一、基本概念

LCS是最长公共子序列（Longest common subsequence problem）的缩写。LCS问题是在一组序列（通常只有两个序列）中找到所有序列共有的最长子序列的问题。它与最长公共子串问题不同：与子串不同，子序列不需要占据原始序列中的连续位置。最长公共子序列问题是经典的计算机科学问题，是 diff 实用程序等数据比较程序的基础，在计算语言学和生物信息学中有应用。它还被 Git 等版本控制系统广泛用于协调对受版本控制的文件集合所做的多项更改。

例如，考虑序列 (ABCD) 和 (ACBAD)。它们有 5 个长度为 2 的公共子序列：(AB)、(AC)、(AD)、(BD) 和 (CD)； 2个长度为3的公共子序列：（ABD）和（ACD）；并且不再有更长的公共子序列。所以 (ABD) 和 (ACD) 是它们最长的公共子序列。

复杂度：

对于任意数量的输入序列的一般情况，问题是 NP-hard。[1]当序列数不变时，该问题可通过动态规划在多项式时间内求解。

二、两个序列的解决方案

LCS 问题有一个最优子结构：问题可以分解为更小、更简单的子问题，而这些子问题又可以分解为更简单的子问题，依此类推，直到最终解决方案变得微不足道。 LCS 尤其具有重叠的子问题：高级子问题的解决方案通常重用低级子问题的解决方案。具有这两个属性的问题适用于动态规划方法，其中子问题解决方案被记忆，即子问题的解决方案被保存以供重用。

S的前缀定义为S的前n个字符[5]例如，S = (AGCA) 的前缀是

$\begin{cases} & \text{1) } S_0=() \\ & \text{2)} S_1=(A) \\ & \text{3) } S_2=(AG)\\ & \text{4) } S_3=(AGC)\\ & \text{5) } S_4=(AGCA) \end{cases}$

假设 LCS(X, Y) 是一个计算 X 和 Y 共有的最长子序列的函数。这样的函数有两个有趣的属性。

2.1 第一个属性

两个字符串具有相同尾序，那么同时去掉两者的尾序，不影响它们的距离

LCS(X^A,Y^A) = LCS(X,Y)^A，对于所有字符串 X、Y 和所有符号 A，其中 ^ 表示字符串连接。这允许简化以相同符号结尾的两个序列的 LCS 计算。例如，LCS("BANANA","ATANA") = LCS("BANAN","ATAN")^"A"，继续其余常用符号，LCS("BANANA","ATANA") = LCS("BAN","AT")^"ANA"。

2.2 第二个属性

如果 A 和 B 是不同的符号 (A≠B)，则 LCS(X^A,Y^B) 是以下两者的最大者：LCS(X^A,Y), LCS(X,Y ^B) }，适用于所有字符串 X、Y。

例如，LCS("ABCDEFG","BCDGK") 是 LCS("ABCDEFG","BCDG") 和 LCS("ABCDEF","BCDGK") 中最长的字符串；如果两者碰巧长度相等，则可以任意选择其中之一。

证明，分两种情况：

如果 $LCS("ABCDEFG","BCDGK")$ 以 $"G"$ 结尾，那么最后的 $"K"$ 不能在 LCS 中，因此 $LCS("ABCDEFG","BCDGK") = LCS("ABCDEFG","BCDG")$ 。

如果 $LCS("ABCDEFG","BCDGK")$ 不以 $"G"$ 结尾，则最后的 $"G"$ 不能在 LCS 中，因此 $LCS("ABCDEFG","BCDGK") = LCS("ABCDEF", "BCDGK")$ 。

2.3 LCS 函数的定义

让两个序列定义如下： $X=(x_{1}x_{2}\cdots x_{m})$ 和 $Y=(y_{1}y_{2}\cdots y_{n})$ 。 $X$ 的前缀是 $X_{0},X_{1},X_{2},\dots ,X_{m}$ ; $Y$ 的前缀是 $Y_{0},Y_{1},Y_{2},\dots ,Y_{n}$ 。令 ${\mathit {LCS}}(X_{i},Y_{j})$ 表示最长的集合前缀 $X_{i}$ 和 $Y_{j}$ 的公共子序列。这组序列由以下给出。

${\mathit {LCS}}(X_{i},Y_{j})={\begin{cases}\emptyset &{\mbox{if }}i=0{\mbox{ or }}j=0\\{\mathit {LCS}}(X_{i-1},Y_{j-1}){\hat {}}x_{i}&{\mbox{if }}i,j>0{\mbox{ and }}x_{i}=y_{j}\\\operatorname {\max } \{{\mathit {LCS}}(X_{i},Y_{j-1}),{\mathit {LCS}}(X_{i-1},Y_{j})\}&{\mbox{if }}i,j>0{\mbox{ and }}x_{i}\neq y_{j}.\end{cases}}$

