Description

神炎皇乌利亚很喜欢数对，他想找到神奇的数对。
对于一个整数对 (a,b)(a,b)，若满足 a+b<=na+b 且 a+ba+b 是 abab 的因子，则成为神奇的数对。请问这样的数对共有多少呢？

Input

一行一个整数n。

Output

一行一个整数表示答案，保证不超过64位整数范围。

Sample Input

Sample Output

Data Constraint

对于20%的数据 n<=103n；
对于40%的数据 n<=105n；
对于60%的数据 n<=106n；
对于80%的数据 n<=1012n；
对于100%的数据 n<=1014n。

Solution

观察a+b<=na+b 且 a+b|aba+b|ab
使

d=Gcd(a,b)

d=Gcd(a,b)必然 d>1d>1 才能使 a+b|aba+b|ab
则

a=a′d，b=b′d

a=a'd，b=b'd
可知

Gcd(a′,b′)=1

Gcd(a',b')=1
推出

Gcd(a′+b′,b′)=1

Gcd(a'+b',b')=1
所以

a+b|ab=>(a′+b′)d|a′b′d2=>a′+b′|a′b′d

a+b|ab =>(a'+b')d|a'b'd^2=>a'+b'|a'b'd
因为

a′+b′∤a′b′

a'+b'∤a'b'
所以

a′+b′|d

a'+b'|d
又设

d=c(a′+b′)

d=c(a'+b')
则

a+b=d(a′+b′)=(a′+b′)2⋅p≤n

a+b=d(a'+b')=(a'+b')^2·p\leq n 且

p>0

p>0
所以

a′+b′≤n√

a'+b'\leq \sqrt n
设

k=a′+b′

k=a'+b'，之后枚举 kk。
由于p可能的取值为

⌊nk2⌋

⌊\frac{n}{k^2}⌋
由

Gcd(a′+b′,b′)=1

Gcd(a'+b',b')=1得

Gcd(k,b′)=1

Gcd(k,b')=1
那么b’的取值就是

φ(k)

φ(k)
所以答案就是

∑k=1n√k∗⌊nk2⌋∗φ(k)

\sum_{k=1}^{\sqrt n} k * ⌊\frac{n}{k^2}⌋ * φ(k)
因为 φ(k)φ(k) 可以用线性筛法求出!
最终时间复杂度就是

O(n√)

O(\sqrt n)

Code

#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=10000001;
int m;
LL n,ans;
int f[N],phi[N];
bool bz[N];
int main()
{scanf("%lld",&n);m=sqrt(n);for(int i=2;i<=m;i++){if(!bz[i]) phi[f[++f[0]]=i]=i-1;for(int j=1;j<=f[0] && i*f[j]<=m;j++){bz[i*f[j]]=true;if(i%f[j]==0){phi[i*f[j]]=phi[i]*f[j];break;}else phi[i*f[j]]=phi[i]*(f[j]-1);}}//线性筛法for(int i=2;i<=m;i++) ans+=n/(1LL*i*i)*1LL*phi[i];printf("%lld",ans);return 0;
}

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