Asset Pricing：Valuation
Asset Pricing：Valuation
complete market： M = R S → q ( z ) M=R^S\to q(z) M=RS→q(z)
incomplete market： M ⫅ R S → Q ( z ) M\subseteqq R^S\to Q(z) M⫅RS→Q(z) (Valuation functional)
估值泛函（Valuation functional） 是对收益定价泛函的推广：定义如下：
Q : R S → R ∀ z ∈ M , Q ( z ) = q ( z ) Q:R^S\to R\\\forall z\in M,Q(z)=q(z) Q:RS→R∀z∈M,Q(z)=q(z)
Fundamental Theorem of Finance：
- securities price exclude Arbitrage iff ∃ Q ( z ) \exist Q(z) ∃Q(z) is strictly positive ⇔ \Leftrightarrow ⇔ if z>0, Q(z)>0
- weaker form : securities price exclude Strong Arbitrage iff ∃ Q ( z ) \exist Q(z) ∃Q(z) is positive.
充分性：由下列定理可得：
- Theorem : q ( z ) q(z) q(z) is linear and strictly positive iff NA.
- Theorem : q ( z ) q(z) q(z) is linear and positive iff NSA.
因为存在严格为正（正）的估值泛函可以得出存在严格为正（正）的收益定价泛函，收益定价泛函是对估值定价的限制。余下证明必要性。
将收益定价泛函从asset span推广到整个商品空间，可以通过将 q q q 每次增加一维得到。
- First step：选择不属于asset span M M M 的未定权益 z ^ \hat z z^，将 q q q 推广到由 M M M 和 z ^ \hat z z^ 张成的子空间上，其维数等于 M M M 的dimension+1。通过对未定权益 z ^ \hat z z^ 设定一个值 π \pi π 就可以将收益定价泛函推广。为保留严格正（正），所选的 π \pi π 须满足所有大于 z ^ \hat z z^ 的收益的价格严格大于（大于） π \pi π，所有小于 z ^ \hat z z^ 的收益的价格严格小于（小于） π \pi π，这些约束给出了 π \pi π 所在的区间。The extension is the payoff pricing functional for security markets consisting of J J J securities with payoffs { x 1 , ⋯ , x J } \{x_1,\cdots,x_J\} {x1,⋯,xJ} and prices { p 1 , ⋯ , p J } \{p_1,\cdots,p_J\} {p1,⋯,pJ} and a security with payoff z ^ \hat z z^ and price π \pi π.
- Second step：选择不属于第一步中 J + 1 J+1 J+1 种证券的张成空间的未定权益，重复第一步，经过 S − J S-J S−J 步后，成功推广到整个商品空间。
How to do the First step?
未定权益 z ∈ R S z\in R^S z∈RS 的upper bound：
q u ( z ) ≡ min h { p h : h X ≥ z } q_u(z)\equiv\min_h\{ph:hX\geq z\} qu(z)≡hmin{ph:hX≥z}
if h h h does not exist, then q u ( z ) = + ∞ q_u(z)=+\infin qu(z)=+∞
lower bound：
q l ( z ) ≡ max h { p h : h X ≤ z } q_l(z)\equiv\max_h\{ph:hX\leq z\} ql(z)≡hmax{ph:hX≤z}
if h h h does not exist, then q l ( z ) = − ∞ q_l(z)=-\infin ql(z)=−∞
Example : x 1 = ( 1 , 2 ) , z = ( 1 , 1 ) , s = 2 , P 1 = 1 x_1=(1,2),z=(1,1),s=2,P_1=1 x1=(1,2),z=(1,1),s=2,P1=1， M = { ( h , 2 h ) : h ∈ R } M=\{(h,2h):h\in R\} M={(h,2h):h∈R}
