引入

作为练手，不妨用matlab实现K-means

要解决的问题：n个D维数据进行聚类(无监督)，找到合适的簇心。

这里仅考虑最简单的情况，数据维度D=2，预先知道簇心数目K(K=4)

理论步骤

关键步骤：

(1)根据K个簇心(clusters，下标从1到K)，确定每个样本数据Di(D为所有数据整体，Di为某个数据，i=1...n)所属簇，即欧氏距离最近的那个。

簇心编号:

c_i = arg min_{j} {D_i - clusters_j}， 即使得欧氏距离最近的那个j

(2) 更新簇心：所属簇编号c_i相同的样本数据D_i的元素们，用他们均值来替代原有簇心(D维向量均值)

代码

% my_kmeans

% By Chris, zchrissirhcz@gmail.com

% 2016年9月30日 19:13:43

% 簇心数目k

K = 4;

% 准备数据，假设是2维的,80条数据，从data.txt中读取

%data = zeros(100, 2);

load 'data.txt'; % 直接存储到data变量中

x = data(:,1);

y = data(:,2);

% 绘制数据，2维散点图

% x,y: 要绘制的数据点 20:散点大小相同，均为20 'blue':散点颜色为蓝色

s = scatter(x, y, 20, 'blue');

title('原始数据：蓝圈；初始簇心：红点');

% 初始化簇心

sample_num = size(data, 1); % 样本数量

sample_dimension = size(data, 2); % 每个样本特征维度

% 暂且手动指定簇心初始位置

clusters = zeros(K, sample_dimension);

clusters(1,:) = [-3,1];

clusters(2,:) = [2,4];

clusters(3,:) = [-1,-0.5];

clusters(4,:) = [2,-3];

hold on; % 在上次绘图(散点图)基础上，准备下次绘图

% 绘制初始簇心

scatter(clusters(:,1), clusters(:,2), 'red', 'filled'); % 实心圆点，表示簇心初始位置

c = zeros(sample_num, 1); % 每个样本所属簇的编号

PRECISION = 0.0001;

iter = 100; % 假定最多迭代100次

for i=1:iter

% 遍历所有样本数据，确定所属簇。公式1

for j=1:sample_num

%t = arrayfun(@(item) item

%[min_val, idx] = min(t);

gg = repmat(data(j,:), K, 1);

gg = gg - clusters; % norm:计算向量模长

tt = arrayfun(@(n) norm(gg(n,:)), (1:K)');

[minVal, minIdx] = min(tt);

% data(j,:)的所属簇心，编号为minIdx

c(j) = minIdx;

end

% 遍历所有样本数据，更新簇心。公式2

convergence = 1;

for j=1:K

up = 0;

down = 0;

for k=1:sample_num

up = up + (c(k)==j) * data(k,:);

down = down + (c(k)==j);

end

new_cluster = up/down;

delta = clusters(j,:) - new_cluster;

if (norm(delta) > PRECISION)

convergence = 0;

end

clusters(j,:) = new_cluster;

end

figure;

f = scatter(x, y, 20, 'blue');

hold on;

scatter(clusters(:,1), clusters(:,2), 'filled'); % 实心圆点，表示簇心初始位置

title(['第', num2str(i), '次迭代']);

if (convergence)

disp(['收敛于第', num2str(i), '次迭代']);

break;

end

end

disp('done');

使用到的数据(data.txt)

