2019-11-10 等价、相似、合同的一些概念
等价
设m×nm×nm×n阶矩阵A\boldsymbol AA和B\boldsymbol BB，如果这两个矩阵满足
B=QAP\boldsymbol B = \boldsymbol Q\boldsymbol A\boldsymbol PB=QAP其中，Q\boldsymbol QQ是m×m阶可逆矩阵，P\boldsymbol PP是n×n阶可逆矩阵，即A≅B\boldsymbol A\cong\boldsymbol BA≅B，那么这两个矩阵之间是等价关系。也就是说，存在可逆矩阵，使得A\boldsymbol AA经过有限次的初等变换得到B\boldsymbol BB。
其性质为：
- A\boldsymbol AA和B\boldsymbol BB秩相同，即初等变换不改变秩
- 相似和合同均属于等价的特殊形式
- 设A\boldsymbol AA是nnn阶满秩矩阵，则有A≅E\boldsymbol A\cong\boldsymbol EA≅E（即A−1\boldsymbol A^{-1}A−1和A\boldsymbol AA均是有限次的初等变换矩阵相乘得到，均等价于单位阵）
- 两个m×nm×nm×n阶矩阵等价的充要条件是秩相同
相似
设A\boldsymbol AA，B\boldsymbol BB都是nnn阶方阵，若存在nnn阶可逆阵P\boldsymbol PP（不唯一且有可能是复矩阵），使
P−1AP=B\boldsymbol P^{-1}\boldsymbol A\boldsymbol P=\boldsymbol BP−1AP=B则称矩阵A\boldsymbol AA和B\boldsymbol BB相似，记为A∼B\boldsymbol A\sim\boldsymbol BA∼B。
其性质为：
- det(A−λE)=det(B−λE)\det (\boldsymbol A-\lambda\boldsymbol E)=\det(\boldsymbol B-\lambda\boldsymbol E)det(A−λE)=det(B−λE)，即特征值相同（但是反之不行，即特征值相同推不出相似）
- detA=detB\det \boldsymbol A=\det\boldsymbol BdetA=detB，即行列式相同（因为行列式是所有特征值的乘积，特征值不变，则行列式不变）
- 若A\boldsymbol AA可逆，则B\boldsymbol BB也可逆，且A−1∼B−1\boldsymbol A^{-1}\sim\boldsymbol B^{-1}A−1∼B−1
- f(A)∼f(B)f(\boldsymbol A)\sim f(\boldsymbol B)f(A)∼f(B)
- nnn阶方阵A\boldsymbol AA可对角化的充要条件是A\boldsymbol AA有n个线性无关的特征向量（特征值互不相同，则特征向量线性无关；但是特征向量线性无关不能说特征值互不相同；则若所有特征值不同，则可对角化；若所有重特征根对应的特征向量无关，可对角化）
合同
设A\boldsymbol AA，B\boldsymbol BB都是nnn阶方阵，若存在nnn阶可逆阵P\boldsymbol PP，使
PTAP=B\boldsymbol P^{T}\boldsymbol A\boldsymbol P=\boldsymbol BPTAP=B则称矩阵A\boldsymbol AA和B\boldsymbol BB合同，记为A≃B\boldsymbol A\simeq\boldsymbol BA≃B。
性质为：
- 合同且均对称，则秩相同
- 合同与相似是两个概念，合同不能保证特征值不变
相关概念
正交矩阵
如果nnn阶实方阵A\boldsymbol AA满足AT=A−1\boldsymbol A^T=\boldsymbol A^{-1}AT=A−1则称A\boldsymbol AA为正交矩阵
性质为：
- detA=±1\det \boldsymbol A=±1detA=±1
- 实对称A\boldsymbol AA是正交矩阵的充要条件是A\boldsymbol AA的行向量是单位正交向量组（这样会自动保证列向量是单位正交向量组，反之亦然）
- ∥ATx∥2=∥x∥2\| \boldsymbol A^{T} x \|_2 = \| x \|_2∥ATx∥2=∥x∥2
- ∥AT∥1∥A∥1⩽3\| \boldsymbol A^{T} \|_1\| \boldsymbol A \|_1 \leqslant 3∥AT∥1∥A∥1⩽3
proof: (a+b+c)(d+e+h)⩽32(a2+b2+c2+d2+e2+h2)=3(a+b+c)(d+e+h)\leqslant\frac{3}{2}(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2+h^2)=3(a+b+c)(d+e+h)⩽23(a2+b2+c2+d2+e2+h2)=3
实对称阵的相似矩阵
设A\boldsymbol AA是nnn阶实对称方阵，则必存在正交矩阵Q\boldsymbol QQ，使得
Q−1AQ=QTAQ=diag{λ1,λ2,...,λn}\boldsymbol Q^{-1}\boldsymbol A\boldsymbol Q=\boldsymbol Q^{T}\boldsymbol A\boldsymbol Q=\textrm{diag} \{{\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n}\}Q−1AQ=QTAQ=diag{λ1,λ2,...,λn}
- 实对称阵（AT=A\boldsymbol A^T=\boldsymbol AAT=A）的特征值均为实数
- 实对称阵的两个不等特征值对应的两个特征向量正交
- 实对称阵可能存在重特征值，也可能不存在冲特征值
- 实对称阵重特征根对应的特征向量无关
- 实对称阵必可以对角化
- 二次型中的A\boldsymbol AA为实对称阵
行列式
- det(lA)=lnA\det (l\boldsymbol A)=l^n\boldsymbol Adet(lA)=lnA
- det(AB)=detAdetB\det (\boldsymbol A\boldsymbol B)=\det\boldsymbol A\det \boldsymbol Bdet(AB)=detAdetB
对称
- 反对称矩阵的主对角线一定为0
- 对称 * 对称，不能保证对称（除非AB=BA\boldsymbol A\boldsymbol B=\boldsymbol B\boldsymbol AAB=BA）
- 对称正定 * 对称正定，不能保证对称，所以不能叫正定（除非AB=BA\boldsymbol A\boldsymbol B=\boldsymbol B\boldsymbol AAB=BA，其乘积才是对称正定）
- 对称正定 * 对称正定，乘积的特征值均正（Cholesky分解为可逆下三角与其转置的乘积）
特征值
- A+E\boldsymbol A+\boldsymbol EA+E的特征值等于=A\boldsymbol AA的特征值加1
问题
两个特征值均正的矩阵相乘，其乘积的特征值均正吗？
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