q l ( z ) = max h { p h : h X ≤ z } = max h { h : ( h , 2 h ) ≤ ( 1 , 1 ) } , q l ( z ) = 1 2 q_l(z)=\max_h\{ph:hX\leq z\}=\max_h\{h:(h,2h)\leq(1,1)\},q_l(z)=\dfrac{1}{2} ql(z)=maxh{ph:hX≤z}=maxh{h:(h,2h)≤(1,1)},ql(z)=21
q u ( z ) = min h { p h : h X ≥ z } = min h { h : ( h , 2 h ) ≥ ( 1 , 1 ) } , q u ( z ) = 1 q_u(z)=\min_h\{ph:hX\geq z\}=\min_h\{h:(h,2h)\geq(1,1)\},q_u(z)=1 qu(z)=minh{ph:hX≥z}=minh{h:(h,2h)≥(1,1)},qu(z)=1
Proposition 1 : if NSA, then ∀ z ∈ M , q u ( z ) = q l ( z ) = q ( z ) \forall z\in M,q_u(z)=q_l(z)=q(z) ∀z∈M,qu(z)=ql(z)=q(z)
proof：for z ∈ M z\in M z∈M, q u ( z ) ≤ q ( z ) , q l ( z ) ≥ q ( z ) q_u(z)\leq q(z),q_l(z)\geq q(z) qu(z)≤q(z),ql(z)≥q(z)
suppose ∃ z ∈ M , q u ( z ) < q ( z ) \exist z\in M,q_u(z)<q(z) ∃z∈M,qu(z)<q(z), then q u ( z ) < + ∞ q_u(z)<+\infty qu(z)<+∞, ∃ h ′ \exist h' ∃h′ satisfy：
h ′ X ≥ z p h ′ < q ( z ) h'X\geq z\\ph'<q(z) h′X≥zph′<q(z)
令 h h h 满足 h X = z , p h = q ( z ) hX=z,ph=q(z) hX=z,ph=q(z)，则 ( h ′ − h ) (h'-h) (h′−h) 为SA，与假设矛盾，所以 q u ( z ) = q ( z ) q_u(z)=q(z) qu(z)=q(z)。类似的可以证明 q l ( z ) = q ( z ) q_l(z)=q(z) ql(z)=q(z)。
Proposition 2 : if NSA, then ∀ z ∈ R S , z ∉ M , q u ( z ) ≥ q l ( z ) \forall z\in R^S,z\notin M,q_u(z)\geq q_l(z) ∀z∈RS,z∈/M,qu(z)≥ql(z)， ∀ z ∈ R S , q u ( z ) > − ∞ , q l ( z ) < + ∞ \forall z\in R^S,q_u(z)>-\infty,q_l(z)<+\infty ∀z∈RS,qu(z)>−∞,ql(z)<+∞
proof：
by controdition, suppose ∃ z ∈ R S , q u ( z ) < q l ( z ) \exist z\in R^S,q_u(z)<q_l(z) ∃z∈RS,qu(z)<ql(z), then q u ( z ) < + ∞ , q l ( z ) > − ∞ q_u(z)<+\infty,q_l(z)>-\infty qu(z)<+∞,ql(z)>−∞，and ∃ h ′ , h ′ ′ , s . t . \exist h',h'',s.t. ∃h′,h′′,s.t.
h ′ X ≤ z ≤ h ′ ′ X , p h ′ > p h ′ ′ h'X\leq z\leq h''X,ph'>ph'' h′X≤z≤h′′X,ph′>ph′′
but 投资组合 ( h ′ ′ − h ′ ) (h''-h') (h′′−h′) 满足：
p ( h ′ ′ − h ′ ) < 0 , ( h ′ ′ − h ′ ) X ≥ 0 p(h''-h')<0,(h''-h')X\geq0 p(h′′−h′)<0,(h′′−h′)X≥0
因此为SA，矛盾。Assume no redundant security without loss of generality。
by controdiction, Assume ∃ z ∈ R S , q u ( z ) = − ∞ \exist z\in R^S,q_u(z)=-\infty ∃z∈RS,qu(z)=−∞, then ∃ { h n } , s . t . \exist \{h^n\},s.t. ∃{hn},s.t.
