基础数论讲解（详细）

数论

质数问题

定义：

一个正整数只有除1外和自身之外的任何自然数整除，则这个数称为质数，负责称为合数。
判定:

是为了判定n是不是质数；

根据定义可以知道只要找2~ n \sqrt{n} n 之间有没有可以和n整除的就可以啦；
筛选

是为了找到1~N之间的所有质数；

任意的一个数，如x，它的倍数一点不是质数，所有从小到大扫，扫到一个数，把它的倍数标记为合数，就这样把所有的合数一点点的标记出来，而当扫到一个数未标记时，这个数就是质数；

memset(v,0,sizeof(v));//标记合数；
for(int i=2;i<=n;i++)
{if(v[i]) continue;cout<<i<<endl; // i是质数for(int j=i;i<=n/i;j++) v[i*j]=1;
}

这个算法是Eratosthenes筛法，而时间复杂度=O(NloglogN）；

质因数分解

定理：任何一个大于1的正整数都能唯一的分解为有限个质数的乘积，N= p 1 c 1 p 2 c 2 . . . p m c m p1^{c1}p2^{c2}...pm^{cm} p1c1p2c2...pmcm;
其中。ci都是正整数，pi都是质数。

约数

定义：

若整数n除以整数d的余数为0，即d能整除n,则称d是n的约数，n是d的倍数，记为d|n。

这是约数的推论；

约数集合

∵ \because ∵ d|n;
∴ \therefore ∴ d n ∣ \frac{d}{n}| nd∣n;
∴ \therefore ∴ d|n × \times ×n;
所以，只要扫描 1~ n \sqrt n n 就可以找到n的所有约数。

int factor[N] , tot = 0;
for( int i = 1 ; i * i <= n ; i ++ )
{    if( n % i ) continue;    factor[ ++ tot] = i;    if( i != n / i ) factor[ ++ tot ] = n / i;
}

最小公约数最大公倍数

谈到最小公约数，就可以想到最大公倍数，所有我们就可以一起来写（因为有一些定理是有关二者的）

最大公约数
就是两个数的公共约数中最大的那个数；

int gcd(int a,int b)
{if(a%b==0)return b;elsereturn gcd(a%b,b);
}

这是求两个数的gcd，（gcd是最大公约数），

九章 .更相减损术

a,b ∈ \in ∈N,a ≥ \ge ≥b, gcd(a,b)=gcd(b,a-b)=gcd(a,a-b);
a,b ∈ \in ∈N,有gcd(2a,2b)=2gcd(a,b);

最小公因数中，欧几里得算法；
:a,b ∈ \in ∈N,b ≠ \neq = 0, gcd(a,b)=gcd(b,a modb)
证明：
a可以表示成a = kb + r（a，b，k，r皆为正整数，且r<b），则r = a mod b
假设d是a,b的一个公约数，记作d|a,d|b，即a和b都可以被d整除。
而r = a - kb，两边同时除以d，r/d=a/d-kb/d=m，由等式右边可知m为整数，因此d|r
因此d也是b,a mod b的公约数。
因(a,b)和(b,a mod b)的公约数相等，则其最大公约数也相等，得证。

因为欧几里得算法我们才得以得出求解gcd的代码思想；

扩展欧几里得算法

定义：对于任意整数a ， b ，存在一对整数x , y ，满足a x + b y = g c d ( a , b ) ax+by=gcd(a,b)ax+by=gcd(a,b)

证明：
通过不断地应用公式 r k = r k − 2 − q k r k − 1 r_k = r_k−2 −q_kr_k−1 rk=rk−2−qkrk−1 可以求出可能为负数的 x,y，使得 r n = a x + b y 。特别地，若 g c d ( a , b ) = 1 ，则有 a x ≡ 1 ( m o d b ) ，即 x 为 a 模 b 的逆元。 r_n = ax + by。特别地，若 gcd(a,b) = 1，则有 ax ≡ 1 (mod b)，即 x 为 a 模 b 的逆元。 rn=ax+by。特别地，若gcd(a,b)=1，则有ax≡1(modb)，即x为a模b的逆元。

int gcd(int a, int b, int& x, int& y)
{ if(b){ int d = gcd(b, a%b, y, x);// d = y*b + x*(a%b) //    = y*b + x*(a-(a/b)*b) //      = y*b + x*a - x*(a/b)*b //   = x*a + (y-x*(a/b))*b y -= a/b*x; return d; } x = 1; y = 0; return a; }

