KF、EKF、UKF、ESKF、PF对比

简明扼要的介绍下不同滤波方案的联系和区别，重点突出ESKF。

一、几种滤波的共同点：

1.本质上都是概率的运算，最核心的思想是贝叶斯概率，也就是先验问题与后验问题的定义与其概率计算；

2.各算法的推导过程和最终形态以及求解公式，本质上都离不开KF的经典5大公式；具体可参考贺博的”卡尔曼滤波 -- 从推导到应用“系列。

3.无论是否迭代，kF系列算法都基于马尔科夫假设，也就是只与上一帧数据进行参比计算，因此其结果精确性与稳定性相比最新的一些算法或后端图优化来说，还是有一些逊色。

二、区别：

1.KF主要是针对线性估计

2. EKF通过对目标函数的二阶泰勒式子进行截断来使非线性的内容线性化，从而完成非线性估计，但其截断误差会影响结果，持续下去也会发散；

3. UKF通过对目标函数的分布进行特征点采样，采用高斯的 σ 原则，选取特征点来模拟分布；

4. PF则是与目标函数本身关系不大，使用大量的粒子描述原目标函数的分布，经过权重筛选和重采样，不断将模拟的结果作为分布的结果输入，获得滤波的结果；

5. ESKF是一种间接的滤波法，它不是对目标函数求解，而是对系统误差状态求解，最后和名义状态进行合并，得到实际状态。

6. 计算复杂度：EKF由于雅克比矩阵的计算，其复杂度相对较高，时间消耗大，而UKF消耗受限于关键点的选取，PF除了受限于粒子数目外，还受限于采样方法；ESKF与KF是计算比较快的算法。

三、ESKF介绍：

1. ESKF的核心思想是把系统状态分为三类：

a. True State（Ground Truth）：真值，指系统实际的运行状态，一般我们会在系统中假定某种输入为真值。（这一条在非线性KF系列滤波通用）；
b. Nominal State：名义状态，指系统的变化情况或变化趋势。例如IMU的各轴向加速度对时间的积分可以认为是各轴向距离上的变化，一般在系统中我们认为它是非线性（这一条也是我们在非线性KF中的强关注点）；
c. Error State：误差状态，真值与名义状态的差值，这个值也是非线性变化的。例如在IMU、激光、毫米波的系统中，我们可以假定激光的数据为真值，用其他两种来做融合，结果与激光做RMSE，这就可以认为是一种误差状态。
那么我们可以将任意一个状态变化过程，分割为名义变化过程和误差项，即真值为名义变化过后的结果与误差值的叠加。

2. ESKF的步骤如下：

a. 对IMU数据进行积分，获得名义状态X，注意这个X并没有考虑噪声，所以必然引入了累计误差；
b. 利用KF算法估计Error State，包括状态更新和测量更新，这个过程是考虑了噪声的，而且由于这个误差状态的方程式近似线性的，直接使用KF就可以；
c. 利用Error State修正Nominal State，获取“真值”；
d. 重置Error State，等待下一次更新；
3. 使用ESKF的优势：

a. Error State中的参数数量与运动自由度是相等的，避免了过参数化引起的协方差矩阵奇异的风险；
b. Error State总是接近于0，Kalman Filter工作在原点附近。因此，远离奇异值、万向节锁，并且保证了线性化的合理性和有效性；
c. Error State总是很小，因此二阶项都可以忽略，因此雅可比矩阵的计算会很简单，很迅速；
d. Error State的变化平缓，因此KF修正的频率不需要太高。

参考：

1. Joan Sol`a. Quaternion kinematics for the error-state KF. Sep 12, 2016.

2. 机器人运动估计——IMU运动方程与ESKF原理介绍（下） - 古月居 (guyuehome.com)

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