用randX 实现 randY（X < Y）

其中，randN表示等概生成[1，N]的数
从一个力扣上的例子来引入吧

470. 用 Rand7() 实现 Rand10()

最直观的想法是用rand7()+rand7()-1去生成[1, 13]的数，然后只取[1, 10]，但实际上这里的每个数并不是等概的，例如1的概率是1/49（1+1），但10的概率是4/49（4+7，5+6，6+5，7+4）。所以该方法并不可行。
事实上，可以把第一个rand7()和第二个rand7()分别看成两个独立的随机变量，假设分别为A和B，那么对于A∈[1,7]和B∈[1,7]，可以作成一张二维表，一共有7*7=49种等概情况。

那么实际上我们只需在这49种情况中取出10种，其他的设为拒绝域（即不符合要求就重新采样）。但是这样设置，接收域概率太小了，可能导致我们的多次尝试。因此可以考虑对现有的49种情况归类，因为共10类，49/10=4…9，因此每类可以包含4种情况，剩下多出来的9类为拒绝域。

对于每种情况，我们需要进行一个编号，最简单的编号方法就是逐行从左到右编号。可以理解为，对于A=a，B=b，编号f(a,b)的映射为

f(a,b) = (a-1)*7 + b ∈[1,49]

这样就把所有情况映射到了区间[1,40]内（大于40的被舍弃）。
接着再对10取余，余数[0, 9]分别对应10种情况。
通过这种方式，可以最大化的利用出现概率。

深入分析

该问题的本质是对二元随机分布共7*7=49种情况去找一个合适的映射，等概地映射到10类。前面最直观的想法用rand7()+rand7()-1，实际上是找到映射f(a,b)=a+b ∈[2, 14]，但这里值域的每个值的概率并不相等，所以这种映射是错误的。而用f(a,b)=(a-1)*7 + b 这种编号映射，十分直观，又可以最大化的利用概率。
合理映射不止一种，具体看如何设计了，例如，力扣某大佬设计出的下面这种，也是可以的（虽然多了一些拒绝域）：

推广：用randX 和 randY实现 randXY（X < Y）

对于任意两个随机器 randX 和 randY，总共对应有XY种情况，可以组合成一个 randXY 的随机器，具体地：

randXY = (randX-1) Y + randY

而任意的 randX，可以由其整数倍的随机器 randY = k*X 通过下式得到

randX = randY % X + 1

用randY 实现 randX（Y>X）

若Y恰好是X的整数倍，则用上式即可；
若非整数倍，则先设置接收域和拒绝域，接收域为X的整数倍。那么取能够使得k*X<=Y的最大整数值k，充分扩大接收域范围。
例如在上面的例子中 rand49 -> rand10 ，取k=Y//10=3。

优化：充分利用拒绝域

在前面的例子中，对于位于拒绝域[41, 49]的元素，是采用直接抛弃的策略，重新生成随机数，这样效率是比较低的。但实际上，我们可以利用这个拒绝域，做一些延伸性的工作，尽可能提高命中概率。
对于不幸落于拒绝域的情况（元素超过40），可以认为其是一个rand9的随机生成器，那么可以再利用rand7，生成[1,63]，然后取[1,60]为接收域，[61,63]为拒绝域。若再次不幸落于这个拒绝域中，我们又可以重复上一步的思路，认为这是一个rand3的随机器，利用rand7，生成[1,21]，取[1,20]为接收域，[21,21]为拒绝域。此时若又不幸落于拒绝域21中，那么就是一个特定的数不再是随机数了。那么只能重头来过。
通过以上操作，我们可以算一下概率，三次都不命中的概率为：

而如果不利用拒绝域，三次都不命中的概率为：

前者明显更小！！！
附一张官方题解计算的命中需调用rand7()次数的期望：
优化后：

优化前：

但这个是否是一个普适的结论，仍需严谨考证，也欢迎大家在下面留言一起讨论~

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参考：
从最基础的讲起如何做到均匀的生成随机数
官方题解：用 Rand7() 实现 Rand10()

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f(a,b) = (a-1)*7 + b ∈[1,49]

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推广：用randX 和 randY实现 randXY（X < Y）

randXY = (randX-1) Y + randY

randX = randY % X + 1

用randY 实现 randX（Y>X）

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