鱼的记忆[较为重要的知识点/技巧]

传说中鱼只有7s的记忆。
而我不足7s的记忆。
真是悲伤TAT
记了什么东西，一会就忘记了。

我当时初中的时候想去自学高中课程……
但是自己完全没看懂。
其实不是自己看不懂而是自己“觉得”这个东西没什么用。
而且还”难”。
所以就选择性的忘记了。
我不想我学过的SAM，LCT什么的都变成选择性忘记的东西。
真的决定，要么一个东西完成100%.
要么就一点都不要碰。

在此总结一些OI上的容易”忘记”的知识点：
以下虽然有标号，但是感觉是不分先后的。

1.单调性

扫左端点右端点单调。
习题：
1.n个正整数，m个区间，选k个使得交区间的和最大。
注意到，按照左端点排好序之后，扫描左端点的时候，右端点是单调不降的。
实际上，右端点是右侧数第k个。
那么开个线段树随便做。

2.容斥原理

容斥原理似乎很容易解决一些问题：
1.交集转并集的补集。
大大走格子：
n*m的格子，有些点(1k)不能走，只能走右下，求方案数。
首先注意到任意走的话，可以写成组合数的形式。
那么我们容斥的话就要减掉所有的不合法的方案数。
注意到，如果第一个障碍不相同，那么其他就不相同了。
而只要踩了一个障碍，那么怎么走都不合法。
这样这个题就能解决了。
2.硬币购物(放个板子题)
3.HDU5731(插头DP+容斥)

3.分块思想

有一些东西，我们可以根号大暴力。
比如说51nod的三个题：
1.求整数n的不同划分方案数，一个划分中不能有相同的数字。
对n分类：>sqrt(n)只能选根号个，小于根号的也不会超过500。
f[i][j]表示凑i用了j个数字。
那么我们会发现实际上是在集合里填数的过程，即要么集合整体+1,要么加入一个新数再整体+1.
随便算。
2.求整数n的不同划分方案数，一个划分中可以有相同的数字。
对>sqrt(n)是可以用第一题的方法解决的，但是小于的话我们好像不太好解决。然而可以背包。
那么我们合并一下就完了。（注意大于的时候要设一个单位元）
3.你有n元钱。去买东西的时候，价格为i的恰有i个。正好花完这n元的方案数是多少？
如果>sqrt(n)，那么我们就是依旧的第二题。
小于的话显然可以多重背包，但是会发现T掉了。（废话）
仔细看看就是个模意义下的前缀和？
解决了。。。
2016-11-21
Codeforces #380 div1.D
虽然注意到根号，但是完全不觉得有用，这就是死因所在。
我们一定要注意到奇特的地方，然后试图去解决它。

4.黑科技建图

我记得有个人的博客上写了这一坨东西，大概是一个可持久化线段树优化建图的事情，具体题目在BZOJ的某个题有个”XXXXXXII”这个题面应该很好找。
PA2011 Journey
首先我们发现暴力建图不可取。
然后如果想一想的话，实际上可以把这个连续的一段点拆成区间。
那么我们考虑用某个点P去更新答案的时候，只需要看P所在的这段区间是否被之前的子节点更新过了就行，因为这是bfs的过程。
我们发现每个区间必然只会更新一次，每个点必然也只会被更新一次。
那么总复杂度是OO(跑得过)。

5.前缀和

不会前缀和的人在BJOI都被6题暴力了。
1.BJOI的SBD1T3。
2.n个数，问所有区间中多少个区间平均值>=m。
我们来看这个题。
首先显然的转前缀和，这样变成了s[r] - s[l - 1] >= len * m
不行，还不能做。
实际上，我们关于这个长度的定值，显然也是可前缀和的！
s[i] = s[i] - i * m;
这样的话我们就问有多少s[r] - s[l - 1] > 0。
离散化之后，枚举左端点，右端点在树状数组中查询。

6.离线算法

许多人啊。
他们不知道离线的可贵。
他们不知道只有删除的题可以离线转成只插入的题。
嗯没错我就是他们中的一员。
1.每次删除一条边，询问联通块个数。
离线+并查集。
2.莫队的题。
3.暴力分块重构。
4.覆盖问题(显然每个点只需要倒着覆盖一次即可)
……