最小公倍数
二者公共倍数中最小的那个数；（我们通常用LCM来表示最小公倍数）
∵ \because ∵gcd(a,b) × \times ×lcm(a,b)=a × \times ×b;
∴ \therefore ∴lcm(a,b)可以由gcd(a,b)来求出；

上面提到的gcd(a,b) × \times ×lcm(a,b)=a × \times ×b；就是一个gcd与lcm的关系之一；

————————————————

互质

定义：如果任取a,b ∈ \in ∈N,若gcd(a,b)=1,则a,b互质。

而对于三个数或更多的情况，如gcd(a,b,c)=1,则称为a,b,c互质。

欧拉函数

1~N中与N互质的数的个数被称为欧拉函数，记为 ϕ \phi ϕ(N);

通式：φ(x)=N ∏ i = 1 n \prod\limits_{i=1}^n i=1∏n (1- 1 p i \frac{1}{pi} pi1) (其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数)
定义 φ(1)=1（和1互质的数(小于等于1)就是1本身）。

int phi(int n)
{int ans=n;for(int i=2;i<=sqrt(n);i++){if(n%i==0){ans=ans/i*(i-1);while(n%1==0) n/=i;}}if(n>1) ans=ans/n*(n-1);
}

性质：

∀ \forall ∀n>1, 1~n中与n互质的数的个数的和为n × \times × ϕ ( n ) \phi(n) ϕ(n)/2;
若 a,b互质，则 ϕ \phi ϕ(a,b)= ϕ \phi ϕ(a) × \times × ϕ ( b ) \phi(b) ϕ(b)。
证明：
因为gcd（n,x）=gcd(n,n-x),所以与n不互质的的数 x,n-x成对出现，平均值为n/2。因此，与n互质的数的平均值也是n/2,进而得到性质1。
根据欧拉函数的计算式，对a,b分解质因数直接可得性质2。把性质2推广到一般函数上得到“积极函数”的概念。

由以上的来学习欧拉函数，我相信你还会懵，关于欧拉函数的式子是怎么算出来的，所以，下面是更为详细的讲解；

欧拉函数就是给定一个正整数由1~8中与其互质数的个数，如8，在1到8之中，与8形成互质关系的是1、3、5、7，所以 φ(n) = 4。

而我们就要找到怎么求解 φ；

它分为4种情况，或者说欧拉函数剩下的4个性质：

（1）如果n=1, φ（1）=1；这是定义，1与任何数（包括其本身）都互质。

（2）如果n是质数，则 φ(n)=n-1 。因为质数与小于它的每一个数，都构成互质关系。比如5与1、2、3、4都构成互质关系。

（3）如果n是质数的某一个次方，即 n = p^k (p为质数，k为大于等于1的整数)，则 ϕ \phi ϕ(p k ^k k)= p k p^k pk- p k − 1 p^{k-1} pk−1如φ(8) = φ(2^3) =2^3 - 2^2 = 8 -4 = 4。

（4）如果n可以分解成两个互质的整数之积，n = p1 × p2，则 φ(n) = φ(p1 × \times ×p2) = φ(p1) × \times ×φ(p2)；如 φ(56)=φ(8×7)=φ(8)×φ(7)=4×6=24。

然后，由以上四种分开的情况，在进行总和，就可以得到φ(x)=N ∏ i = 1 n \prod\limits_{i=1}^n i=1∏n (1- 1 p i \frac{1}{pi} pi1)；

嗯，就这样啦。

同余

定义：

若整数a,b除以正整数m的余数相等，则称a,b模m同余，记为a ≡ \equiv ≡b(mod m).

