数理统计-6.1 点估计的概念与无偏性

点估计以及无偏性
点估计定义：设x1，x2，…，xn是来自总体的一个样本，用于估计未知参数θ的统计量θ’=θ’(x1，x2，…，xn)称为θ的估计量，或称θ的点估计，简称估计**(利用特殊统计量的一些性质，可由样本估计总体的一些特征(期望,方差))**

参数空间定义：参数空间是数学术语，自然科学计算机术语
设(X1，……，Xn)为来自总体X的样本，(x1,…,xn)为相应的样本值，θ是总体分布的未知参数，θ∈Θ， Θ表示θ的取值范围，称Θ为参数空间

无偏性定义：设θ’=θ’(x1，x2，…，xn)是θ的一个估计，θ的参数空间为Θ，若对任意θ的属于Θ，都有E(θ’)= θ，则称θ‘是θ的无偏估计，否则称为有偏估计

设(x1,…,xn)为来自总体X的样本，总体的方差为c^2
样本的方差sn^ 2=Sum((xi-x一捌)^2)/n
E(sn^ 2)=E(Sum((xi-x一捌)^ 2)/n)=[(n-1)/n]*c^2(定理5.3.2)
E(sn^ 2)/[n/(n-1)]= E(Sum((xi-x一捌)^ 2)/[n/(n-1)])=c^2
由无偏性定义可得统计量E(sn^2)/[n/(n-1)]是总体参数中的方差的无偏性估计
统计量θ’=E(sn^ 2)/[n/(n-1)]=Sum((xi-x-捌)^2)/(n-1)是总体方差的无偏估计

大偏差通常被视为估计的一种不足，有人提出了多种缩小偏差的方法
刀切法就是由Quenouille于1949年和1956年提出的，而正式命名则是由图基(Tukey)于1958年给出
刀切法定义：

有效性定义：
当参数可估计时，其无偏估计可以有很多，如何在无偏估计中进行选择？
直观的想法是希望该估计围绕参数真值的波动越小越好，波动大小可以用方差来衡量，因此常用无偏估计的方差大小作为度量无偏估计优劣的标准，这就是有效性
设θ1’，θ2’是θ的两个无偏估计
若对任意θ∈Θ有，Var(θ1’)<=Var(θ2’)
且至少有一个θ∈Θ使得上述不等号成立
则称θ1’比θ2’有效

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