))*sum((x-m)^3)/(sd(x))^3;C

+ }

>SK(price) #手动计算偏度系数

[1] 1.686996

>kurtosis(price)

[1] 2.578657

attr(,"method")

[1] "excess"

> K=function(x){

+ n=length(x);m=mean(x);s=sd(x)

+ g2=((n*(n+1))/((n-1)*(n-2)*(n-3))*sum((x-m)^4)/s^4-(3*(n-1)^2)/((n-2)*(n-3)))

+ g2

+ }

>K(price)

[1] 2.600382

偏度系数SK=1.687>0，说明样本是右偏分布，并且右偏程度比较严重。峰度系数K= 2.60>0，说明分布比正态更尖峰。

5.5 图形分析及R实现

电影《达芬奇密码》中有这样一句话：“A picture says more than a thousand words!”意思是，利用图形描述数据规律一目了然，胜过千言万语。图形显示的结果可以直观地概括上述指标所反映的分布特点，对于一组数据的描述，主要通过直方图、茎叶图等。

5.5.1 直方图和密度函数图

获得了一组样本数据，我们最直接的想法是通过频率分布直方图观察其样本的分布，常与直方图配套出现的是核密度估计函数density()，它可以根据已知样本，去估计样本的密度函数曲线。结合直方图和密度估计曲线，可以得到和统计指标所反映的相似结论：样本呈现严重的右偏分布，右尾拖得很长；数据有一较高的峰值。

>hist(price,breaks=50,prob=T) #参数breaks设置直方图的组距，prob=T规定绘制密度直方图

>lines(density(price),col="blue") #利用核密度估计函数density()，绘制密度曲线图

绘制结果如图5.4所示。

5.5.2 QQ图
QQ图用于直观验证一组数据是否来自某个分布，或者验证某两组数据是否来自同一族的分布。在教学和软件中常用QQ散点图来检验数据是否来自于正态分布。假定总体为正态分布，对于样本，其顺序统计量为。是标准正态分布的分布函数，而是其反函数，QQ图即是由以下的点构成的散点图：

R软件中的函数qqnorm()和qqline()可以分别用于绘制正态QQ散点图和相应直线，其使用方法为：

qqnorm(y, ylim, main="Normal Q-Q Plot", xlab="Theoretical Quantiles",

ylab="Sample Quantiles", plot.it = TRUE, datax = FALSE, ...)

qqline(y, datax = FALSE, distribution = qnorm, probs = c(0.25, 0.75), qtype = 7, ...)

qqplot(x, y, plot.it = TRUE, xlab = deparse(substitute(x)), ylab = deparse(substitute(y)), ...)

其中x,y为数据样本；xlab,ylab和main是图标签，分别用于设置X轴和Y轴的标签、图像标题。其它参数用法参见第四章plot()的参数设置。

对股票价格样本绘制qq散点图和曲线图，判断它是否来自于正态总体。

> qqnorm(price)

> qqline(price)

绘制结果如图5.5所示。

从图5.5可以看出，QQ散点图并不均匀地分布在直线两侧，因此股价样本不服从正态分布。接下来举一个正态分布样本的示例。

> a=c(21.0,21.4,22.5,21.6,19.6,20.6,20.3,19.2,20.2,21.3)

> qqnorm(a);qqline(a)

绘制结果如图5.6所示。

图 5.6 正态QQ图

从图5.6可以看出，样本数据是来自于正态总体。

5.5.3 茎叶图

茎叶图也是考察样本分布的重要方法，由统计学家约翰·托奇设计。它是将数组中的数按位数进行比较，将数的大小基本不变或变化不大的位作为一个“茎”，将位变化大的数作为“叶”，列在茎的后面，这样就可以清楚地看到每个茎后面有多少样本数，以及具体数值是多少。

茎叶图更适用于描述样本量较小的分布，在本例中，股票价格样本有逾千个，茎叶图不能完全显示，所以抽取其中的50个样本作图，R中用函数stem()绘制茎叶图。

stem(x, scale = 1, width = 80, atom = 1e-08)

其中，x是数据向量，scale控制茎叶图的长度，width控制绘图的宽度，atom是容差。

>set.seed(111) #设置抽样种子

>s=sample(price,50) #从数据集price中抽取50个样本

> stem(s)