1.当问题要求对答案取模时，担心会在计算的过程中出现溢出，而同余就是在加减乘除时进行取模，而结果不变和之间对结果取模没有影响；（这个大家都知道吧）

用符号表示就是：

1.(a+b)%m = (a%m+b%m)%m;

2.a × \times ×b%m = ((a%m) × \times ×(b%m))%m;

由以上，就可以对费马小定理，欧拉定理进军了

费马小定理:
如果p是质数，则对于任何整数a,有a p ^p p ≡ \equiv ≡a(mod p)。

欧拉定理
如果正整数a,n互质，则a ϕ ( n ) ^{\phi(n)} ϕ(n) ≡ \equiv ≡ 1(mod n);

证明：

将1~n中与n互质的数按顺序排布：x1,x2……xφ(n) （显然，共有φ(n)个数）
我们考虑这么一些数：

m1=ax1;m2=ax2;m3=ax3……mφ(n)=axφ(n)

1）这些数中的任意两个都不模n同余，因为如果有mS≡mR (mod n) mS>mR，

就有：mS-mR=a(xS-xR)=qn，即n能整除a(xS-xR)。但是a与n互质，a与n的最大公因子是1，而xS-xR<n，因而左式不可能被n整除。也就是说这些数中的任意两个都不模n同余，φ(n)个数有φ(n)种余数。

2）这些数除n的余数都与n互质，因为如果余数与n有公因子r，那么a * xi=pn+qr=r(……)，a * xi与n不互质，而这是不可能的。(因为a * xi=pn+qr=r(……)，说明a * xi含有因子r，又因为前面假设n含有因子r，所以a * xi和n含有公因子r，因此a * xi与n不互质)那么这些数除n的余数，都在x1,x2,x3……xφ(n)中，因为这是1~n中与n互质的所有数，而余数又小于n.
由1）和2）可知，数m1,m2,m3……mφ(n)（如果将其次序重新排列）必须相应地同余于x1,x2,x3……xφ(n).
故得出：m1m2m3……mφ(n)≡x1x2x3……xφ(n) (mod n)
或者说a φ ( n ) ^{φ(n)} φ(n) (x1x2x3……xφ(n))≡x1x2x3……xφ(n)(mod n)
或者为了方便：K{a φ ( n ) ^{φ(n)} φ(n) -1}≡0 ( mod n ) 这里K=x1x2*x3……xφ(n)。
可知K{a φ ( n ) ^{φ(n)} φ(n) -1}被n整除。但K中的因子x1,x2……都与n互质，所以K与n互质。那么a^{[φ(n)]-1必须能被n整除，即a}[φ(n)]-1≡0 （mod n），即a φ ( n ) ^{φ(n)} φ(n) ≡1 （mod n），得证。

中国剩余定理
m1,m2,m3,…,m n _n n,是两两互质的整数。

f ( x ) = { x ≡ a 1 ( m o d m 1 ) y ≡ a 2 ( m o d m 2 ) . . . x ≡ a n ( m o d m n ) f(x)=\left\{ \begin{aligned} x \equiv a1(mod m1)\\ y \equiv a2(mod m2)\\ .\\ .\\ .\\ x\equiv an(mod mn) \end{aligned} \right. f(x)=⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧x≡a1(modm1)y≡a2(modm2)...x≡an(modmn)

有整数解，x= ∑ i = 1 n \sum_{i=1}^n ∑i=1n a i a_{i} aiM i _i it i _i i。

证明：

因为Mi= m/mi 是除mi 之外所以模板的倍数，所以任意k不等于i,aiMiti ≡ \equiv ≡ 0 （mod mk）。又因为aiMiti ≡ \equiv ≡ ai(mod mi),所以代入x= ∑ i = 1 n \sum_{i=1}^n ∑i=1n a i a_{i} aiM i _i it i _i i。

扩展CRT

求解同余方程组
x ≡ ai (mod mi)
不要求 mi 两两互质。

将每个方程拆成若干个方程 x ≡ ai (mod pki,j i,j ) 其中 m i _i i= ∏ i = p i , j k i , j \prod\limits_{i=p _i,_j }^{k_i,_j} i=pi,j∏ki,j 的分解式。对每个质数 p,合并对应的所有方程，从而转化为模数两两互质的情形。若合并过程中出现矛盾，则原方程组无解

