求任意多边形面积-有向面积

给定多边形的顶点坐标（有序），让你来求这个多边形的面积，你会怎么做？
我们知道，任意多边形都可以分割为N个三角形，所以，如果以这为突破点，那么我们第一步就是把给定的多边形，分割为数个三角形，分别求面积，最后累加就可以了，把多边形分割为三角形的方式多种多样，在这里，我们按照如下图的方法分割：

图1

S点作为起始点（点1），a->e依次作为点2,3……。
一个三角形的面积是怎样的呢？
根据线性代数的知识，我们有如下的三角形面积公式，称之为有向面积(signed area)：

将这个行列式以第三列展开可以得到：

这就是以点1、2、3构成的三角形的有向面积（点如果是顺时针给出，有向面积为负，逆时针给出，有向面积为正），那么继续我们的工作，通过三角形的面积公式，来得到多边形的面积公式：
对于图1而言，多边形的面积就是：
S(1->6)=S(1,2,3)+S(1,3,4)+S(1,4,5)+S(1,5,6)
这里我们不免有些疑问，第一，图1所给出的是凸多边形，那这种算法对于非凸多边形是否同样适用呢？比如下面这个最简单的凸多边形的图形：

图2

用刚才的划分方法的话，就会出现一个诡异的问题，那就是有一个三角形出现在了图形的外面，而另外一个又超出了多边形的范围（划分为了Sab，Sbc两个图形），那么这样再用刚才的公式求面积，结果还是正确的么？
S(1->4)=S(1,2,3)+S(1,3,4)
先公布结论，这个式子是正确的，等等，为什么？还记得刚才我提到了那个“有向面积”的概念么？忘了的话，请回头看看加重了的字。
请注意从图中看，Sab点为顺时针排列，Sbc点为逆时针排列，面积从数值上就是从Sab这个超过范围的大三角形中去掉Sbc这个小三角形，最后的结果神奇的就是多边形Sabc的面积，那么这个结论能否推广到任意多边形呢？

图3

在这里不做证明，下面给出的公式，就是任意多边形的面积公式：

题目：hdu2036 http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2036

//任意多边形的面积计算

#include <iostream>
#include <utility>
#include <cmath>
using std::cout;
using std::cin;
using std::endl;

typedef std::pair<double ,double> point;

#pragma warning(disable:4244)

double det(point p0,point p1,point p2)
{
return (p1.first-p0.first)*(p2.second-p0.second)-(p1.second-p0.second)*(p2.first-p0.first);
}

double ploygon_area(int n,point p[])
{
double s=0.0f;
int i=1;
for(;i < n-1;i++)
s += det(p[0],p[i],p[i+1]);
return 0.5*fabs(s);
}

int main(int argc, char *argv[])
{

int i,n;
double s;
point *points = NULL;

cout<<"Enter the number of edges of the polygon <n>:";
cin>>n;
if(n < 2){
exit(1);
}

points = (point *)malloc(n*sizeof(point));

for(i=0; i<n; i++){
cout<<endl<<"points["<<i<<"]=";
cin>>points[i].first>>points[i].second;
}

s=ploygon_area(n, points);
cout<<"The area is:"<<s<<std::endl;

if(points)
free(points);

return 1;
}

代码大家可以自行修改，主要看公式

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