backtrack回溯算法

转自台湾师范大学acm课程

Enumerate all n-tuples

列舉重複排列。這裡示範：列舉出「數字 1 到 10 選擇五次」全部可能的情形。
製作一個陣列，用來存放一組可能的排列（數據）。

int solution[5];

例如 solution[0] = 4 表示第一個抓到的數字是 4 ， solution[4] = 9 表示第五個抓到的數字是 9 。陣列中不同的格子，就是 solution vector 當中不同的維度。

遞迴程式碼設計成這樣：

int solution[5];    // 用來存放一組可能的數據void print_solution()   // 印出一組可能的數據
{for (int i=0; i<5; i++)cout << i << ' ';cout << endl;
}void backtrack(int n)   // n 為現在正在列舉的維度
{// it's a solutionif (n == 5){print_solution();return;}// 逐步列舉數字1到10，並且各自遞迴下去，列舉之後的維度solution[n] = 1;backtrack(n+1);solution[n] = 2;backtrack(n+1);......solution[n] = 10;backtrack(n+1);
}int main()
{backtrack(0);
}

輸出結果會照字典順序排列。附送一張簡圖：

注解：其实就是利用递归来打印出整个字典顺序。注意递归函数中的顺序和递归停止条件。

Permutation

permutation 是「排列」的意思，便是數學課本中「排列組合」的排列。但是這裡並不是要計算排列有多少種，而是實際列舉出所有的排列：

現在有一個集合，裡面有 1 到 n 的數字，列出所有數字的排列，同樣的排列不能重複列出來。例如 {1,2,3} 所有的排列就是 {1,2,3} 、 {1,3,2} 、 {2,1,3} 、 {2,3,1} 、 {3,1,2} 、 {3,2,1} 。

permutation 的問題可以使用 backtracking 的技術來解決！

依序窮舉每個位置，針對每個位置，試著填入各種數字
一般來說， permutation 的程式碼都會長成這樣的格式：

int solution[MAX];  // 用來存放一組可能的答案
bool used[MAX];     // 紀錄數字是否使用過，用過為 truevoid permutation(int k, int n)
{if (k == n) // it's a solution{for (int i=0; i<n; i++)cout << solution[i] << " ";cout << endl;}else{for (int i=0; i<n; i++) // 試著將第 k 格填入各種數字if (!used[i]){used[i] = true;     // 紀錄用過的數字solution[k] = i;    // 將第 k 格填入數字 kpermutation(k+1, n);    // iterate next positionused[i] = false;    // 回收用完的數字}}
}int main()
{for (int i=0; i < MAX; i++) // initializationused[i] = false;permutation(0, 10); // 印出0~9，一共10個數字的所有排列
}

permutation 的問題都可以使用這段程式碼來解決。而且這支程式，是以字典順序來列舉出所有排列。所以它真的很有用，不妨參考看看。

依序窮舉每個數字，針對每個數字，試著填入各個位置
另外還有一種作法是生做這個樣子的：

int solution[MAX];  // 用來存放一組可能的答案
bool filled[MAX];   // 紀錄各個位置是否填過數字，填過為 truevoid permutation(int v, int n)
{if (v == n) // it's a solution{for (int i=0; i<n; i++)cout << solution[i] << " ";cout << endl;}else{for (int i=0; i<n; i++) // 試著將數字 v 填入各個位置if (!filled[i]){filled[i] = true;   // 紀錄填過的位置solution[i] = v;    // 將數字 v 填入第 i 格permutation(v+1, n);    // iterate next positionfilled[i] = false;  // 回收位置}}
}int main()
{for (int i=0; i<MAX; i++)   // initializationfilled[i] = false;permutation(0, 10); // 印出0~9，一共10個數字的所有排列
}

這也是一個不錯的方法，列出來提供大家參考。多接觸各式各樣的方法，能激發一些創意呢！

為了講解方便，以下的文章以一開始提到的方法當作基準。

字串排列
有個常見的問題是：列出字串 abc 的所有排列，要依照字典順序列出。其實這就跟剛才介紹的東西大同小異，只要稍加修改程式碼即可。

char s[3] = {'a', 'b', 'c'};    // 字串，需要先由小到大排序過
char solution[3];   // 用來存放一組可能的答案
bool used[3];       // 紀錄該字母是否使用過，用過為 truevoid permutation(int k, int n)
{if (k == n) // it's a solution{for (int i=0; i<n; i++)cout << solution[i];cout << endl;}else{// 針對solution[i]這個位置，列舉所有字母，並各自遞迴for (int i=0; i<n; i++)if (!used[i]){used[i] = true;solution[k] = s[i]; // 填入字母permutation(k+1, n);used[i] = false;}}
}