一、平面极坐标系定义

1. 定义

在参考系上取一点 OOO 称为极点，由 OOO 点引一有刻度的射线，称之为极轴，即构成极坐标系。

2. 极坐标系

质点的位置 PPP 由极径 ρ\rhoρ 和幅角 θ\thetaθ 给出。如下图所示。

ρ\rhoρ ：极径，极点到质点的距离
θ\thetaθ：幅角或极角，极径与极轴的夹角，规定角度取逆时针方向为正

3. 正交单位矢量

径向单位矢量 i\bm{i}i ：方向从极点指向质点。则矢径 r=ρi\bm{r} = \rho \bm{i}r=ρi。
横向单位矢量 j\bm{j}j ：方向与径向单位矢量垂直，且指向 θ\thetaθ 增加的方向。

4. 正交单位矢量对时间 t 的导数的计算

设初始时刻质点位置为P1P_{1}P1，经过时间dtdtdt，质点位置为P2P_{2}P2，幅角变化量为dθd\thetadθ。如下图所示。

4.1 径向单位矢量i\bm{i}i

经过时间dtdtdt，径向单位矢量由i1\bm{i}_{1}i1变化到i2\bm{i}_{2}i2，转过的角度为dθd\thetadθ。
di=i2−i1d\bm{i}=\bm{i}_{2}-\bm{i}_{1} di=i2−i1

由于i\bm{i}i为单位矢量，且dtdtdt为趋于000的微元。所以did\bm{i}di的大小即为以∣i∣|\bm{i}|∣i∣为半径，角度为dθd\thetadθ所对应的弧长（单位矢量i\bm{i}i从i1\bm{i}_{1}i1旋转到i2\bm{i}_{2}i2时，箭头末端所经过的路程），其大小为：
∣di∣=∣i∣⋅dθ=dθ|d\bm{i}|=|\bm{i}|\cdot d\theta=d\theta ∣di∣=∣i∣⋅dθ=dθ

did\bm{i}di的方向为从i1\bm{i}_{1}i1的末端指向i2\bm{i}_{2}i2的末端，当dtdtdt趋于000时，did\bm{i}di的方向垂直于i\bm{i}i并且指向θ\thetaθ的增加方向，所以did\bm{i}di与j\bm{j}j同向。即：
di=jdθd\bm{i}=\bm{j}d\theta di=jdθ

对时间的导数为
didt=jdθdt\frac{d\bm{i}}{dt}=\bm{j}\frac{d\theta}{dt} dtdi=jdtdθ

4.2 横向单位矢量j\bm{j}j

同理，经过时间dtdtdt，横向单位矢量由j1\bm{j}_{1}j1变化到j2\bm{j}_{2}j2，转过的角度为dθd\thetadθ。
dj=j2−j1d\bm{j}=\bm{j}_{2}-\bm{j}_{1} dj=j2−j1

其大小为
∣dj∣=∣j∣⋅dθ=dθ|d\bm{j}|=|\bm{j}|\cdot d\theta=d\theta ∣dj∣=∣j∣⋅dθ=dθ

其方向与径向单位矢量i\bm{i}i反向，所以横向单位矢量对时间的导数为
djdt=−idθdt\frac{d\bm{j}}{dt}=-\bm{i}\frac{d\theta}{dt} dtdj=−idtdθ

二、极坐标系下运动方程

运动学方程：r=r(t)r=r(t)r=r(t),\hspace{0.3cm} θ=θ(t)\theta=\theta (t)θ=θ(t)
质点位置矢量：r=r(t)\bm{r}=\bm{r}(t)r=r(t)
质点轨迹方程：r=r(θ)r=r(\theta)r=r(θ)

三、极坐标系中的速度

在极坐标系中
r=ρi\bm{r}=\rho \bm{i} r=ρi

速度
v=drdt=d(ρi)dt=dρdti+ρdidt\bm{v}=\frac{d\bm{r}}{dt}=\frac{d(\rho \bm{i})}{dt}=\frac{d\rho}{dt}\bm{i}+\rho \frac{d\bm{i}}{dt} v=dtdr=dtd(ρi)=dtdρi+ρdtdi