h n X ≥ z , lim n → ∞ p h n = − ∞ → lim ∣ ∣ h n ∣ ∣ = + ∞ h^nX\geq z,\lim_{n\to\infty}ph^n=-\infty\\\to\lim||h^n||=+\infty hnX≥z,n→∞limphn=−∞→lim∣∣hn∣∣=+∞
consider 有界序列 { h n / ∣ ∣ h n ∣ ∣ } → h ^ ≠ 0 \{h^n/||h^n||\}\to\hat h\neq0 {hn/∣∣hn∣∣}→h^=0：
h n X ≥ z , lim n → ∞ p h n = − ∞ h n ∣ ∣ h n ∣ ∣ X ≥ z ∣ ∣ h n ∣ ∣ n → ∞ : h ^ X ≥ 0 , p h ^ ≤ 0 h^nX\geq z,\lim_{n\to\infty}ph^n=-\infty\\\frac{h^n}{||h^n||}X\geq\frac{z}{||h^n||}\\n\to\infty :\hat hX\geq0,p\hat h\leq0 hnX≥z,n→∞limphn=−∞∣∣hn∣∣hnX≥∣∣hn∣∣zn→∞:h^X≥0,ph^≤0
h ^ ≠ 0 \hat h\neq0 h^=0 , there is no redundant security, so h ^ X ≠ 0 → h ^ X > 0 → h ^ \hat hX\neq0\to\hat hX>0\to \hat h h^X=0→h^X>0→h^ is arbitrage 矛盾类似的可以证明 q l ( z ) < + ∞ q_l(z)<+\infty ql(z)<+∞
Proposition 3 : if NA, ∀ z ∈ R S , z ∉ M , q u ( z ) > q l ( z ) \forall z\in R^S,z\notin M,q_u(z)>q_l(z) ∀z∈RS,z∈/M,qu(z)>ql(z)
proof：根据Propositon 2 ：NA → \to → NSA → \to → q u ( z ) ≥ q l ( z ) q_u(z)\geq q_l(z) qu(z)≥ql(z)，只需证明： ∀ z ∉ M , q u ( z ) ≠ q l ( z ) \forall z\notin M,q_u(z)\neq q_l(z) ∀z∈/M,qu(z)=ql(z)
by controdiction, Assume ∃ z ∉ M , q u ( z ) = q l ( z ) \exist z\notin M,q_u(z)=q_l(z) ∃z∈/M,qu(z)=ql(z), then 根据Propositon 2 的第二部分的证明得： q u ( z ) < + ∞ , q l ( z ) > − ∞ q_u(z)<+\infty,q_l(z)>-\infty qu(z)<+∞,ql(z)>−∞. So ∃ h ′ , h ′ ′ , s . t . \exist h',h'',s.t. ∃h′,h′′,s.t.
h ′ X ≤ z ≤ h ′ ′ X p h ′ = p h ′ ′ = q u ( z ) h'X\leq z\leq h''X\\ph'=ph''=q_u(z) h′X≤z≤h′′Xph′=ph′′=qu(z)
前面的不等号不能取等，因为 z z z 不在资产张成空间中→ ( h ′ ′ − h ′ ) X > 0 , p ( h ′ ′ − h ′ ) = 0 \to(h''-h')X>0,p(h''-h')=0 →(h′′−h′)X>0,p(h′′−h′)=0, h ′ ′ − h ′ h''-h' h′′−h′ is Arbitrage, 矛盾
（推广）Extension：
给定未定权益 z ^ ∉ M \hat z\notin M z^∈/M，定义 N N N：
N = { z + λ z ^ : z ∈ M , λ ∈ R } N=\{z+\lambda\hat z:z\in M,\lambda\in R\} N={z+λz^:z∈M,λ∈R}
N ⫅ R S , d i m ( N ) = d i m ( M ) + 1 N\subseteqq R^S,dim(N)=dim(M)+1 N⫅RS,dim(N)=dim(M)+1， N N N 包含 M , z ^ M,\hat z M,z^。
if NSA（等价地，if payoff functional q ( z ) q(z) q(z) is positive），then by Proposition 2 and 3, q u ( z ) ≥ q l ( z ) q_u(z)\geq q_l(z) qu(z)≥ql(z) . if z ^ ∉ M , q u ( z ^ ) > q l ( z ^ ) \hat z\notin M,q_u(\hat z)>q_l(\hat z) z^∈/M,qu(z^)>ql(z^) .
