引言

近期在带师弟师妹尝试电域 DSP 补偿方向，布置了一个任务下去。给了他 GSOP 算法的程序和测试程序，通过阅读余建军老师的相干光通信神书，尝试将 Lowdin 算法当作 GSOP 的改进，把代码写出来。

谨以此文来记录一下如果是我要怎么去解决这样的代码实现问题，尽可能将工作过程详细的记录下来，希望能对师弟师妹有所帮助。

GSOP 算法存在的问题

既然我的任务是改进算法，我应该先明确现有算法的问题在哪里。然后再去寻找解决方案。

GSOP 算法能够对正交不平衡问题起到很好的补偿效果。假设发送信号为 SI,SQS_I, S_QSI,SQ 代表IQ两路信号。理想情况下接收到的信号应该是
rI∝SIrQ∝SQ\begin{aligned} & r_I\propto S_I \\ & r_Q\propto S_Q \end{aligned} rI∝SIrQ∝SQ

但是因为正交不平衡效应，使得I路信号中混入了Q路的信息，Q路信号中混入了I路的信息。（正比于符号是因为经过信道有衰减之类的东西）

如何量化这种现象呢？GSOP 算法的观点，使用幅度失配和相位失配来量化正交不平衡现象。即，认为接收到的信号是
$$
\begin{aligned}
& r_I\propto S_I \
& r_Q\propto \alpha S_Q\cdot e^{j\theta}
\end{aligned}

也就是说，GSOP 算法认为，我接收到的信号中，I 路信号是正确的，所有的正交不平衡问题都出现在 Q 路上。 Lowdin 算法的改进就是针对这个假设。

GSOP 算法对于幅度失配问题的理论补偿范围在 (−∞,+∞)(-\infty,+\infty)(−∞,+∞)，对相位失配的补偿范围为 (−60°,+60°)(-60\degree,+60\degree)(−60°,+60°)

Lowdin 算法是如何改进的

余老师神书上关于 Lowdin 算法的讲解就只有一下这丢丢篇幅。我要从中提取出能解决我问题的信息。

开篇就提出了 GSOP 算法的缺点。并提出了 Lowdin 算法认为的，接收到的信号模型的样子。但是他只提到了相位失配，没有提及幅度失配。 是在这种模型下，不存在幅度失配吗？我的感觉告诉我不应该。正交不平衡是由于器件的不理想导致的，不可能不理想器件只会让信号旋转，有相位上的失配。器件不理想，导致信号幅度有所偏差不是很正常的事情么？

或者说，其实在 Lowdin 模型下，幅度的失配，可以转化为相位的失配。因此才只存在相位失配。稍微一想就不可能，你把一条线给我拉长了，你告诉我其实你是通过把这条线转了个角度做到的，胡扯。

工作才刚刚开始，就已经看不懂了…没事，科研常态。现在我遗留了一个问题 Q1。继续往下看。

Lowdin 算法认为，正交不平衡问题不应该全是 Q 路信号的锅。所以他把相位失配分配到了 IQ 两路信号上。
rI=SIcosθ+SQsinθrQ=SQcosθ+SIsinθ\begin{aligned} & r_I=S_Icos\theta+S_Qsin\theta \\ & r_Q=S_Qcos\theta+S_Isin\theta \end{aligned} rI=SIcosθ+SQsinθrQ=SQcosθ+SIsinθ得到一个相关矩阵，还有一个转换矩阵。

但是算这些东西是干嘛，又怎么得到正交补偿之后的信号呢？这些都没有提及。所以我决定去看看参考文献中有没有原理的讲解和公式的推导。

此外因为这个矩阵的名字叫做转换矩阵 L，所以我猜，可能输入信号 rI,rQr_I,r_QrI,rQ 乘上这个矩阵 L 是不是就得到输出了？

于是我做了如上的验证，果不其然，这个矩阵就是这么用的。而且这个矩阵是个对称矩阵，所以无论是左乘列向量还是右乘行向量得到的结果一样。所以我在还没整明白原理的情况下，先做出了结果。

