【34. 完全背包】

思路

0 1 背包在进行状态计算时，集合的划分，是第i个选择1个还是0个进行划分
完全背包问题的状态表示与0 1背包一样，状态计算中的集合划分不一样（由于第i个物品有无限个，可以按照第i个物品选多少个进行划分，分成若干组,第一块代表第i个物品选择1个，第二块代表第i个物品选2个）
k是枚举的第i个物品的个数，因为有容量限制，所以不可能无限大，不能超过背包容量

题目

代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;const int N = 1010;
int n, m;
int v[N], w[N];
int f[N][N];int main()
{cin >> n >> m;for (int i = 1; i <= n; i ++) cin >> v[i] >> w[i];for (int i = 1; i <= n; i++){for (int j = 0; j <= m; j++){for (int k = 0; k * v[i] <= j; k ++){f[i][j] = max(f[i ][j], f[i - 1][j - k * v[i]] + k * w[i]);}}}cout << f[n][m];return 0;
}

优化为二维

我们列举一下更新次序的内部关系：

之前要枚举K个状态，现在只需要枚举俩个状态就可以

注意：

0 1 背包都是从i - 1层转移过来
完全背包是从第i层转移过来

f[i , j ] = max( f[i-1,j] , f[i-1,j-v]+w ,  f[i-1,j-2*v]+2*w , f[i-1,j-3*v]+3*w , .....)
f[i , j-v]= max(            f[i-1,j-v]   ,  f[i-1,j-2*v] + w , f[i-1,j-3*v]+2*w , .....)
由上两式，可得出如下递推关系： f[i][j]=max(f[i,j-v]+w , f[i-1][j])

有了上面的关系，那么其实k循环可以不要了，核心代码优化成这样

for(int i = 1 ; i <=n ;i++)
for(int j = 0 ; j <=m ;j++)
{f[i][j] = f[i-1][j];if(j-v[i]>=0)f[i][j]=max(f[i][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);
}

优化为一维

这个代码和01背包的非优化写法很像啊!!!我们对比一下，下面是01背包的核心代码

for(int i = 1 ; i <= n ; i++)
for(int j = 0 ; j <= m ; j ++)
{f[i][j] = f[i-1][j];if(j-v[i]>=0)f[i][j] = max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);
}

两个代码其实只有一句不同（注意下标）

f[i][j] = max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);//01背包
f[i][j] = max(f[i][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);//完全背包问题

因为和01背包代码很相像，我们很容易想到进一步优化。核心代码可以改成下面这样

for(int i = 1 ; i<=n ;i++)for(int j = v[i] ; j<=m ;j++)//注意了，这里的j是从小到大枚举，和01背包不一样{f[j] = max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);}

综上所述，完全背包的最终写法如下：

#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1010;
int f[N];
int v[N],w[N];
int main()
{int n,m;cin>>n>>m;for(int i = 1 ; i <= n ;i ++){cin>>v[i]>>w[i];}for(int i = 1 ; i<=n ;i++)for(int j = v[i] ; j<=m ;j++){f[j] = max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);}cout<<f[m]<<endl;
}

完全背包与多重背包

完全背包问题不可以用单调队列优化，而多重背包问题可以用单调队列优化
- 在多重背包里面求的时候是求滑动窗口的内的最大值(滑动窗口一般可以用单调队列优化)
- 完全背包是求从1开始的最大值，每次多一个数，求前面所有的最大值，这个可以用一个变量来存

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