7.倒着DP

习题1.奖励关。
习题2.hzwer的模拟赛有一个很好玩的题。

8.数值的定义域

这个是什么呢……
就是有个显然的把所有数值都存起来的题，然而我没想出来。
在做一些明显有最大值最小的东西，然而还让你变成最简分数的题的时候，可以看看它的数值的定义域，是不是可以承受的级别。
~~为什么要墨迹这么多呢，因为我记不得题面了。~~

9.最短路

~~我SPFA写拆点的题就没有一次能想到拆点啊摔~~

10.要学会解方程

这里的意思是，解一个方程的过程要写出来。
比如

ax+by=e

ax + by = e

cx+dy=f

cx + dy = f
你并不知道 a,b,c,da,b,c,d是否是正整数，所以这样会很麻烦。
干脆写个高斯消元？
并不知道这种东西怎么考虑。

11.用堆维护删除序列

习题：链表+堆维护最大M子段和。

12.双指针

习题1：n只宠物小精灵一共有m种，你要每种至少抓一只，只能抓连续一段小精灵，求最小的区间长度。
注意这个转移指针是O(1)的。
//好像如果能用双指针转移往往都是O(1)的啊
//一般来讲前缀和+二分可以变成双指针的形式。

13.常见贪心：

用大的带小的：乘船问题什么的。
每次合并两个小的：合并果子。
balabala

14.暴力DP：

暴力DP的想法虽然大家都懂，就是先列一下朴素的方程，然后再说别的。
但是显然对于这个题……
真的是想一想暴力就A了啊GG

考虑f[i][j][k]表示sum为k，走到（i,j）。
然后没了。

15.CDQ分治：

作为一个能写动态开点线段树就懒得写别的的时候。
被卡空间的时候真是喜闻乐见。
神TM不会CDQ分治啊……
以后能用CDQ就不写数据结构了！
代码能力–；
=> 代码能力 < 0.

16.卡特兰数

卡特兰数f(n)是长度为2n合法括号序列方案数。
其计算公式

(2nn)−(2nn+1)=(2nn)n+1

\binom {2n}{n} - \binom {2n}{n+1} = \frac {\binom {2n}{n}}{n + 1}
推导过程(ﾉ*･ω･)ﾉ
首先肯定是在 2m+12m+1位上 第一次出现了右括号(记作0).
对于剩下的 (n−m)(n - m)个1以及 (n−m−1)(n - m - 1)个0所能任意组成的序列个数，等价于 (n−m)(n - m)个0以及 (n−m−1)(n - m - 1)个1所能任意组成的序列个数.
那么实际上，对于所有的m，我们都计算一遍。
不过仔细想一想，实际上就是询问长度为 2n2n序列中，有 n+1n+1个0的序列个数。
得证。

17.法里级数

我们如果要得到以m为分母的所有的真分数，那么肯定是：
(1..i) / m
但是肯定有一些东西不是最简分数。
我们知道，化简之后肯定是一个p/qp/q的形式。
那么我们把它都化简之后，对于分母qq能得到:p/qp/q，(p,q)=1(p,q) = 1
我们知道，对于所有化简之后的分母，我们能得到mm个最简分数。这样，我们推断出一条性质：

∑d|nφ(d)=n

\sum_{d | n}\varphi (d) = n
估计这个很好玩，可以出题。

18.暴力建图的优化

河里有n个点，每个点上可以放m种盘子，每种盘子有代价。
现在问你在点上放盘子走到对岸的最小代价。
我们显然能看出这是个最短路题，但是我们暴力拆点建图的话，点数是O(nm)O(nm)的，但是边数爆炸。
我们可以仔细考虑一下，实际上我们只需要对于点i的对应着第j个盘子向第j+1个盘子连代价差就行了。然后对于每个点，我们自己连自己的价格差就行，这样边数就降低到了O(n2m)O(n^2m).