结果如下所示：

The decimal point is 1 digit(s) to the right of the |

1 |

1 | 5888999999999

2 | 01112223334444

2 | 555556788889

3 | 022

3 | 788

4 | 1

4 | 8

5 | 3

5 | 69

在上面的结果中，左边的“茎”是股价的十位数字，右边的“叶”是个位数字。茎叶图从外观上来讲，比较像是横放的直方图，我们所抽取的样本也是一个右偏分布。“叶”的每一个数字都代表一个样本，显示频数的个数，所以从上向下数第25、26个数字的平均可以体现样本中位数的值。

5.5.4 箱线图

箱线图在描述统计中也是非常重要的图形，可以说它的重要程度不亚于直方图。箱线图是“五数”的一个图形概括，可以用来对数据分布的形状进行大致判断，是直观展现数据分布主要特征的方式。在上一章已经介绍过，R中使用函数boxplot()绘制箱线图。

函数boxplot()有三种使用方法，第一种最为直观和简单，因此也最常用：

boxplot(x, ...)

其中，x是数值型向量、列表或数据框。第二种形式为：

boxplot(formula, data = NULL, ..., subset, na.action = NULL)

formula是公式，形如y~grp，这里y是数值型向量，而grp通常为因子，用来表示数据的分组，这种形式的绘图结果是分类的箱线图，便于比较。第三种形式比较复杂：

boxplot(x, ..., range = 1.5, width = NULL, varwidth = FALSE, notch = FALSE, outline = TRUE,

names, plot = TRUE, border = par("fg"), col = NULL, log = "",

pars = list(boxwex = 0.8, staplewex = 0.5, outwex = 0.5),

horizontal = FALSE, add = FALSE, at = NULL)

其中，x是数值型变量、列表或数据框；range是“触须”的范围，默认值为1.5；notch是逻辑变量，默认值FALSE表示绘制的箱线图不带有切口；outline也是逻辑变量，默认值为TRUE，即标明异常值点；col用于设置不同颜色（根据不同的数值）；horizontal是逻辑变量，默认值为FALSE，设置成TRUE时将箱线图绘制成水平状。

要绘制出本章股票价格样本的箱线图，在R中输入如下指令：

> boxplot(price,main="Boxplot of price")

绘制结果如图5.7所示。

在图5.7的箱线图中，75%和25%四分位数分别为中间箱体的上下两条线，箱体中间的粗线段是中位数所在的位置。箱体外的两条线是数据的最大值和最小值，但不得超过1.5倍四分位数间距，若是超出了则标记为异常值点，用“o”表示。
在本例中，股价分布的右尾很长，因此就出现了较多的异常值点，这是在实际数据分析中很有可能出现的情况。

5.5.5 经验分布图
直方图主要适用于总体为连续分布的样本。对于更一般的总体分布，如果要估计其分布函数，可以使用经验分布函数（edf）。在R中函数ecdf()给出样本的经验分布，通过plot()绘制。
ecdf(x)
plot(x, ..., ylab="Fn(x)", verticals = FALSE,col.01line = "gray70", pch = 19)

通过ecdf()生成经验分布函数在各样本点的值，是一个数值型向量；plot()中的verticals是逻辑变量，若为TRUE表示画出竖线，默认是不画竖线。
>plot(ecdf(price),main="empirical cdf",xlab="price",ylab="Fn(price)")
> x=min(price):max(price)
> lines(x,pnorm(x,mean(price),sd(price)),col="red") #正态分布函数曲线
> legend(60,0.4,legend=c("样本分布","正态分布"),lty=1,col=1:2)

绘制结果如图5.8所示。

5.6 多组数据分析及R实现

5.6.1 多组数据的统计分析

当数据分为多个组别时，其描述统计与单组数据有相通之处，但在体现变量关系方面还是有一定差别的。上文中使用的例子是一组数据，假设按照年份将之分组，重新读入2009、2010和2011这三年的完整数据，在前面的理论基础上，对三组数据进行描述性统计分析。由于每年的交易日不完全相同，为简单处理，把有缺失值的样本删去。

> group=read.csv("d:/data/09-11股价.csv")

> group=na.omit(group) #忽略缺失样本

首先，与单组情形类似，直接使用summary()可以得到各组数据的均值和“五数”。通过观察横向数据，我们可以对比不同年份股票价格的基本统计量。以均值为例，它反映出股票价格的平均水平是逐年下降的。

>summary(group)

