广义瑞利商_瑞利商与极值计算

对于一个埃尔米特矩阵及非零向量，定义瑞利商

这里的是的共轭转置矩阵，如果都由实数元素组成，那么瑞利商可以写成

设的特征值与特征向量分别为，，并且有

下面将证明，在确定的情况下

由于是一个埃尔米特矩阵，所以存在一个酉矩阵满足

其中，将上式代入瑞利商

假设那么

根据特征值的大小关系，可得如下不等式

于是有

设的第 i 行，第 j 列元素为，的第 i 行，第 j 列元素为，那么

于是

由于是酉矩阵，即

写成展开形式为

当时，，当时，。所以可以得到

代入上述不等式，可得

并且当时，当时。这就证明了前面的结论。

另一方面，如果我们用来取代，其中为非零的实数，发现

也就是说，对进行等比例缩放并不会影响瑞利商的值，即

于是，我们可以令，这样就有。此时对瑞利商求极值就是在约束条件下，对求极值。下面使用拉格朗日乘子法来解，定义拉格朗日函数

对求梯度，并令值为0

即的特征值能使得瑞利商取得极值，并且。

瑞利商的另一种推广形式——广义瑞利商，在 Fisher 线性判别分析中有重要应用。定义

其中为对称正定矩阵，基于同样的理由，我们缩放使得，然后利用拉格朗日乘子法求的极值，定义

然后求梯度取零

也就是说，的极值在的特征向量上取得，其驻值就为特征值。

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