PDF、PMF、CDF是什么

2024-06-09 19:11:18

PDF、PMF、CDF是什么

1.概念
2.数学表示
3.结论

1.概念

PDF：概率密度函数（probability density function），是用来描述连续型随机变量的输出值，在某个确定的取值点附近的可能性的大小的函数。

PMF : 概率质量函数（probability mass function)，是用来描述离散型随机变量在各特定取值上的概率。

CDF : 累积分布函数 (cumulative distribution function)，又叫分布函数，是概率密度函数的积分，用来表示离散型随机变量x的概率分布。
累计分布函数就是从上图中的概率密度曲线的最左边开始，然后逐渐往右求取曲线下方的面积，即概率。

总结一下就是上面三者的横轴都是随机变量x的取值，PDF的纵轴表示连续型随机变量x出现的可能性(非概率)，PMF的纵轴表示离散型随机变量x出现的概率，CDF的纵轴表示连续型随机变量x的概率。

2.数学表示

PDF
如果XX是连续型随机变量，定义概率密度函数为fX(x)fX(x)，用PDF在某一区间上的积分来刻画随机变量落在这个区间中的概率，即

PMF
如果XX离散型随机变量，定义概率质量函数为fX(x)fX(x),PMF其实就是高中所学的离散型随机变量的分布律,即

比如对于掷一枚均匀硬币，如果正面令X=1X=1，如果反面令X=0X=0，那么它的PMF就是

CDF
不管是什么类型（连续/离散/其他）的随机变量，都可以定义它的累积分布函数，有时简称为分布函数。

对于连续型随机变量，CDF就是PDF的积分，PDF就是CDF的导数，有

对于离散型随机变量，其CDF是分段函数，比如举例中的掷硬币随机变量，它的CDF为

3.结论

PDF是连续变量特有的，PMF是离散随机变量特有的；
PDF的取值本身不是概率，它是一种趋势（密度）只有对连续随机变量的取值进行积分后才是概率，也就是说对于连续值确定它在某一点的概率是没有意义的；
PMF的取值本身代表该值的概率。

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