Price09 Price10 Price11

Min. :18.67 Min. :20.90 Min. :14.74

1st Qu. :23.08 1st Qu. :23.25 1st Qu. :16.98

Median :27.45 Median :24.70 Median :18.53

Mean :26.51 Mean :25.20 Mean :18.72

3rd Qu. :29.96 3rd Qu. :27.40 3rd Qu. :21.05

Max. :34.01 Max. :31.42 Max. :22.33

函数var()应用在多组数据上，得到的计算结果是一个协方差阵，其每个元素是各个向量之间的协方差。使用指令cor(group)也得到相同结果。

> options(digits=3) #设置显示格式：数字只显示3位

>var(group)

Price09 Price10 Price11

Price09 16.55 -7.18 -6.75

Price10 -7.18 5.99 4.16

Price11 -6.75 4.16 4.84

协方差的大小在一定程度上反映了变量之间的相互关系，但它还受变量本身度量单位的影响，因此我们还要计算相关系数来度量变量之间的线性相关程度。在R中使用函数cor()计算相关系数矩阵。

cor(x, y = NULL, use = "everything",method = c("pearson", "kendall", "spearman"))

其中，x,y是计算的对象，当x是一个数据框或列表时y可以省略；use指定如何处理缺失样本；method给出计算哪一种相关系数：默认的皮尔逊（Pearson）系数度量线性相关性，如果数据呈现的不是线性关系，而是单调的，则可以用肯德尔（Kendall）或斯皮尔曼（Spearman）相关系数，它们描述的是秩相关性。

本例中没有理论基础可以说明两年的股价会呈线性关系，所以计算Spearman系数。

>cor(group,method="spearman")

Price09 Price10 Price11

Price09 1.000 -0.687 -0.710

Price10 -0.687 1.000 0.752

Price11 -0.710 0.752 1.000

在上面的矩阵中，对角线都是1，因为变量与自身是完全相关的。而2009年股价与2010年股价的相关系数是－0.687，说明这两年的股票价格呈负相关的关系。

5.6.2 多组数据的图形分析

常用的图形表示方法大多用于一维数据的描述，但实际问题中的数据集往往是多变量样本。接下来的这一节，将介绍在实践中常用的多组数据绘图。

（1）二维散点图

首先，两组数据的关系用散点图可以清楚地描述。在散点图中加入一条拟合曲线有助于更好地把握变量关系。

R中的函数lowess()可通过加权多项式回归对散点图进行平滑，拟合一条非线性的曲线，但其只能适用于二维情况。与之类似的loess()用于处理多维情况。

lowess(x, y = NULL, f = 2/3, iter = 3, delta = 0.01 * diff(range(x)))

x,y指定两个向量；f是平滑的跨度，值越大，曲线的平滑程度越高；iter控制应执行的迭代数，值越高平滑越精确，但使用较小的值会使程序跑得比较快。

> attach(group)。

>plot(Price10~Price09,xlab="Price of 2009",ylab="Price of 2010")

> lines(lowess(Price09,Price10),col="red",lwd=2) #拟合曲线

绘制结果如图5.9所示。

从散点图中可以看出，2009年和2010年的股票价格并不是完全线性的关系，这与由Spearman系数得出的结论相同，两年的股价具有负的相关性，价格变动趋势相反。

（2）等高线图

有时候数据量很大，散点图上的数据点就会非常集中，不容易看出变量的关系或趋势，这就需要借助二维等高线图来描述。首先利用程序包MASS中的函数kde2d()来估计出二维数据的密度函数，再利用函数contour()画出密度的等高线图。如果不想画出图上的数据标签，可以将参数drawlabels=FALSE去掉。函数kde2d()的使用方法如下：

kde2d(x, y, h, n = 25, lims = c(range(x), range(y)))

其中x,y分别为横轴和纵轴的数据；n指定每个方向上的网格点数量，可以是标量或长度为2的一个正数向量；参数lims表示横纵轴的范围。
接下来就利用上述的两个函数绘制2009年和2010年股价的二维等高线图。在R中输入指令：
>library(MASS)
> a=kde2d(Price09,Price10)
>contour(a,col="blue",main="Contour plot",xlab="Price of 2009",ylab="Price of 2010")

绘制结果如图5.10所示。

与地理上的等高线地形图相同，即等高线越靠近内部说明密度越高，散点分布越集中。

（3）矩阵散点图
以上两种图形主要描述二维数据，实际中的数据集往往是多维的，我们使用的例子也是一样，多组数据的图形也可以用散点图来展示，不同在于这里是矩阵散点图。对于一个数据框，R中可以直接使用plot()命令或pairs()绘制矩阵散点图。
在R中输入如下指令来绘制2009—2011年多组股价数据的矩阵散点图：
>plot(group,main="Scatterplot Matrices")

