CF1717D Madoka and The Corruption Scheme

Summary: 二项式、二进制路径、（逆元）

Day 20220907

距离 CSPS 43Days
距离 NOIP 72Days

上午VP了 CFR#818 Div2，切了ABC，D没出来。。。

Description

给定 2n2^n2n 个选手按照淘汰赛规则淘汰（树形），可以设定每场比赛获胜方（左儿子/右儿子）
期望最后根节点（最终获胜者）编号最小。
同时，你的方案设定后，赞助商改变 kkk 场比赛的胜负指定（原节点左儿子胜改为右儿子胜，或反之），求最差情况编号最小的获胜者。

Solution

显然，赞助商想让最终获胜者编号尽量大。
考虑Sponsor想让 xxx 号胜利，则需要保证路径上的每一条路畅通直到根节点。

若 k>=nk>=nk>=n，只要把最大编号一路保送上升即可。
若 k<nk<nk<n，我们考虑：
一个人可以被保送，前提是到根节点的路径上的每一条路畅通直到根节点废话重复。
如果不畅通，修改道路（胜负场）即可。

那么若点x到根节点的道路上需要改的道路不超过 kkk 条，赞助商就可以将 xxx 保送。

用二进制表示路的情况，（如01010101）
000 为不向上通， 111 反之。
则若路径上 000 的个数 ≤k\le k≤k ，赞助商就可以保送。

所以答案为 ∑i=0min⁡(n,k)(ni)\sum_{i=0}^{\min(n, k)}\binom{n}{i}∑i=0min(n,k)(in)，为到根节点路径上断路 000 个数 ≤k\le k≤k 的点的个数

PS：注意二项式（组合数）计算处理逆元和阶乘

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
ll read(){ll res=0, f=1; char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1; ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9') {res=(res<<3)+(res<<1)+ch-48; ch=getchar();}return res*f;
}
const ll inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f, maxn=1e16;ll n, k, mod=1000000007;
ll inv[1000006], f[1000006];
ll qp(ll a, ll x){if(!x) return 1;ll d=qp(a, x/2)%mod;if(x&1) return d*d%mod*x%mod;return d*d%mod;
}int main(){//  freopen(".in", "r", stdin);
//  freopen(".out", "w", stdout);n=read(), k=read();inv[0]=inv[1]=1, f[1]=1;for(ll i = 2; i <= 1000006 ; i++)inv[i]=-(mod/i)*inv[mod%i]%mod, inv[i]=(inv[i]+mod)%mod, f[i]=f[i-1]*i%mod;for(ll i = 2; i <= 1000006 ; i++)inv[i]=(inv[i]*inv[i-1]%mod+mod)%mod;ll ans=1;for(ll i = 1; i <= min(n, k) ; i++)ans=(ans+f[n]*inv[i]%mod*inv[n-i]%mod)%mod;printf("%lld", ans);return 0;
}