理想低通滤波器的可行码元速率探究

奈奎斯特准则与带限信道可行的码元速率探究（篇三）:理想低通滤波器的可行码元速率探究

写在前：

本篇是《奈奎斯特准则与带限信道可行的码元速率探究》的篇三，我的个人探究部分。主要探究并给出了理想低通滤波器的码元速率的条件。本系列文章的篇一：什么是码间串扰介绍了码间串扰的基本概念和原理。篇二：基带传输系统的奈奎斯特准则与奈奎斯特速率介绍了基带传输系统中的码间串扰的解决、奈奎斯特准则与奈奎斯特速率。

首先我考虑了不满足的速率，自然想到的就是RsR_sRs与2W2W2W之间存在“乖张古怪”的无理数倍乘因子时一定不满足无码间干扰，因为自我感觉无理数都满足了的话有理数就更能满足了，也自己尝试着用无理数π\piπ做码率画图观察证实。可这毕竟是无理数啊，也画不准，画着画着就凌乱了。

所以，换个方式吧，并且严谨一点，设标号求一般值吧，试试。来看图1。

图1Rs⩽2W的情况图1\ R_s\leqslant2W的情况图1 Rs⩽2W的情况

我们已经知道码率最高为Rsmax⁡=2WR_{s\ \max}=2WRs max=2W，为了探究Rs⩽2WR_s\leqslant2WRs⩽2W的情况，现在令Rs=2W/aR_s=2W /aRs=2W/a，其中a⩾1a\geqslant 1a⩾1（这里，我们试图同时探究和合并Rs=2WR_s=2WRs=2W和Rs<2WR_s<2WRs<2W情况）。根据∑k=−∞∞H(f−k⋅Rs)\sum_{k=-\infty}^\infty H(f-k\cdot R_s)∑k=−∞∞H(f−k⋅Rs)的周期性，只需观察它在(−Rs/2，Rs/2)(-R_s/2，R_s/2)(−Rs/2，Rs/2)上是否为常数，而−W⩽−Rs/2<Rs/2⩽W-W\leqslant -R_s/2<R_s/2\leqslant W−W⩽−Rs/2<Rs/2⩽W，为了后面的方便我们不妨扩大一点范围讨论其在(−W，W)(-W，W)(−W，W)上是否为常数。

（1）首先，只考虑k⩾0k\geqslant 0k⩾0的情形：

在区间(−W,−W+Rs)(-W,-W+R_s)(−W,−W+Rs)上有且只有k=0k=0k=0的贡献；

在区间(−W+Rs,−W+2Rs)(-W+R_s,-W+2R_s)(−W+Rs,−W+2Rs)上有且只有k=0,1k=0,1k=0,1的贡献；

在区间(−W+2Rs,−W+3Rs)(-W+2R_s,-W+3R_s)(−W+2Rs,−W+3Rs)上有且只有k=0,1,2k=0,1,2k=0,1,2的贡献；

……

在区间(−W+m⋅Rs,−W+(m+1)⋅Rs)(-W+m\cdot R_s,-W+(m+1)\cdot R_s)(−W+m⋅Rs,−W+(m+1)⋅Rs)上有且只有k=0,1,2,⋯ ,mk=0,1,2,\cdots ,mk=0,1,2,⋯,m的贡献，其中W∈(−W+m⋅Rs,−W+(m+1)⋅Rs)W\in (-W+m\cdot R_s,-W+(m+1)\cdot R_s)W∈(−W+m⋅Rs,−W+(m+1)⋅Rs)，得m⩽a−1m\leqslant a-1m⩽a−1；

