Potential Features

V(x)=V(r),r=x2+y2+z2−−−−−−−−−−√

V(\mathbf{x})=V(r),\\r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}

角动量守恒

In classical mechanics

dLdt=∂L∂t(=0)+{L,H}=∂L∂qa∂H∂pa−∂L∂pa∂H∂qa

\frac{d\mathbf{L}}{dt}=\frac{\partial \mathbf{L}}{\partial t}(=0)+\{\mathbf{L},H\}=\frac{\partial \mathbf{L}}{\partial q_a}\frac{\partial H}{\partial p_a}-\frac{\partial \mathbf{L}}{\partial p_a}\frac{\partial H}{\partial q_a}

∂L∂qa=∂(ϵαβγxβpγ)∂xa=ϵαβγδβapγ=ϵαaγpγ∂H∂pa=∂(p22m+V(r))∂pa=∂(pαpα2m)∂pa=12m⋅2pαδαa=1mpa∂L∂qa∂H∂pa=1mϵαaγpγpa=0∂L∂pa=∂(ϵαβγxβpγ)∂pa=ϵαβγxβδγa=ϵαβaxβ∂H∂qa=∂(p22m+V(r))∂xa=∂V(r)∂xa=dVdr∂r∂xa=dVdr⋅xar∂L∂pa∂H∂qa=dVdr1rϵαβaxβxa=0

\begin{align*}&\dfrac{\partial \mathbf{L}}{\partial q_a}=\frac{\partial (\epsilon_{\alpha\beta\gamma} x_\beta p_{\gamma})}{\partial x_a}=\epsilon_{\alpha\beta\gamma} \delta_{\beta a} p_{\gamma}= \epsilon_{\alpha a\gamma} p_{\gamma}\\&\dfrac{\partial H}{\partial p_a}=\frac{\partial \left(\dfrac{p^2}{2m}+V(r)\right)}{\partial p_a}=\frac{\partial \left(\dfrac{p_\alpha p_\alpha}{2m}\right)}{\partial p_a}=\frac 1{2m}\cdot 2p_\alpha\delta_{\alpha a}=\frac 1m p_a\\ &\dfrac{\partial \mathbf{L}}{\partial q_a}\dfrac{\partial H}{\partial p_a}=\frac 1m\epsilon_{\alpha a\gamma} p_{\gamma} p_a=0\\&\dfrac{\partial \mathbf{L}}{\partial p_a}=\frac{\partial (\epsilon_{\alpha\beta\gamma} x_\beta p_{\gamma})}{\partial p_a}=\epsilon_{\alpha\beta\gamma} x_\beta\delta_{\gamma a} = \epsilon_{\alpha \beta a} x_{\beta}\\&\dfrac{\partial H}{\partial q_a}=\frac{\partial \left(\dfrac{p^2}{2m}+V(r)\right)}{\partial x_a}=\frac{\partial V(r)}{\partial x_a}=\frac{dV}{dr}\frac{\partial r}{\partial x_a}=\frac{dV}{dr}\cdot \frac{x_a}{r}\\ &\dfrac{\partial \mathbf{L}}{\partial p_a}\dfrac{\partial H}{\partial q_a}= \frac{dV}{dr}\frac{1}{r}\epsilon_{\alpha \beta a} x_{\beta}x_a=0\end{align*}

⇒dLdt=∂L∂qa∂H∂pa−∂L∂pa∂H∂qa=0

\Rightarrow\frac{d\mathbf{L}}{dt}=\frac{\partial \mathbf{L}}{\partial q_a}\frac{\partial H}{\partial p_a}-\frac{\partial \mathbf{L}}{\partial p_a}\frac{\partial H}{\partial q_a}=0

In quantum mechanics

dLαdt=∂L∂t(=0)+1iℏ[Lα,H]=1iℏ([L,p22m]+[Lα,V(r)])

\frac{dL_\alpha}{dt}=\frac{\partial \mathbf{L}}{\partial t}(=0)+\frac1{i\hbar}[L_\alpha,H]=\frac1{i\hbar}\left(\left[L,\frac{p^2}{2m}\right]+\left[L_\alpha,V(r)\right]\right)