选择有限值 π \pi π 满足：
q l ( z ^ ) ≤ π ≤ q u ( z ^ ) q_l(\hat z)\leq\pi\leq q_u(\hat z) ql(z^)≤π≤qu(z^)
将 q q q 推广为 N N N 上的线性泛函，定义 Q : N → R Q:N\to R Q:N→R：
Q ( z + λ z ^ ) ≡ q ( z ) + λ π Q(z+\lambda\hat z)\equiv q(z)+\lambda\pi Q(z+λz^)≡q(z)+λπ
下面证明所定义的 Q Q Q 是所期望的 q q q 的正推广。
Proposition 4 : Q : N → R Q:N\to R Q:N→R is positive if q : M → R q:M\to R q:M→R is positive
proof：let y ∈ N → ∃ z ∈ M , λ ∈ R , s . t . y\in N\to \exist z\in M,\lambda\in R,s.t. y∈N→∃z∈M,λ∈R,s.t.
y = z + λ z ^ y=z+\lambda\hat z y=z+λz^
λ > 0 \lambda>0 λ>0.
y ≥ 0 → z ^ ≥ − z λ → q l ( z ^ ) ≥ q l ( − z λ ) y\geq0\to\hat z\geq-\dfrac{z}{\lambda}\to q_l(\hat z)\geq q_l(-\dfrac{z}{\lambda}) y≥0→z^≥−λz→ql(z^)≥ql(−λz) ( q l ( ⋅ ) q_l(·) ql(⋅) is increasing. q u ( ⋅ ) q_u(·) qu(⋅) is increasing)
− z λ ∈ M -\dfrac{z}{\lambda}\in M −λz∈M, by Propositon 1 → q l ( − z λ ) = q ( − z λ ) → q l ( z ^ ) ≥ q ( − z λ ) \to q_l(-\dfrac{z}{\lambda})=q(-\dfrac{z}{\lambda})\to q_l(\hat z)\geq q(-\dfrac{z}{\lambda}) →ql(−λz)=q(−λz)→ql(z^)≥q(−λz)
因为 π ≥ q l ( z ^ ) → π ≥ q ( − z λ ) → λ π + q ( z ) ≥ 0 \pi\geq q_l(\hat z)\to\pi\geq q(-\dfrac{z}{\lambda})\to\lambda\pi+q(z)\geq0 π≥ql(z^)→π≥q(−λz)→λπ+q(z)≥0
由于 Q ( y ) = Q ( z + λ z ^ ) = q ( z ) + λ π ≥ 0 Q(y)=Q(z+\lambda\hat z)=q(z)+\lambda\pi\geq0 Q(y)=Q(z+λz^)=q(z)+λπ≥0，所以得到 Q ( y ) ≥ 0 Q(y)\geq0 Q(y)≥0。
λ < 0 \lambda<0 λ<0
y ≥ 0 → z ^ ≤ − z λ → q u ( z ^ ) ≤ q u ( − z λ ) y\geq0\to\hat z\leq-\dfrac{z}{\lambda}\to q_u(\hat z)\leq q_u(-\dfrac{z}{\lambda}) y≥0→z^≤−λz→qu(z^)≤qu(−λz)
by Propositon 1 → q u ( − z λ ) = q ( − z λ ) → q u ( z ^ ) ≤ q ( − z λ ) \to q_u(-\dfrac{z}{\lambda})=q(-\dfrac{z}{\lambda})\to q_u(\hat z)\leq q(-\dfrac{z}{\lambda}) →qu(−λz)=q(−λz)→qu(z^)≤q(−λz)
因为 π ≤ q u ( z ^ ) → π ≤ q ( − z λ ) → λ π + q ( z ) ≥ 0 \pi\leq q_u(\hat z)\to\pi\leq q(-\dfrac{z}{\lambda})\to\lambda\pi+q(z)\geq0 π≤qu(z^)→π≤q(−λz)→λπ+q(z)≥0
由于 Q ( y ) = Q ( z + λ z ^ ) = q ( z ) + λ π ≥ 0 Q(y)=Q(z+\lambda\hat z)=q(z)+\lambda\pi\geq0 Q(y)=Q(z+λz^)=q(z)+λπ≥0，所以得到 Q ( y ) ≥ 0 Q(y)\geq0 Q(y)≥0。
λ = 0 , y = z ≥ 0 , Q ( y ) = q ( z ) ≥ 0 \lambda=0,y=z\geq0,Q(y)=q(z)\geq0 λ=0,y=z≥0,Q(y)=q(z)≥0
if NA（等价地，if payoff functional q ( z ) q(z) q(z) is strictly positive），then by Proposition 3, 选择有限值 π \pi π 满足：
q l ( z ^ ) < π < q u ( z ^ ) q_l(\hat z)<\pi< q_u(\hat z) ql(z^)<π<qu(z^)
Propositon 5 : Q : N → R Q:N\to R Q:N→R is strictly positive if q : M → R q:M\to R q:M→R is strictly positive
proof：类似于上述。
唯一性（Uniqueness）：
Theorem：Assume NA, Market is complete iff only ∃ \exist ∃ one Q ( z ) > 0 Q(z)>0 Q(z)>0(strictly positive).