要找到 $X_{i}$ 和 $Y_j$ 的 $LCS$ ，请比较 $x_{i}$ 和 $y_{j}$ 。如果它们相等，则序列 ${\mathit {LCS}}(X_{i-1},Y_{j-1})$
由 $x_{i}$ 扩展成 $LCS$ 。如果它们不相等，则下面两个序列中最长的被保留， ${\mathit {LCS}}(X_{i},Y_{j-1})$ 和 ${\mathit {LCS}}(X_{i-1},Y_{j})$ 。（如果它们的长度相同，则保留两者。）

三、两个序列的应用实例

示例：找到 R = (GAC) 和 C = (AGCAT) 共有的最长子序列。因为 LCS 函数使用“第零”元素，所以为这些序列定义空的零前缀很方便：R0 = Ø;和 C0 = Ø。所有前缀都放在一个表中，第一行是 C（使其成为列标题），第一列是 R（使其成为行标题）。

该表用于存储每个计算步骤的 LCS 序列。第二列和第二行已经用Ø填充了，因为当一个空序列与一个非空序列进行比较时，最长的公共子序列总是一个空序列。

LCS(R1, C1) 通过比较每个序列中的第一个元素来确定。 G 和 A 不相同，所以这个 LCS 获得（使用“第二个属性”）两个序列中最长的一个，LCS(R1, C0) 和 LCS(R0, C1)。根据表格，这两个都是空的，所以 LCS(R1, C1) 也是空的，如下表所示。箭头表示序列来自上方的单元格 LCS(R0, C1) 和左侧的单元格 LCS(R1, C0)。

LCS(R1,C2)是通过比较G和G来确定的。它们匹配，所以将G附加到左上序列，LCS(R0,C1)，即(Ø)，给出(ØG)，即(G) .

对于 LCS(R1, C3)，G 和 C 不匹配。上面的序列是空的；左边的一个包含一个元素，G。选择其中最长的一个，LCS（R1，C3）是（G）。箭头指向左侧，因为这是两个序列中最长的。

LCS(R1, C4), likewise, is (G).

LCS(R1, C5), likewise, is (G).

对于 LCS(R2, C1)，将 A 与 A 进行比较。两个元素匹配，因此将 A 附加到 Ø，得到 (A)。

对于LCS(R2,C2)，A和G不匹配，所以使用LCS(R1,C2)中最长的(G)和LCS(R2,C1)中最长的(A)。在这种情况下，它们每个都包含一个元素，因此这个 LCS 有两个子序列：(A) 和 (G)。

对于 LCS(R2, C3)，A 与 C 不匹配。 LCS(R2, C2) 包含序列 (A) 和 (G)； LCS(R1, C3) 是 (G)，它已经包含在 LCS(R2, C2) 中。结果是 LCS(R2, C3) 还包含两个子序列 (A) 和 (G)。

对于 LCS(R2, C4)，A 匹配附加到左上角单元格的 A，给出 (GA)。

对于LCS(R2,C5)，A不匹配T。比较(GA)和(G)这两个序列，最长的是(GA)，所以LCS(R2,C5)就是(GA)。

对于 LCS(R3, C1)，C 和 A 不匹配，因此 LCS(R3, C1) 获得两个序列中最长的 (A)。

对于 LCS(R3, C2)，C 和 G 不匹配。 LCS(R3, C1) 和 LCS(R2, C2) 都有一个元素。结果是 LCS(R3, C2) 包含两个子序列，(A) 和 (G)。

对于 LCS(R3, C3)，C 和 C 匹配，因此 C 被附加到 LCS(R2, C2) 中，其中包含 (A) 和 (G) 两个子序列，得到 (AC) 和 (GC)。

对于 LCS(R3, C4)，C 和 A 不匹配。将包含 (AC) 和 (GC) 的 LCS(R3, C3) 和包含 (GA) 的 LCS(R2, C4) 组合起来，总共得到三个序列：(AC)、(GC) 和 (GA) ）。

最后，对于 LCS(R3, C5)，C 和 T 不匹配。结果是 LCS(R3, C5) 还包含三个序列，(AC)、(GC) 和 (GA)。

最终的结果是最后一个单元格包含了（AGCAT）和（GAC）共有的所有最长子序列；它们是 (AC)、(GC) 和 (GA)。该表还显示了每对可能的前缀的最长公共子序列。例如，对于 (AGC) 和 (GA)，最长的公共子序列是 (A) 和 (G)。

四、追溯方法

计算LCS表中一行的LCS只需要当前行和上一行的解。尽管如此，对于长序列，这些序列可能会变得很多而且很长，需要大量的存储空间。存储空间可以通过保存的不是实际的子序列，而是子序列的长度和箭头的方向来节省，如下表所示。

实际的子序列在“追溯”过程中推导出来，该过程从表中的最后一个单元格开始，沿着箭头向后。当长度减小时，这些序列必须有一个共同的元素。当一个单元格中显示两个箭头时，可能有多个路径。下表是此类分析的表格，其中长度即将减少的单元格中带有颜色的数字。粗体数字描绘了序列，（GA）。

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