[L,p22m]=====ϵαβγ2m[xβpγ,papa]ϵαβγ2m[xβ,papa]pγϵαβγ2m⋅2iℏδβapapγiℏ1mϵαβγpβpγ0

\begin{align*}\left[L,\frac{p^2}{2m}\right]=&\frac{\epsilon_{\alpha\beta\gamma}}{2m}[x_\beta p_\gamma,p_ap_a]\\=&\frac{\epsilon_{\alpha\beta\gamma}}{2m}[x_\beta ,p_ap_a]p_\gamma\\=&\frac{\epsilon_{\alpha\beta\gamma}}{2m}\cdot2i\hbar \delta_{\beta a}p_ap_\gamma\\=&i\hbar \frac{1}{m}\epsilon_{\alpha\beta\gamma}p_\beta p_\gamma\\=&0\end{align*}

[Lα,V(r)]======ϵαβγxβ[pγ,V(r)]ϵαβγxβ[pγ,xa]∂V∂xaϵαβγxβ[pγ,xa]dVdr∂r∂xaϵαβγxβ⋅(−iℏδγa)⋅dVdrxar−iℏdVdr1rϵαβγxβxγ0

\begin{align*}[L_\alpha,V(r)]=&\epsilon_{\alpha\beta\gamma}x_\beta[p_\gamma,V(r)]\\=&\epsilon_{\alpha\beta\gamma}x_\beta[p_\gamma,x_a]\frac{\partial V}{\partial x_a}\\=&\epsilon_{\alpha\beta\gamma}x_\beta[p_\gamma,x_a]\frac{dV}{dr}\frac{\partial r}{\partial x_a}\\=&\epsilon_{\alpha\beta\gamma}x_\beta\cdot(-i\hbar\delta_{\gamma a})\cdot\frac{dV}{dr}\frac{x_a}{r}\\=&-i\hbar\frac{dV}{dr}\frac1r\epsilon_{\alpha\beta\gamma}x_\beta x_\gamma\\ =&0\end{align*}

⇒dLαdt=1iℏ([L,p22m]+[Lα,V(r)])=0

\Rightarrow \frac{dL_\alpha}{dt}=\frac1{i\hbar}\left(\left[L,\frac{p^2}{2m}\right]+\left[L_\alpha,V(r)\right]\right)=0

Classification of Central Potential

Gravatation, Coulumb field:

V(r)∼r−1

V(r)\sim r^{-1}
Harmonic oscillator:

V(r)∼R2

V(r)\sim R^2
Logarithm:

V(r)∼lnr

V(r)\sim \ln r
Yukawa:

V(r)∼e−αrr−1

V(r)\sim e^{-\alpha r}r^{-1}

General Solution for Central Potential Problem

Equantion

[−ℏ22m1r(d2dr2r)+L22mr2+V(r)]ψ(x)=E(x)

\left[-\frac{\hbar ^2}{2m}\frac 1r(\frac{d^2}{dr^2}r)+\frac{L^2}{2mr^2}+V(r)\right]\psi(x)=E(x)

Variable Seperation

ψ(r,θ,φ)=Rl(r)Ylm(θ,φ)

\psi(r,\theta,\varphi)=R_l(r)Y_{lm}(\theta,\varphi)

Rl(r)=χl(r)r

R_l(r)=\frac{\chi_l(r)}{r}

d2dr2χl(r)+{2mℏ2[E−V(r)]−l(l+1)r2}χl(r)=0

\frac{d^2}{dr^2}\chi_l(r)+\left\{\frac{2m}{\hbar^2}[E-V(r)]-\frac{l(l+1)}{r^2}\right\}\chi_l(r)=0

Boundary Condition

limr→0χl(r)=0⇔limr→0rR(r)=0limr→0r2V(r)=0

\lim_{r\to0}\chi_l(r)=0\Leftrightarrow \lim_{r\to 0}rR(r)=0\\\lim_{r\to0}r^2V(r)=0

Equation

d2dr2Rl(r)+2rddrRl(r)−l(l+1)r2Rl(r)=0

\frac{d^2}{dr^2}R_l(r)+\frac 2r\frac{d}{dr}R_l(r)-\frac{l(l+1)}{r^2}R_l(r)=0

Assume r→0,Rl(r)∼rsr\to 0,R_l(r)\sim r^s
⇒s(s+1)+l(l+1)=0\Rightarrow s(s+1)+l(l+1)=0
⇒Rl(r)∼{rlr−(l+1)\Rightarrow R_l(r)\sim\begin{cases}r^l\\r^{-(l+1)}\end{cases}
Rl(r)∼rlR_l(r)\sim r^l

注：这一节讲得进度有些快，重前面的推导，轻后面的计算。

Thanks to prof. Guo Hong

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