Asset Pricing：Valuation相关推荐
- Asset Pricing：Introduction
Asset Pricing:Introduction Asset pricing is the study of the value of claims to uncertain future pay ...
- [Quant][Note] Empirical Asset Pricing via Machine Learning
题目 Empirical Asset Pricing via Machine Learning 论文链接 论文pdf链接 发表时间 2018.09.04 论文作者 Shihao Gu, Bryan K ...
- 【FinE】FamaFrench 5 Factors asset pricing Model（FF五因子模型）
Navigator Fama French 5 factors Some Drawbacks References Fama French 5 factors Nobel laureate E.Fam ...
- 2022年CPA财务成本管理-资产定价专题（Asset Pricing)【3月22开始15天15考点刷题】【完结】
这个名字迷惑性太强,展开来说是Corporate Finance(Asset Pricing, Corporate Goverance)和成本计算.管理会计✅3门课. 鸣谢对啊网.第二章财务比率我这5 ...
- FRM P1B4笔记：Valuation and Risk Models
Valuation and Risk Models Session 1 Fixed Income Securities 1.1.1 Corporate Bonds-INTRODUCTION OF BO ...
- Capital Asset Pricing Model (CAPM)
http://blog.tangcs.com/2010/05/26/capital-asset-pricing-model/ 转载于:https://www.cnblogs.com/WarrenTan ...
- 中国社会科学院大学（研究生院） 教育部认可中英教学 免联考双证在职读研
2012年起中国社会科学院研究生院与美国杜兰(Tulane University)合作举办"金融管理硕士"(Tulane-GSCASS Master of Finance,简称MF ...
- 石川 ：学术界、管理人、投资者视角下的因子投资
学术界.管理人.投资者视角下的因子投资 原创: 石川 川总写量化 4月4日 作者:石川,北京量信投资管理有限公司创始合伙人,清华大学学士.硕士,麻省理工学院博士.知乎专栏: https://zhuan ...
- 收益率曲线形态的动力学：实证证据、经济学解释和理论基础
著:Antti Ilmanen, Raymond Iwanowski 译:徐瑞龙 The Dynamics of the Shape of the Yield Curve: Empirical Evi ...
最新文章
- GATB=The Genome Analysis Toolbox with de-Bruijn graph 带有de-Bruijn图的基因组分析工具箱
- 帝国cms上传大图片分片大视频大文件webuploader插件
- 使用Jmeter进行http接口测试
- Facebook 最新力作 FBNetV3来了！相比 ResNeSt 提速 5 倍，精度不输 EfficientNet
- 用ASP.NET Core构建可检测的高可用服务--学习笔记
- C语言实验源程序保存,实验一 C语言集成开发环境
- vs调用css写的c语言程序,c语言文件读写实例
- Eclipse中修改SVN地址
- PHP函数array_intersect_ukey
- PuTTY/PuttyGen创建密钥及利用密钥登录服务器
- MP2669GR-锂电池充电管理芯片
- oracle导出为dmp文件,oracle导出dmp文件的2种方法
- 一个网游盗号木马的汇编源码分析
- 李国飞：全面反思腾讯的战略
- 子目录和子域名哪个好？子目录和子域名如何利用seo优化？
- websocket实现聊天室（一）
- Mac OS X 背后的故事（九）半导体的丰收（中）
- Unity IOS 微信SDK 记录
- Go语言 编写代码统计出字符串中汉字的数量
- css控制文本的行高