51nod1538：一道难题（特征多项式+多项式取模/求逆）

传送门

题解：
观察下这个等式，其实就是fn=∑ifn−aif_n = \sum_{i}f_{n-a_i}fn=∑ifn−ai。

前面的求逆预处理一下，后面的特征多项式倍增和取模就行了，时间复杂度O(klog⁡klog⁡m)O(k \log k \log m)O(klogklogm)。

注意a1a_1a1可能大于23333，RE了半天。。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;const int RLEN=1<<18|1;
inline char nc() {static char ibuf[RLEN],*ib,*ob;(ib==ob) && (ob=(ib=ibuf)+fread(ibuf,1,RLEN,stdin));return (ib==ob) ? -1 : *ib++;
}
inline int rd() {char ch=nc(); int i=0,f=1;while(!isdigit(ch)) {if(ch=='-')f=-1; ch=nc();}while(isdigit(ch)) {i=(i<<1)+(i<<3)+ch-'0'; ch=nc();}return i*f;
}const int N=2e6+50, mod=104857601, lim=23333;
inline int add(int x,int y) {return (x+y>=mod) ? (x+y-mod) : (x+y);}
inline int dec(int x,int y) {return (x-y<0) ? (x-y+mod) : (x-y);}
inline int mul(int x,int y) {return (long long)x*y%mod;}
inline int power(int a,int b,int rs=1) {for(;b;b>>=1,a=mul(a,a)) if(b&1) rs=mul(rs,a); return rs;}namespace FFT {int w[N*8],pos[N*8],k;int A[N*8],B[N*8];inline void pre() {for(int bl=1,i=0;bl<=2e5;i+=bl,bl<<=1) {int wn=power(3,(mod-1)/bl/2);w[i]=1;for(int j=1;j<bl;j++) w[i+j]=mul(w[i+j-1],wn);}}inline void init(int nn) {for(k=1;k<=nn;k<<=1);for(int i=1;i<k;i++) pos[i]=(i&1) ? ((pos[i>>1]>>1)^(k>>1)) : (pos[i>>1]>>1);memset(A,0,sizeof(int)*k);memset(B,0,sizeof(int)*k);}inline void dft(int *a) {for(int i=1;i<k;i++) if(pos[i]>i) swap(a[pos[i]],a[i]);for(int bl=1,i=0;bl<k;i+=bl,bl<<=1) {int tl=bl<<1, wn=power(3,(mod-1)/tl);for(int bg=0;bg<k;bg+=tl)for(int j=0;j<bl;j++) {int &t1=a[bg+j], &t2=a[bg+j+bl], t=mul(t2,w[i+j]);t2=dec(t1,t); t1=add(t1,t);}}}inline void func() {dft(A); dft(B);for(int i=0;i<k;i++) B[i]=mul(A[i],B[i]);dft(B); reverse(B+1,B+k);const int inv=power(k,mod-2);for(int i=0;i<k;i++) B[i]=mul(B[i],inv);}
}
int n,a[N],A,B; long long m;
struct poly {vector <int> a;inline int deg() const {return a.size()-1;}poly(int d=0,int t=0) {a.resize(d+1); a[d]=t;}inline int& operator [](const int &b) {return a[b];}inline const int& operator [](const int &b) const {return a[b];}friend inline poly operator *(const poly &a,const poly &b) {FFT::init(a.deg()+b.deg());for(int i=0;i<=a.deg();i++) FFT::A[i]=a[i];for(int i=0;i<=b.deg();i++) FFT::B[i]=b[i];FFT::func(); poly c(a.deg()+b.deg(),0);for(int i=0;i<=c.deg();i++) c[i]=FFT::B[i];return c;}friend inline poly operator *(const poly &a,const int &b) {poly c=a; for(int i=0;i<=c.deg();i++) c.a[i]=mul(c.a[i],b);return c;  }friend inline poly operator -(const poly &a,const poly &b) {poly c(max(a.deg(),b.deg()));for(int i=0;i<=a.deg();i++) c[i]=a[i];for(int i=0;i<=b.deg();i++) c[i]=dec(c[i],b[i]);return c;}  friend inline poly operator +(const poly &a,const poly &b) {poly c(max(a.deg(),b.deg()));for(int i=0;i<=a.deg();i++) c[i]=a[i];for(int i=0;i<=b.deg();i++) c[i]=add(c[i],b[i]);return c;}inline poly calc_inv(poly f,int len) {if(len==1) return poly(0,power(f[0],mod-2));poly f0=calc_inv(f.extend(len>>1),len>>1);return (f0*2-(f0*f0).extend(len-1)*f).extend(len-1);}inline poly calc_inverse(int nn) {FFT::init(nn);return calc_inv(this->extend(nn),FFT::k).extend(nn);}inline poly rev() {poly c=*this; reverse(c.a.begin(),c.a.end()); return c;}friend inline poly operator %(const poly &a,const poly &b) {if(a.deg()<b.deg()) return a;poly A=a, B=b; int res=a.deg()-b.deg();A=A.rev().extend(res); B=B.rev().extend(res);poly C=B.calc_inverse(res);poly D=(A*C).extend(res).rev(); return (a-b*D).extend(b.deg()-1);}inline void dg() {if(!deg()) a[0]=0;else {for(int i=0;i<deg();i++) a[i]=mul(i+1,a[i+1]);a.pop_back();}}inline poly extend(int nn) {poly c=*this;c.a.resize(nn+1);return c;}inline int getval(int x) {int res=0, w=1;for(int i=0;i<=deg();i++)res=add(res,mul(w,a[i])), w=mul(w,x);return res;}
};int main() {FFT::pre();cin>>n>>m;cin>>a[1]>>A>>B;for(int i=2;i<=n;i++) a[i]=((long long)a[i-1]*A+B)%lim+1;poly g(lim,0);for(int i=1;i<=n;i++) if(a[i]<=lim) g[a[i]]++;poly f(0,1);f=(f-g).calc_inverse(lim);g=poly(lim,1);for(int i=1;i<=n;i++) if(a[i]<=lim) g[lim-a[i]]--;poly rs(0,1), h(1,1);for(;m;m>>=1,h=h*h%g)if(m&1) rs=rs*h%g;int ans=0;for(int i=0;i<=lim && i<=rs.deg();i++)ans=add(ans,mul(rs[i],f[i]));cout<<ans<<'\n';
}

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