19.删除一类问题的单调性/永久性

bzoj 3069 可以发现，每个边双在删除最后一条边的时候，才会被永久消除。我们倒过来插入，启发式合并即可。但是由于自己太懒了，写的LCT。
[PA2011]Journey 考虑到一个点如果被遍历到了，实际上它就被永久删除了，那么我们开个set什么的记录一下，或者用链表删掉它即可。

20.扫描线

扫描线和预处理不同，扫描线是你边加入贡献边算答案，你并不知道未来/历史的值，而预处理就是你知道过程中的所有的值。
我们来看SRM671的Div1600的题目：
给你一个序列s,问满足a<b<c<da 且ac=bdac = bd的四元组个数。序列长度小于等于1000.
如果我们采取预处理的办法，是没办法得到答案的，因为我们要记录每一时刻的答案。那么不妨倒着枚举b，然后加入所有的(c,d)元组，再枚举a来更新答案。

dwn(i,n)
{b = w[i];rep(j,i - 1)cal(a = w[j],b);c = w[i];rep(j,i + 1,n)add(c,d = w[j]);
}

似乎四元组的常见思路是想办法枚举中间两个/把前两个和后两个独立开来。
询问[l,r]的数值个数。
[i,last[val[i]]]看作一个点，然后我们就需要知道横坐标在[l,r],纵坐标[0,l-1]的矩形点数。
这个显然可以1个log解决。
离线：扫描线
在线：可持久化

21.鸽巢原理

CF681A
构造题，题意：构造一个长度为n的序列，使得这m个区间的mex值的最小值最大。
做法：如果考虑鸽巢原理的话，我们每1..len1..len就顺序放排列，这样的话显然的一件事情就是对于长度大于lenlen的肯定能满足条件。这就是鸽巢原理的应用。

22.查询区间的小于一个数值的个数

这个显然是主席树/扫描线+树状数组。
题目：
一个n个节点的树，m次询问，每次询问一个点u满足dep[u] + val[u] >= dep[v]的v的个数。
显然对dfs序建树然后搞一搞就行了。

23.环<=>二分图(注意特殊的度数情况)

环=>入度等于出度。
那么意味着一个匹配。
BZOJ3171
直接建图跑费用流即可。

24.写递推式

无论什么时候，都不要忘记写递推式。
无论你觉得那个递推式难不难写。
收智商税的时候到了：
SRM664D1L1：
两堆石子。每次从大的里捞出小的那部分，然后放到小的石子那堆里。
问k次操作时候会变成啥样。(int范围)
交智商税的时间到了！
叫你不写递推！
叫你不写递推！
叫你不写递推！
叫你不写递推！
叫你不写递推！
叫你不写递推！
令f[i]f[i]表示第ii次的最小的那堆的数目。

f[i]=2∗f[i−1]<SUM?(2∗f[i−1]):(2∗f[i−1]−SUM)

f[i] = 2* f[i - 1]
快速幂解决即可。

25.点分治

点分治是解决树上路径问题的比较常用的做法。
我们解决点分治的时候，如果处理要过x的路径，那么通常会面临算到了x的某个子树里面去这种问题。所以我们通用的一种做法是先计算答案，然后再Update一下这个子树的贡献。
还有一种想法是容斥，比如点分治的板子题，我们就用了容斥的思想，先什么都不管暴力算一算，不管在不在子树里面，然后直接把子树的这种暴力的答案减掉就行了。

26.树思想

之前自己只知道一棵叫做dfs/bfs树的东西。
现在知道了很多恐怖的东西。
比如点分树(solve(x)调用的时候形成的树)，fail树(AC自动机的那个fail指针的树)。
很多东西需要自己发现，而不是别人说：”告诉你，点分治形成了个树”的时候，你才知道点分治会搞出个树。

27.线段树分治

我不得不说似乎这个东西挺妙的。
把插入删除变成只有插入和撤销两种操作，还是挺好玩的。
另外还学到了并查集的启发式合并，感觉非常开心。

28.欧拉定理

在b>φ(p)b > \varphi(p)的前提下：

abmodp≡abmodφ(p)+φ(p)modp

a^b \mod p \equiv a^{b \mod \varphi(p)+\varphi(p)} \mod p

29.平方与卷积

(a−b)2=(b−a)2(a-b)^2 = (b - a)^2.
那如果在前面乘上一个f(a)f(a),就成卷积形式了，就可以FFT了！

30.斜率优化

其实是个很简单的东西，把ii和jj分离，把只和jj有关的看作YjY_j,然后把i,ji,j都有的那个jj那项看作横坐标，用ii那项去碰凸壳就行了。

31.极差的性质：

一段区间的子区间极差最大值：
显然等于这段区间的极差。
因为增长区间之后，最大值不降最小值不增，故极差不降。
一段区间的子区间极差最小值：
显然等于每个相邻两个数的差值，理由是极差不降。
来自北京冬令营的T3。