又
didt=jdθdt\frac{d\bm{i}}{dt}=\bm{j}\frac{d\theta}{dt} dtdi=jdtdθ

所以
v=dρdti+ρdθdtj=vri+vθj\bm{v}=\frac{d\rho}{dt}\bm{i}+\rho \frac{d\theta}{dt}\bm{j}=v_{r}\bm{i}+v_{\theta}\bm{j} v=dtdρi+ρdtdθj=vri+vθj

径向速度vr=dρdtv_{r}=\frac{d\rho}{dt}vr=dtdρ，由位矢的量值变化所引起的；
横向速度vθ=ρdθdtv_{\theta}=\rho \frac{d\theta}{dt}vθ=ρdtdθ，由位矢方向的变化所引起的，其中ω=dθdt\omega=\frac{d\theta}{dt}ω=dtdθ为角速度。

总的速度大小
∣v∣=vr2+vθ2=(dρdt)2+(ρdθdt)2|\bm{v}|=\sqrt{v_{r}^{2}+v_{\theta}^{2}}=\sqrt{(\frac{d\rho}{dt})^{2}+(\rho \frac{d\theta}{dt})^{2}} ∣v∣=vr2+vθ2=(dtdρ)2+(ρdtdθ)2

四、极坐标系中的加速度

由加速度定义
a=dvdt=ddt(dρdti+ρdθdtj)\bm{a}=\frac{d\bm{v}}{dt}=\frac{d}{dt}(\frac{d\rho}{dt}\bm{i}+\rho \frac{d\theta}{dt}\bm{j}) a=dtdv=dtd(dtdρi+ρdtdθj)

其中
ddt(dρdti)=d2ρdt2i+dρdtdidt=d2ρdt2i+dρdtdθdtj\frac{d}{dt}(\frac{d\rho}{dt}\bm{i})=\frac{d^2 \rho}{dt^2}\bm{i}+\frac{d\rho}{dt}\frac{d\bm{i}}{dt}=\frac{d^2 \rho}{dt^2}\bm{i}+\frac{d\rho}{dt}\frac{d\theta}{dt}\bm{j} dtd(dtdρi)=dt2d2ρi+dtdρdtdi=dt2d2ρi+dtdρdtdθj

ddt(ρdθdtj)=dρdtdθdtj+ρd2θdt2j+ρdθdtdjdt=dρdtdθdtj+ρd2θdt2j−ρ(dθdt)2i\frac{d}{dt}(\rho \frac{d\theta}{dt}\bm{j})=\frac{d\rho}{dt}\frac{d\theta}{dt}\bm{j}+\rho \frac{d^2 \theta}{dt^2}\bm{j}+\rho \frac{d\theta}{dt}\frac{d\bm{j}}{dt}=\frac{d\rho}{dt}\frac{d\theta}{dt}\bm{j}+\rho \frac{d^2 \theta}{dt^2}\bm{j}-\rho (\frac{d\theta}{dt})^2 \bm{i} dtd(ρdtdθj)=dtdρdtdθj+ρdt2d2θj+ρdtdθdtdj=dtdρdtdθj+ρdt2d2θj−ρ(dtdθ)2i

由此可得
a=[d2ρdt2−ρ(dθdt)2]i+[ρd2θdt2+2dρdtdθdt]j=ari+aθj\bm{a}=[\frac{d^2 \rho}{dt^2}-\rho (\frac{d\theta}{dt})^2]\bm{i}+[\rho \frac{d^2 \theta}{dt^2}+2\frac{d\rho}{dt}\frac{d\theta}{dt}]\bm{j}=a_{r}\bm{i}+a_{\theta}\bm{j} a=[dt2d2ρ−ρ(dtdθ)2]i+[ρdt2d2θ+2dtdρdtdθ]j=ari+aθj

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