2019年第十届蓝桥杯决赛(国赛) C++大学A组 D题 序列求和【全网找不到的题解？】
题面
试题 D: 序列求和
本题总分：10 分
【问题描述】
学习了约数后，小明对于约数很好奇，他发现，给定一个正整数 t，总是可以找到含有 t 个约数的整数。小明对于含有 t 个约数的最小数非常感兴趣，并把它定义为 S t S_t St。
例如 S 1 = 1 S_1 = 1 S1=1, S 2 = 2 S_2 = 2 S2=2, S 3 = 4 S_3 = 4 S3=4, S 4 = 6 S_4 = 6 S4=6，· · · 。
现在小明想知道，前 60 个 S i S_i Si 的和是多少？即 S 1 S_1 S1 + S 2 S_2 S2 + · · · + S 60 S_{60} S60 是多少？
【答案提交】
这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。
思路
在网上找了半天都没有这题的正确题解，决赛A组的填空题都没人写题解？好吧，然而我也不会，写了个暴力，打表到50就不行了，看来答案至少到long long了。
请教了搞数学的队友yz @yingyingying002（yz tql），告诉我直接dfs搜索，分解数求值。
举个例子，求因子数为12的最小数。
12 = 6 ∗ 2 ； a n s = 2 5 ∗ 3 1 12 = 6*2；ans=2^5*3^1 12=6∗2；ans=25∗31
= 3 ∗ 2 ∗ 2 ； a n s = 2 2 ∗ 3 1 ∗ 5 1 = 3*2*2；ans=2^2*3^1*5^1 =3∗2∗2；ans=22∗31∗51
= 4 ∗ 3 ； a n s = 2 3 ∗ 3 2 = 4*3；ans=2^3*3^2 =4∗3；ans=23∗32
= 2 ∗ 2 ∗ 3 ； a n s = 2 2 ∗ 3 1 ∗ 5 1 = 2*2*3；ans=2^2*3^1*5^1 =2∗2∗3；ans=22∗31∗51
12有以上4种分解方法，每个乘数-1就是要求的数分解后的质数的幂次（唯一分解定理），接下来考虑如何分配这些幂次给质数使得数最小？显然贪心。我们看最后一种分解方法，12=2*2*3，将其降序排序，3,2,2，再减一为2,1,1，那么显然 2 2 ∗ 3 1 ∗ 5 1 2^2*3^1*5^1 22∗31∗51能够让数尽量小并且满足因子数为12。
最后，我们dfs搜出所有的分解情况，然后其中最小的数。
另外，特判因子数为质数，比如因子数是13，减一是12，这个幂次全部分配给2，能得到的最小数是212，满足因子数是13。
代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef unsigned long long ll;
const ll N=1e5,inf=1e18;
bool vis[N+10];
ll prime[N+10],tot=0,mi;
void get_prime() // 素数筛
{memset(vis,1,sizeof(vis));vis[0]=vis[1]=0;for(int i=2;i<=N;i++){if(vis[i])prime[tot++]=i;for(int j=0;j<tot&&i*prime[j]<=N;j++){vis[i*prime[j]]=0;if(i%prime[j]==0)break;}}
}
ll qpow(ll a,ll b) // 快速幂
{ll s=1;while(b){if(b&1)s=s*a;b/=2;a*=a;}return s;
}
ll dfs(ll x,vector<ll>g) // 将x分解成若干个数的乘积
{if(vis[x]||x==1)return qpow(2,x-1); // 特判质数和1for(ll i=2;i*i<=x;i++){if(x%i==0){ll t=x/i; // 大的那个数 g.push_back(i);// 更新mi vector<ll>tmp=g;tmp.push_back(t); sort(tmp.begin(),tmp.end(),greater<ll>());ll s=1;for(int j=0;j<tmp.size();j++)s*=qpow(prime[j],tmp[j]-1); mi=min(mi,s);dfs(t,g);g.pop_back();}}return mi;
}
int main()
{ios::sync_with_stdio(false);get_prime();ll ans=0;vector<ll>g;for(int i=1;i<=60;i++){mi=inf;g.clear();ll ts=dfs(i,g);ans+=ts;//printf("i=%d ts=%lld ans=%lld\n",i,ts,ans);}printf("%lld\n",ans);return 0;
}
答案：292809912969717649
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