组合计数

组合，不仅对于信竞，对于高中的数学，甚至是生物，都有很大的影响和帮助。

1.加法原理

就是完成一个事件要n个类，其中第i个步骤有a i _i i种不同的方法，且互不重合，所以完成一个事件共有a1+a2+a3+…+an个不同方法。

2.乘法原理

就是完成一个事件要n个步骤，其中第i个步骤有a i _i i种不同的方法，且互不干扰，所以完成一个事件共有a1a2a3*…*an个不同方法。

3.排列数

从n个不同的元素中依次取出m个元素排成一列，产生的不同的排列的数量为：n*(n-1)* … *(n-m+1);

证明：

可以想，第一个位置有n个不同的数可以填，对于第二个位置，因为第一个位置已经填过一个数，所以只剩下n-1个数可以填，由此类推，在第m个位置就只会剩下（n-m+1）个数可以填，这些填下的数之间满足的是乘法原理，所以就将其乘起来。

组合数

从n个不同的元素中取出m个数组成一个集合（不考虑顺序），产生的不同集合的数量为：
n*(n-1)* … *(n-m+1) * m * (m-1) * … * 1;

证明：

组合数因为其对于顺序没有要求，所以对于上面所叙述的排列数（这是有顺序要求的）进行“全排列”就是组合数，而全排列就是m!，在乘上m!就可以啦；

性质：

1.C n m ^m_n nm=C n n − m ^{n-m}_n nn−m

2.C n m ^m_n nm=C n − 1 m ^m_{n-1} n−1m+C n − 1 m − 1 ^{m-1}_{n-1} n−1m−1

3.C n 0 ^0_n n0+c n 1 ^1_n n1+…+C n n ^n_n nn=2 n ^n n

证明：

首先来证明第一个 C n m ^m_n nm=C n n − m ^{n-m}_n nn−m

不知道大家有没有在高中学苯，苯的二氯代物和四氯代物的结构是一样多的，因为苯是6边型结构，在找四氯代物时，实际上是在找苯的两个氢的解构，就同在找二氯代物是一样一样的。所以，当放在这条性质上是，对于n-m个数的组合实际上可以看做取n-m的补集，求其的组合，就是m个数的组合。

2.C n m ^m_n nm=C n − 1 m ^m_{n-1} n−1m+C n − 1 m − 1 ^{m-1}_{n-1} n−1m−1

C n − 1 m ^m_{n-1} n−1m和C n − 1 m − 1 ^{m-1}_{n-1} n−1m−1的并集是全集，前一个的了解是在取数时不要第n个数，而后面的是要第n个数，所以根据加法原理，就可以得到C n m ^m_n nm=C n − 1 m ^m_{n-1} n−1m+C n − 1 m − 1 ^{m-1}_{n-1} n−1m−1；

3.C n 0 ^0_n n0+c n 1 ^1_n n1+…+C n n ^n_n nn=2 n ^n n

对于n个元素都可以取或不取，总方法数为2 n ^n n,等等有没有想到什么，高中减数分裂产生配子的种类，对于有n对同源染色体，会产生2 n ^n n。

容斥原理

将作为此次数论的最后，

定义：

设S 1 _1 1,S 2 _2 2,S 3 _3 3,…,S n _n n,为有限集合，|S|表示集合S的大小，则：

两个集合的容斥关系公式：A∪B =|A∪B| = |A|+|B| - |A∩B |(∩：重合的部分）

三个集合的容斥关系公式：|A∪B∪C| = |A|+|B|+|C| - |A∩B| - |B∩C| - |C∩A| + |A∩B∩C|
详细推理如下：
1、等式右边改造 = {[（A+B - A∩B）+C - B∩C] - C∩A }+ A∩B∩C
2、维恩图分块标记如右图图1：1245构成A，2356构成B，4567构成C
3、等式右边（）里指的是下图的1+2+3+4+5+6六部分：
那么A∪B∪C还缺部分7。
4、等式右边[]号里+C（4+5+6+7）后，相当于A∪B∪C多加了4+5+6三部分，
减去B∩C（即5+6两部分）后，还多加了部分4。
5、等式右边{}里减去C∩A （即4+5两部分）后，A∪B∪C又多减了部分5，
则加上A∩B∩C（即5）刚好是A∪B∪C。

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