有一个问题困扰我良久，那就是对角化的问题。

根据《数学复习全书【经济类·数学三】（2011年版）》（以下简称《二李》）第349页的定义，对角化在这里就是默认等于相似对角化。这种理解我认为并不合适。

下面我用自己的语言来总结一下有关的概念和彼此之间的关系，这种解释仅限于帮助理解，并不严格成立。

首先，我们来定义对角化。在这篇文章里，矩阵通过变换化为对角矩阵（Diagonal Matrix）的过程都叫做对角化。

按照矩阵的特性，我们将分两类讨论对角化的问题：第一类是一般矩阵（方阵）的对角化问题，第二类是一类特殊矩阵的对角化问题——实对称矩阵的对角化。

先说一般矩阵的对角化。

对于一般的方阵，对角化的方法，在考研的要求里面，仅限于相似对角化，即将矩阵通过相似变换化成一个对角阵。由于相似矩阵之间具有相同的迹（tr）、秩（r）、特征值（λ），又因为上三角形矩阵的特征值就是对角线上的各个数字。因此，我们可以得出，通过相似对角化得到的相似对角阵一定是这个矩阵的特征值对角阵。而对应矩阵P的每一列则是与其相应特征值的位置一一对应。

并不是所有的矩阵都可以相似对角化，相似对角化的充要条件是，n阶矩阵本身具有n个相性无关的特征向量。在《二李》书中，矩阵相似对角化的充要条件还有一个，即对矩阵的每个特征值，线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重根数。但是，由于不同特征值之间的特征向量是彼此线性无关的，于是，对矩阵的每个特征值，线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重根数实际上就是使这个n阶矩阵本身具有n个相性无关的特征向量。因此说，相似对角化的充要条件实际上就是后者。

再来说说实对称矩阵的对角化问题。

在这个问题之前，先铺垫一下合同和相似的关系。合同是实对称矩阵特有的一种关系（至少在考研中是这样），这种关系比相似要宽松一些。从《理解矩阵》一文中，我们可以知道，相似的两个矩阵就好比是从不同角度拍摄的同样一头猪。而合同，按照那篇文章的思路，大约应该是和那头猪长的比较像的另外一头猪。在实对称矩阵中，相似的矩阵一定合同，合同的矩阵却不一定相似。

回到我们要讨论的问题。《二李》的第349页中提到，实对称矩阵必可对角化。而《二李》在第375页又提到任一实对称矩阵必合同于一个对角矩阵。因此，我将这种对角化又进行了细分。

在实对称矩阵中，对角化的方式有两种，一种我命名为“合同对角化”，即存在可逆矩阵C，使C(T)AC=Λ。另外一种我命名为“相似对角化”，即存在可逆矩阵C，使C(-1)AC=Λ。我们下面要讨论的就是这二者之间的关系，并进一步讨论这种对角化与二次型化标准型的关系。

由定理6.1可知，任一实对称矩阵都可以合同对角化。而由于实对称矩阵的k重特征值必有k个相性无关的特征向量，因此任一实对称矩阵又都可以相似对角化。也就是说，任一实对称矩阵既可以合同对角化，又可以相似对角化。或者说，实对称矩阵和一般的矩阵比起来，不仅可以通过相似得到一个对角阵，还可以通过合同得到另一个对角阵。这两个对角阵并不必然相等。

下面讨论一个特殊情况，那就是如果C是正交矩阵。此时C满足C(T)=C(-1)。按照之前的定义，如果C是正交矩阵，那么此时用C将矩阵A对角化，不仅是将其合同对角化，同时还是相似对角化，达到了两种对角化的统一。

接下来讨论一下实际操作的问题。

如何将一个实对称矩阵合同对角化？将一个实对称矩阵合同对角化的方法实际就是求二次型标准型的方法，至于具体的操作方法和二者的关系我们在下面论述。

如何将一个实对称矩阵相似对角化？方法同一般矩阵的相似对角化方法。

如何将一个实对称矩阵既合同又相似对角化？方法是在相似对角化的基础上将C化为正交矩阵。那么这样的正交阵如何求出的呢？由于实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，因此将实对称矩阵相似对角化后，只需要将重根特征值的特征向量正交化，再将所有特征向量单位化即可实现。

最后来谈谈二次型化标准型与矩阵对角化的关系。

每一个二次型对应着一个实对称矩阵。在考研中，二次型化标准型主要是通过坐标变换（或者配方）的方法来实现的。按照定义可以发现（定义见《二李》第374页），坐标变换化二次型为标准型和将实对称矩阵合同对角化其实是一个问题的两种表述。因此，实对称矩阵的合同对角化就可以通过相应二次型的配方或者坐标变换来实现（大多数也是这样实现的）。在坐标变换中，特殊地存在一种正交变换。相对应地，正交变换化二次型为标准型和将实对称矩阵正交相似对角化（实对称矩阵既合同又相似对角化）其实也是一个问题的两种表述。

以上就是我对于矩阵对角化的一些总结。这些总结是建立在之前三次总结的基础之上的。每一次的总结都是一个提升，而这次我想应该是这一个里程碑。希望和我一起考研的同学继续努力加油，我也加油！希望大家都有一个满意的结果。

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