或
>pairs(group)

绘制结果如图5.11所示。
图5.9绘制出了三个年份之间股价的矩阵散点图，其中上三角与下三角的三幅图是对称的，分别为2009—2010、2010—2011、2009—2011年中国人寿股价的二维散点图。矩阵散点图的特点主要是直观简便，把多个二维散点图以矩阵的形式排列，也有助于比较两两变量之间的相关关系。

（4）矩阵图
在处理多组数据时，常将各组数据放在一起进行比较，matplot()可将各变量的散点图放在同一个绘图区域中。
上文计算的相关系数矩阵反映出2009年和2010年的股价成负相关，而2010年2011年的股价则变动趋势相同，这些结论从图5.10中也可以得到，黑色曲线表示2009年股价呈上升趋势，而2010和2011年股票价格则整体下跌，在2011年更是创出了历史新低。
>matplot(group,type="l",main="Matplot") #type=“l”表示绘制曲线而不是散点
> legend(0,35,legend=2009:2011,pch="——",cex=0.6,col=1:3) #cex指定字体大小

绘制结果如图5.12所示。

（5）箱线图
在5.5.4节中已经详细介绍过箱线图，函数boxplot()也可以用于多组数据的绘图，在同一区域中画出各变量的箱线图，便于对比。箱线图的好处在于可以同时对比最值、均值、中位数和整体分布情况，尤其适用于时间序列的对比，从图5.13中的几条“线”可以看出2011年的股票价格从最大值、75%分位点到中位数、最小值等都低于2009年和2010年，因此2011年的股价水平整体低于前两年。
>boxplot(group,cex.axis=0.6)

（6）星图（雷达图）
假设变量是p维数据，有n个观测值，故第k次的观测值写作向量形式为

星图作为一种多元数据的图示方法，可以对p维数据进行比较。由于星图（如图5.14所示）看起来很像雷达图像，因此也称为雷达图；星图也像一个蜘蛛网，所以有时也称为蜘蛛图。其绘制原理是：

（1）作一个圆，并将圆周p等分。

（2）连接圆心和圆周上的p个分点，把这p条半径依次视为变量坐标轴，并标上适当的刻度。

（3）对给定的每一次观测值，在上述p条坐标轴上分别标出p个变量的取值，然后将它们连接成一个p边形，即形成了一个“星”。

（4）对n次观测值都重复（3）的步骤，就形成了n个星图。

R中的函数stars()可以绘制星图，其使用方法是：

stars(x, full = TRUE, scale = TRUE, radius = TRUE, labels = dimnames(x)[[1]],

locations = NULL, nrow = NULL, ncol = NULL, len = 1,

key.loc = NULL, key.labels = dimnames(x)[[2]], key.xpd = TRUE,

xlim = NULL, ylim = NULL, flip.labels = NULL, draw.segments = FALSE,

col.segments = 1:n.seg, col.stars = NA, col.lines = NA, axes = FALSE,

frame.plot = axes, main = NULL, sub = NULL, xlab = "", ylab = "",

cex = 0.8, lwd = 0.25, lty = par("lty"), xpd = FALSE,

mar = pmin(par("mar"), 1.1+ c(2*axes+ (xlab != ""), 2*axes+ (ylab != ""), 1, 0)),

add = FALSE, plot = TRUE, ...)

stars()函数中包括很多的参数设置，这里着重介绍其中比较重要的参数，其他请参考help文档。其中x是数据矩阵或数据框；full是逻辑变量，默认值为TRUE表示星图绘制成整圆的，FALSE表示星图绘制成上半圆的图形；scale也是逻辑变量，默认值TRUE表示数据矩阵的每一列是独立的，且每列的最大值为1，最小值为0，若值为FALSE则所有的星图会叠在一起；radius是逻辑变量，默认值为TRUE，表示画出构成星图半径的连线，FALSE则画出的星图没有半径构成的连线；len是半径刻度因子，设置星图的比例，默认值为1；key.loc是由x和y坐标值构成的向量（默认值为1），设置星的位置；draw.segments同样是逻辑变量，默认值为FALSE，即用直线连接p个半径上的点，若为TRUE则画出的星图是一段一段的弧。

但是星图比较适用于维度较低的数据，方便比较。例如学校随机抽取6名学生的5门考试成绩，如表5.2所示，从D盘读入该数据集，我们将画出这6名学生成绩的星图。

表5.2 学生考试成绩

科目1	科目2	科目3	科目4	科目5
89	90	92	95	99
90	77	74	86	89
79	88	94	98	97
100	90	85	100	81
83	87	70	77	73
100	94	97	90	89

