算法总结之求解模线性方程组

1）求解模线性方程 ax = b(mod n)

　　方程ax = b(mod n) -> ax = b + ny ->ax - ny = b

　　-> ax + n (-y) =b 其中a,n,b已知。可用扩展欧几里得来求解该方程的一组特解。

　　这里给出下列几个定理用来求解方程：

　　1.当且仅当d|b时，方程ax = b(mod n)有解。d=gcd(a,n)

　　2.ax = b(mod n) 或者有d个不同解，或者无解。

　　3.令d=gcd(a,n) 假定对整数x', y', 有d = ax' + ny'，如果d | b, 则方程ax = b(mod n)有一个解的值为x0, 满足：

　　　　x0=x‘(b/d)(mod n)

　　4.假设方程ax = b(mod n)有解， x0是方程的任意一个解，则方程对模n恰有d个不同的解，分别为:

　　　　xi = x0 + i * (n / d), 其中 i = 1,2,3......d - 1

　　根据这4个定理，运用扩展欧几里得算法就能轻易的求出模线性方程的所有解了。

伪代码如下:

1 MODULAR_LINEAR_EQUATION_SOLVER(a,b,n)
2 (d,x',y')=EXTENDED_EUCLID(a,n)
3 if (d|b)
4     x0=x'(b/d) mod n
5     for i=0 to d-1
6     print (x0+i(n/d)) mod n
7 else
8     print "no solutions"

2)求解模线性方程组

　　x = a1(mod m1)

　　x = a2(mod m2)

　　x = a3(mod m3)

　　先求解方程组前两项。 x=m1*k1+a1=m2*k2+a2

　-> m1*k1+m2*(-k2)=a2-a1

　　这个方程可以通过欧几里得求解出最小正整数的k1 则x=m1*k1+a1 显然x为两个方程的最小正整数解。

　　则这两个方程的通解为 X=x+k*LCM(m1,m2) -> X=x(mod LCM(m1,m2)) 就转换成了一个形式相同方程了

　　在通过这个方程和后面的其他方程求解。最终的结果就出来了。

　　以POJ2891为例贴上代码：

Code：

 1 /*************************************************************************
 2     > File Name: poj2891.cpp
 3     > Author: Enumz
 4     > Mail: 369372123@qq.com
 5     > Created Time: 2014年10月28日 星期二 02时50分07秒
 6  ************************************************************************/
 7
 8 #include<iostream>
 9 #include<cstdio>
10 #include<cstdlib>
11 #include<string>
12 #include<cstring>
13 #include<list>
14 #include<queue>
15 #include<stack>
16 #include<map>
17 #include<set>
18 #include<algorithm>
19 #include<cmath>
20 #include<bitset>
21 #include<climits>
22 #define MAXN 100000
23 #define LL long long
24 using namespace std;
25 LL extended_gcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y) //返回值为gcd(a,b)
26 {
27     LL ret,tmp;
28     if (b==0)
29     {
30         x=1,y=0;
31         return a;
32     }
33     ret=extended_gcd(b,a%b,x,y);
34     tmp=x;
35     x=y;
36     y=tmp-a/b*y;
37     return ret;
38 }
39 int main()
40 {
41     LL N;
42     while (cin>>N)
43     {
44         long long a1,m1;
45         long long a2,m2;
46         cin>>a1>>m1;
47         if (N==1)
48             printf("%lld\n",m1);
49         else
50         {
51             bool flag=0;
52             for (int i=2;i<=N;i++)
53             {
54                 cin>>a2>>m2;
55                 if (flag==1) continue;
56                 long long x,y;
57                 LL ret=extended_gcd(a1,a2,x,y);
58                 if ((m2-m1)%ret!=0)
59                     flag=1;
60                 else
61                 {
62                     long long ans1=(m2-m1)/ret*x;
63                     ans1=ans1%(a2/ret);
64                     if (ans1<0) ans1+=(a2/ret);
65                     m1=ans1*a1+m1;
66                     a1=a1*a2/ret;
67                 }
68             }
69             if (!flag)
70                 cout<<m1<<endl;
71             else
72                 cout<<-1<<endl;
73         }
74     }
75     return 0;
76 }

算法总结之求解模线性方程组相关推荐

Java实现算法导论中求解模线性方程解（基于最大公约数欧几里得扩展算法）
基于最大公约数欧几里得扩展算法求解算法导论中模线性方程解.具体要结合算法导论中的有关数论算法章节理解,具体代码如下: package cn.ansj;/*假设方程ax=b(mod n)有解,且x0是方 ...
[高斯消元及理论]线性方程组整数/浮点数，模线性方程组，异或方程组模板
文章目录理论线性方程组整数类型解线性方程组浮点类型解模线性方程组异或方程组高斯约旦消元约旦消元无解无穷解唯一解理论高斯消元法,是线性代数规划中的一个算法,可用来为线性方程组求解 ...
数据结构——基于 Dijsktra 算法的最短路径求解
实验七基于 Dijsktra 算法的最短路径求解 [实验目的] 掌握图的邻接矩阵表示法,掌握采用邻接矩阵表示法创建图的算法. 掌握求解最短路径的 Dijsktra 算法. [实验内容] 问题描述一 ...
基于人工蜂群算法的线性规划求解matlab程序
基于人工蜂群算法的线性规划求解matlab程序 1 人工蜂群算法概述 2005年D. Karaboga教授仿照蜜蜂集群采蜜生物行为,提出了人工蜂群仿生算法,可以有效解决有关函数优化等相关难题.ABC算 ...
consplan r语言_模拟退火算法实现：求解中国31个城市TSP问题
最近在学习玻尔兹曼机,里面用到了模拟退火算法,经过一天的实验,总算顺利完成,本文打算记录这一过程,以作备忘. 本文内容如下: 1.实验环境 2.算法原理简介 3.TSP案例代码实现 4.运行结果解析 ...
PMSM永磁同步电机滑模控制的直接转矩控制改进算法仿真模型，在传统算法上结合滑模控制算法加以改进
PMSM永磁同步电机滑模控制的直接转矩控制改进算法仿真模型,在传统算法上结合滑模控制算法加以改进,基于matlab/simulink搭建,以供参考学习 ID:8150678002556068阳光彩虹小 ...
UVA-10929-You can say 11（秦九昭算法+同余与模算术）
原题链接 1000位大数取余: 秦九昭算法+同余与模算术: 1314 = (((1)*10+3)*10+1)*10+4 ( a + b ) % n = ( ( a % n ) + ( b % n ) ...
数学建模学习（83）：模拟退火算法（SA)求解多元函数
接着上一篇函数的可视化进行讲解,那一篇画图实在太棒了,因此我单独写了一篇,本篇就着重于算法的原理与实现. 文章目录一.基本思想二.模拟退火算法过程三.模拟退火算法的优缺点四.函数可视化 4.1 ...
数据结构实验7《基于Dijsktra算法的最短路径求解》
(visual studio 2019可运行) 输入及输出要求见<数据结构C语言(第二版)>严蔚敏版 [本文仅用于啥都看不懂还想交作业选手] 加了一点输入异常的反馈基于基于Dijsktr ...

算法总结之求解模线性方程组

算法总结之求解模线性方程组相关推荐

最新文章

热门文章