Large Division-----同余模定理(大数的求余)

同余模定理

讲解转自博客:

https://blog.csdn.net/qq_40873884/article/details/80312889

定义

所谓的同余，顾名思义，就是许多的数被一个数 d 去除，有相同的余数。d 数学上的称谓为模。如 a = 6, b = 1, d = 5, 则我们说 a 和 b 是模 d 同余的。因为他们都有相同的余数 1 。

数学上的记法为：
a≡ b(mod d)

可以看出当 n < d 的时候,所有的 n 都对 d 同商，比如时钟上的小时数，都小于 12，所以小时数都是模 12 的同余.对于同余有三种说法都是等价的,分别为:
(1) a 和 b 是模 d 同余的.
(2) 存在某个整数 n ,使得 a = b + nd .
(3) d 整除 a - b .
可以通过换算得出上面三个说话都是正确而且是等价的.

定律

同余公式也有许多我们常见的定律，比如相等律，结合律，交换律，传递律….如下面的表示:
1) a≡a(mod d)
2) a≡b(mod d)→b≡a(mod d)
3) (a≡b(mod d),b≡c(mod d))→a≡c(mod d)

如果a≡x(mod d),b≡m(mod d),则
4) a+b≡x+m （mod d）
5) a-b≡x-m(mod d)
6) a*b≡x*m(mod d )

应用

(a+b)%c=(a%c+b%c)%c;
(a*b)%c=(a%c*b%c)%c;

对于大数的求余，联想到进制转换时的方法，得到

举例如下，设大数 m=1234, 模 n

就等于
((((1 * 10) % n + 2 % n) % n * 10 % n + 3 % n) % n * 10 % n + 4 % n) % n

大数求余的简单模板：

#include<cstdio>
char num[10000];
int main()
{int n,i;while(scanf("%s%d",num,&n)!=EOF){int ans=0;for(i=0;num[i]!='\0';i++)ans=((ans*10)%n+(num[i]-'0')%n)%n;printf("%d\n",ans);}return 0;
}

例题

iven two integers, a and b, you should check whether a is divisible by b or not. We know that an integer a is divisible by an integer b if and only if there exists an integer c such that a = b * c.

Input

Input starts with an integer T (≤ 525), denoting the number of test cases.

Each case starts with a line containing two integers a (-10200 ≤ a ≤ 10200) and b (|b| > 0, b fits into a 32 bit signed integer). Numbers will not contain leading zeroes.

Output

For each case, print the case number first. Then print 'divisible' if a is divisible by b. Otherwise print 'not divisible'.

Sample Input

101 101

0 67

-101 101

7678123668327637674887634 101

11010000000000000000 256

-202202202202000202202202 -101

Sample Output

Case 1: divisible

Case 2: divisible

Case 3: divisible

Case 4: not divisible

Case 5: divisible

Case 6: divisible

题意:A能否被B整除

代码:

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
int main()
{long long k=1,n;scanf("%lld",&n);while(n--){char s[1010];long long sum=0,m;scanf("%s",s);scanf("%lld",&m);int  l=strlen(s);for(int i=0;i<l;i++){if(s[i]=='-'){continue;}sum=(sum*10+(s[i]-'0'))%m;}if(sum==0)printf("Case %lld: divisible\n",k++);elseprintf("Case %lld: not divisible\n",k++);}return 0;}

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