在R软件中输入如下指令：
> score=read.table("d:/data/score.txt",header=T) #读入数据
> stars(score) #绘制星图，所有参数均设置为默认值

绘制结果如图5.14所示。
星图的半径反映数值的大小，因此从图5.14中可以看出学生编号1和6的成绩较好，而第5名学生成绩最差，第2名其次。
设置函数stars()中的参数，可以将上面的星图绘制成图5.15所示的另一种形式。在R中输入指令：
> stars(score,full=FALSE,draw.segments=TRUE,key.loc=c(5,0.5),mar=c(2,0,0,0)) #full=F
# 表示绘制成半圆的图形，draw.segments=T表示画出弧线

（7）折线图
和星图相比，折线图是一种更加直观地展示多维图形的方法，但同样地，折线图比较适用于数据量较小的数据样本。
折线图由以下步骤绘制而成：
（1）在直角坐标系的横轴上取p个点，表示p个变量；
（2）对每一次观测值，p个点的纵坐标即表示变量的取值；
（3）连接p个点可以得到一条折线，即为该次观测值的折线图；
（4）对于n次观测值，均重复上述步骤，即可得到n次观测值的折线图。

在R中并没有现成的绘制折线图的函数，因此需要我们自行编写，这里命名为函数outline()。
outline=function(x){
if(is.data.frame(x)==TRUE)
x=as.matrix(x) #若x为数据框，则先转换为矩阵形式
m=nrow(x);n=ncol(x) #提取x的行列数
plot(c(1,n),c(min(x),max(x)),type="n",
main="The outline graph of data",xlab="Number",ylab="Value")
for(i in 1:m){
lines(x[i,],col=i)
}
}

其中的参数x是数据矩阵或数据框，函数的运行结果是n次观测值的折线图。例如对上面学生成绩的例子绘制折线图，则应在R中输入如下指令：
> outline(score)

绘制结果如图5.16所示。

从图5.16中可以看出，越是靠近图形上方的学生成绩越好。本节仅给出一个编写函数的示例，若样本量较多，编写函数时应在绘图中加入样本编号。这种折线图可以用于聚类分析的初步判断。

（8）调和曲线图
调和曲线图是D.F.Andrews在1972年提出的三角多项式作图方法，所以又称为三角多项式图，其思想是把高维空间中的一个样本点对应于二维平面上的一条曲线。
设p维数据，对应的曲线是

上式中，当t在区间[-π,π] 上变化时，其轨迹是一条曲线。
在多项式的图表示中，当各变量的数值太悬殊时，最好先标准化后再作图。这种图对聚类分析帮助很大，如果选择聚类统计量为距离的话，则同类的曲线非常靠近拧在一起，不同类的曲线相互分开，非常直观。

调和曲线图有两点优良数学性质：一是保持线性关系，二是与一般的欧式距离之间的关系。第一点从上面的公式中就可以直观得到结论，第二个性质可通过计算得到。按照一般常用的范式，定义样本x和y之间的距离为如下的平方积分形式

根据三角函数积分，通过运算最终可以得到这一距离与欧氏距离之间具有如下关系：

按照上式的描述，我们可以在R中自己编写调和曲线图函数unison()。
unison=function(x){
if (is.data.frame(x)==TRUE)
    x=as.matrix(x) #若x为数据框，则先转换为矩阵形式
t=seq(-pi, pi, pi/30) #设置t的变化范围
m=nrow(x); n=ncol(x)   #提取x的行列数
f=array(0, c(m,length(t))) #f赋值为一个数组
for(i in 1:m){
    f[i,]=x[i,1]/sqrt(2)
    for( j in 2:n){
      if (j%%2==0)
        f[i,]=f[i,]+x[i,j]*sin(j/2*t)
      else
        f[i,]=f[i,]+x[i,j]*cos(j%/%2*t)
    }
}
plot(c(-pi,pi),c(min(f),max(f)),type="n",main ="The Unison graph of Data",xlab="t",ylab="f(t)")
for(i in 1:m) lines(t,f[i,],col=i)
}

其中，x是数据矩阵或数据框。函数的运行结果是调和曲线图（如图5.17所示）。

图5.17虽然不能用于判断学生成绩的好坏，但这种调和曲线图对聚类分析有很大帮助，可以用于初步判断，即同类的曲线会聚集在一起，而不同类的曲线则会拧成不同的曲线束，比较直观。