表示学习（representation learning）领域最初由监督式方法实现，使用超大标注数据集得到了突出的结果。而之前通过无监督方式生成的模型往往使用概率方法处理低维数据。近年来，这两种方法逐渐结合。在交叉点形成的新领域，出现变分自动编码器（VAE）[1] 这一成熟的方法，虽然理论成熟，但应用于自然图像时会生成模糊的样本。相比之下，生成对抗网络（GAN）[3] 在模型采样的图像的视觉质量方面更加突出，但它的缺点是没有编码器，更难训练，并且有「模式崩溃」（mode collapse）的问题，最终的模型无法捕获真实数据分布的所有变化。此前的研究中，研究人员已经分析过很多 GAN 结构和 VAE、GAN 组合结构的问题，但我们还没有发现一个把 GAN 和 VAE 的优点适当结合的统一框架。

谷歌大脑的这项工作建立在 L. Mescheder 等人 [11] 提出的理论分析的基础上。根据 Wasserstein GAN 和 VEGAN，我们从最佳传输（OT：optimal transport）的角度来看生成建模。最佳传输成本（The OT cost）[5] 是一种测量概率分布之间距离的方法，且比其它方法（包括与原始 GAN 算法相关的 f 增益（f-divergences））的拓扑更弱。这在应用里面非常重要，因为在输入空间 X 中，数据通常是靠低维流形支持的。因此，更强烈的距离概念（如捕获分布间密度比率的 f 增益）往往最大，没有给训练提供有用的梯度。相比之下，有人称 OT 会有更好的表现 [4, 7]，尽管在其 GAN 类的实现中，需要在目标中增加约束项或正则项。

这篇文章中，我们的目标是最小化实际（但未知）的数据分布 PX 、由隐藏代码（latent codes）Z ∈ Z 的先验分布规定的隐变量模型 PG 和数据点 X ∈（X|Z）的生成模型 PG(X|Z) 之间的 OT Wc(PX, PG)。我们的主要贡献如下（参见图 1）：

Wasserstein 自动编码器（WAE），一个新的正则化自动编码器家族（算法 1，2 和等式 4），可以最小化任何成本函数 c 的最佳传输 Wc（PX，PG）。与 VAE 类似，WAE 的目标由两项组成：c-重构成本（c-reconstruction cost）和一个正则化矩阵，正则化矩阵用于惩罚 Z：PZ 中的两个分布和编码数据点的分布矛盾，即 QZ := EPX [Q(Z|X)]。当 c 是成本的平方，DZ 是 GAN 目标时，WAE 与 [2] 中的对抗自编码器一致。

WAE 通过成本平方 c(x, y) = ||x−y||2 在 MNIST 和 CelebA 数据集上进行评估。研究员的实验表明，WAE 保持了 VAE 的良好特性（训练稳定，编码器-解码器架构和一个好的潜在流形结构），同时生成了质量更好的样本，接近 GAN 生成的样本。

我们提出并检验了两个不同的正规化矩阵 DZ（PZ，QZ）。一个基于 GAN 和隐空间（latent space）Z 的对抗训练，另一个利用最大均值差异（maximum mean discrepancy），可以很好地用于匹配高维标准正态分布 PZ[8]。

最后，《From optimal transport to generative modeling: the VEGAN cookbook》[11] 中和用来推导 WAE 目标的理论考虑本身可能会很有趣。特别是，定理 1 表明在生成模型的情况下，Wc（PX，PG）的原始形式相当于涉及优化概率编码器 Q（Z | X）优化的问题。

本文结构如下。第二部分我们回顾了一个新的自动编码器公式，用来计算 PX 和 [11] 中推导的隐变量模型 PG 之间的 OT。放宽了最终的约束优化问题（Wasserstein 自动编码器的目标）。我们得出了两种不同的正则化矩阵，得出 WAE-GAN 和 WAE-MMD 算法。第三部分讨论相关的工作。第四部分是实验结果，并以未来工作有前景的方向结束。

图 1：VAE 和 WAE 最小化两项：重构成本、惩罚 PZ 和编码器 Q 引起的分布之间的差异的正则矩阵。对 PX 的不同输入样本 x，VAE 使 Q(Z|X = x) 与 PZ 匹配。如图（a），其中每个红色的球与 PZ（图中的白色图形）匹配。红色的球开始交叉，这也是问题开始重建的时候。相反，如图（b），WAE 使连续混合（continuous mixture）QZ := ∫Q(Z|X)dPX 与 PZ（图中绿色的球）匹配。因此，不同样本的隐藏代码都有机会远离对方，从而更好地重建。

算法 1. Wasserstein 自动编码器和基于 GAN 惩罚的算法（WAE-GAN）。算法 2. Wasserstein 自动编码器和基于 MMD 惩罚的算法（WAE-MMD）。

图 2：在 MNIST 数据集上训练的 VAE（左列），WAE-MMD（中间列）和 WAE-GAN（右列）。在「测试重建」中，奇数行对应于实际的测试点。

图 3：在 CelebA 数据集上训练的 VAE（左列），WAE-MMD（中间列）和 WAE-GAN（右列）。在「测试重建」中，奇数行对应于实际的测试点。

表 1：CelebA 中样本的 FID 得分（数字越小越好）。

论文：Wasserstein Auto-Encoders

论文链接：https://arxiv.org/abs/1711.01558

摘要：我们提出了 Wasserstein 自动编码器（WAE）——一种用于构建数据分布生成模型的新算法。WAE 将模型分布与目标分布之间的 Wasserstein 距离的惩罚形式最小化，导出了与变分自动编码器（VAE）所使用的不同的正则化矩阵 [1]。此正则化矩阵鼓励编码的训练分布与之前的相匹配。我们比较了我们的算法和其它几种技术，表明它是对抗自动编码器（AAE）的推广 [2]。我们的实验表明，WAE 具有 VAE 的许多特性（训练稳定，编码器-解码器架构，良好的潜在流形结构），同时生成了通过 FID 得分衡量的质量更好的样本。

https://www.jiqizhixin.com/articles/google-brain-Wasserstein-Auto-Encoders