阅读参考文献

其实到这，这项工作基本已经完成了，剩下的只是代码实现了。但是现在还没有搞明白这些公式是怎么来的，读论文的工作还是要做一下滴~

然后下载这篇参考文献下来看看呗。

点击all 3 version

还不是免费能下。烦…导出一下他的记录。然后sci-hub大法把论文下下来。一般我还喜欢用 SCI 的数据出导出记录，SCI 数据库不提供下载的话，再用 sci-hub 下论文。

把导出的记录和下载的论文放到 EndNote 里管理起来。

不会用数据库，不会用 Google 学术的童鞋，请看0202年了，怎么还这么多人不会搜索
文献检索——Web of Science

拿到论文之后，看到关键词。我觉得这些关键词就已经足够从网上搜到一些代码了，只要能嫖到，坚决不自己写！！(代码的事，下一节再说)

此外也通过这些关键词 google 了一下有没有对个算法的呆瓜式讲解。然后找到了一个两年前也在做我现在这件事的网友如何做Lowdin算法

Lowdin算法原理

Lowdin 正交化算法起源自量子化学中的一个问题。采用这种方法所得的正交化信号，在最小二乘意义上，最接近于原始的信号。

我有一个不正交的集合 {φi}\{\varphi_i\}{φi}，它有重叠矩阵(量子力学中的一个概念) S，Sij=<φi∣φj>S_{ij}=\left<\varphi_i|\varphi_j \right>Sij=⟨φi∣φj⟩，就是个很多内积组成的矩阵嘛。

我想找到一个集合 {ψi}\{\psi_i\}{ψi}，它里面的元素是正交的。其实对于我们这个背景来说，元素只有两个，I路信号和Q路信号。

因为这两个集合张成的空间相同，所以可以互相线性表出(需要点点矩阵论的基础，没有也没关系，就是为了说明下面这个式子出现的合理性)。ψi=∑kCkiφk\psi_i=\sum_k{C_{ki}\varphi_k}ψi=k∑Ckiφk由于集合{ψi}\{\psi_i\}{ψi}是正交的，所以它的重叠矩阵一定是个单位阵。

然后把上式带进{ψi}\{\psi_i\}{ψi}的重叠矩阵计算中。得到<ψi∣ψj>=∑k,lCkl∗SklClj=δij\left< \psi_i|\psi_j\right>=\sum_{k,l}C_{kl}^*S_{kl}C_{lj}=\delta_{ij}⟨ψi∣ψj⟩=k,l∑Ckl∗SklClj=δij写成矩阵的形式就得到C†SC=IC^\dagger SC=IC†SC=I其中CCC称为展开系数矩阵，C†C^\daggerC†称为CCC的Hermitian adjoint。这个式子被称为正交条件。

所以只要求出了C，那就得到了由不正交集合{φi}\{\varphi_i\}{φi}变为正交集合{ψi}\{\psi_i\}{ψi}的途径。

此外，Lowdin算法还希望{φi}\{\varphi_i\}{φi}与{ψi}\{\psi_i\}{ψi}能在最小二乘意义上，尽可能的接近。也就是说，符合上述正交条件的C不止一个，我要找到差距最小的那一个。

论文中通过一系列看不太懂的数学推导，得到了结论C=S−1/2C=S^{-1/2}C=S−1/2需要保证C是Hermitian矩阵。
Hermitian矩阵：方阵A=A′A=A'A=A′共轭转置，该方阵为Hermitian矩阵。

代码实现

我搜代码的地方(如果您有其他的优秀途径一定要留言教给我呀)

GitHub
pudn
mathworks
google

一顿检索之后，拿到了一堆乱七八糟的东西，大概的读了读，有的在算特征值特征向量，有的在算转换矩阵。虽然他们都符合论文中的讲解，但是和我要实现的东西不打对口，最后没办法，既然嫖不到，就只能自己写了。

公式很简单，就几行代码。注意一下归一化就好了。

至于最开始的那个问题，只有相位失配没有幅度失配的问题。我觉得如果相位纠正了，幅度没有纠正，也就只是个方形星座点变成矩形星座点的问题。

我要写个测试函数验证一下，就先写到这里吧。

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