贡献的份数随着子区间自左向右逐渐递增。

（2）再来考虑k⩽0k\leqslant 0k⩽0的情形：

在区间(W−Rs,W)(W-R_s,W)(W−Rs,W)上有且只有k=0k=0k=0的贡献；

在区间(W−2Rs,W−Rs)(W-2R_s,W-R_s)(W−2Rs,W−Rs)上有且只有k=0,−1k=0,-1k=0,−1的贡献；

在区间(W−3Rs,W−2Rs)(W-3R_s,W-2R_s)(W−3Rs,W−2Rs)上有且只有k=0,−1,−2k=0,-1,-2k=0,−1,−2的贡献；

……

在区间(W−(m+1)⋅Rs,W−m⋅Rs)(W-(m+1)\cdot R_s,W-m\cdot R_s)(W−(m+1)⋅Rs,W−m⋅Rs)上有且只有k=0,−1,−2,⋯ ,−mk=0,-1,-2,\cdots ,-mk=0,−1,−2,⋯,−m的贡献，其中满足W∈(W−(m+1)⋅Rs,W−m⋅Rs)W\in (W-(m+1)\cdot R_s,W-m\cdot R_s)W∈(W−(m+1)⋅Rs,W−m⋅Rs)，依旧得m⩽a−1m\leqslant a-1m⩽a−1；

贡献的份数随着子区间自右向左逐渐递增。

现在综合考虑以上（1）、（2）两种贡献，根据自左向右（k⩾0k\geqslant 0k⩾0）和自右向左（k⩽0k\leqslant 0k⩽0）的贡献的对称性相加，在区间(−W，W)(-W，W)(−W，W)上∑k=−∞∞H(f−k⋅Rs)\sum_{k=-\infty}^\infty H(f-k\cdot R_s)∑k=−∞∞H(f−k⋅Rs)为常数的充要条件转化为：y={n=a−1(1.0)是最左或最右区间的条件−W=W−(n+1)⋅Rs(1.1)最左区间的左边界条件−W+Rs=W−nRs(1.2)最左区间的右边界条件−W+nRs=W−Rs(1.3)最右区间的左边界条件−W+(n+1)⋅Rs=W(1.4)最右区间的左边界条件y = \left\{ \begin{array}{ll} n=a-1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1.0)是最左或最右区间的条件\\ -W=W-(n+1)\cdot R_s\ \ \ \ (1.1)最左区间的左边界条件\\ -W+R_s=W-nR_s\ \ \ \ \ \ \ (1.2)最左区间的右边界条件\\ -W+nR_s=W-R_s\ \ \ \ \ \ \ (1.3)最右区间的左边界条件\\ -W+(n+1)\cdot R_s=W\ \ \ \ (1.4)最右区间的左边界条件\\ \end{array} \right.y=⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧n=a−1 (1.0)是最左或最右区间的条件−W=W−(n+1)⋅Rs (1.1)最左区间的左边界条件−W+Rs=W−nRs (1.2)最左区间的右边界条件−W+nRs=W−Rs (1.3)最右区间的左边界条件−W+(n+1)⋅Rs=W (1.4)最右区间的左边界条件

可以得出这五个式子均等价于：a=n+1a=n+1a=n+1

其中，Rs=Rsmax⁡/a=2W/aR_s=R_{s \max}/a=2W/aRs=Rsmax/a=2W/a，nnn的取值范围是{0,1,2,3,⋯ }\{0,1,2,3,\cdots \}{0,1,2,3,⋯}，所以相应的aaa的取值范围是{1,2,3,4,⋯ }\{1,2,3,4,\cdots \}{1,2,3,4,⋯}。至此我们可以得出结论：

理想低通信道（理想LPF）的可行码率为最高码率除以一个正整数，其中最高码率为Rsmax⁡/a=2W/aR_{s \max}/a=2W/aRsmax/a=2W/a。

至此，我们得出了理想低通信道的可行码率，其余的理想带限信道可类比。

编后：

这个很简单简洁的知识和结论得到了我的老师的肯定，问老师，为什么书上没提过这个小结论呢，您之间也不知道具体条件。老师说可能是因为主要关注和应用的是最高码率，其他可行的低的码率浪费信道资源（效率低），大家就不会来考虑了；而且，我们谈论的是理想信道，实际并非这般理想。
所以，我这个可能是脱离实际的无效的理论探究，但是很享受其中的过程和思路。有时候常识和直觉不一定靠谱，通过严谨的甚至会是很简单的数学性的探究可以给我们答案和肯定。常识和直觉可能是一种知识一种智慧，也可能是我们认识真理的阻碍。