1.658985 4.285136

-3.453687 3.424321

4.838138 -1.151539

-5.379713 -3.362104

0.972564 2.924086

-3.567919 1.531611

0.450614 -3.302219

-3.487105 -1.724432

2.668759 1.594842

-3.156485 3.191137

3.165506 -3.999838

-2.786837 -3.099354

4.208187 2.984927

-2.123337 2.943366

0.704199 -0.479481

-0.392370 -3.963704

2.831667 1.574018

-0.790153 3.343144

2.943496 -3.357075

-3.195883 -2.283926

2.336445 2.875106

-1.786345 2.554248

2.190101 -1.906020

-3.403367 -2.778288

1.778124 3.880832

-1.688346 2.230267

2.592976 -2.054368

-4.007257 -3.207066

2.257734 3.387564

-2.679011 0.785119

0.939512 -4.023563

-3.674424 -2.261084

2.046259 2.735279

-3.189470 1.780269

4.372646 -0.822248

-2.579316 -3.497576

1.889034 5.190400

-0.798747 2.185588

2.836520 -2.658556

-3.837877 -3.253815

2.096701 3.886007

-2.709034 2.923887

3.367037 -3.184789

-2.121479 -4.232586

2.329546 3.179764

-3.284816 3.273099

3.091414 -3.815232

-3.762093 -2.432191

3.542056 2.778832

-1.736822 4.241041

2.127073 -2.983680

-4.323818 -3.938116

3.792121 5.135768

-4.786473 3.358547

2.624081 -3.260715

-4.009299 -2.978115

2.493525 1.963710

-2.513661 2.642162

1.864375 -3.176309

-3.171184 -3.572452

2.894220 2.489128

-2.562539 2.884438

3.491078 -3.947487

-2.565729 -2.012114

3.332948 3.983102

-1.616805 3.573188

2.280615 -2.559444

-2.651229 -3.103198

2.321395 3.154987

-1.685703 2.939697

3.031012 -3.620252

-4.599622 -2.185829

4.196223 1.126677

-2.133863 3.093686

4.668892 -2.562705

-2.793241 -2.149706

2.884105 3.043438

-2.967647 2.848696

4.479332 -1.764772

-4.905566 -2.911070

运行结果

缺点

非常naive的kmeans，对于K个簇心初始位置非常敏感，有时候会产生dead point，即有些簇心被孤立而没有样本数据归属它。

第一次改进：簇心向量的每个维度，在样本数据的各自维度的最小值和最大值之间取值

clusters = zeros(K, sample_dimension);

minVal = min(data); % 各维度计算最小值

maxVal = max(data); % 各维度计算最大值

for i=1:K

clusters(i, :) = minVal + (maxVal - minVal) * rand();

end

效果：

第二次改进：在线K-means，使用随机梯度下降SGD替代批量梯度下降BGD

思路是，每次仅仅取出一个样本数据x_i，找出离他最近的簇心cluster_j，并把簇心往x_i的方向拉。这替代了原来使用“所有的、类别编号为c_j的样本，算出一个均值，作为新簇心”策略.

同时考虑到收敛速度，每次将“最近的簇心”向数据项“拉取”的时候，乘以一个学习率eta，eta最好是随着迭代次数增加而有所减小，即迭代次数t的减函数。此处代码实现中使用倒数(eta = basic_eta/i)，你也可以用更精致的函数替代。

参考代码:

% 簇心数目k

K = 4;

% 准备数据，假设是2维的,80条数据，从data.txt中读取

%data = zeros(100, 2);

load 'data.txt'; % 直接存储到data变量中

x = data(:,1);

y = data(:,2);

% 绘制数据，2维散点图

% x,y: 要绘制的数据点 20:散点大小相同，均为20 'blue':散点颜色为蓝色

s = scatter(x, y, 20, 'blue');

title('原始数据：蓝圈；初始簇心：红点');

% 初始化簇心

sample_num = size(data, 1); % 样本数量

sample_dimension = size(data, 2); % 每个样本特征维度

% 暂且手动指定簇心初始位置

% clusters = zeros(K, sample_dimension);

% clusters(1,:) = [-3,1];

% clusters(2,:) = [2,4];

% clusters(3,:) = [-1,-0.5];

% clusters(4,:) = [2,-3];

% 簇心赋初值：计算所有数据的均值，并将一些小随机向量加到均值上

clusters = zeros(K, sample_dimension);

minVal = min(data); % 各维度计算最小值

maxVal = max(data); % 各维度计算最大值

for i=1:K

clusters(i, :) = minVal + (maxVal - minVal) * rand();

end

hold on; % 在上次绘图(散点图)基础上，准备下次绘图

% 绘制初始簇心

scatter(clusters(:,1), clusters(:,2), 'red', 'filled'); % 实心圆点，表示簇心初始位置

c = zeros(sample_num, 1); % 每个样本所属簇的编号

PRECISION = 0.001;

iter = 100; % 假定最多迭代100次

% Stochastic Gradient Descendant 随机梯度下降(SGD)的K-means，也就是Competitive Learning版本

basic_eta = 0.1; % learning rate

for i=1:iter

pre_acc_err = 0; % 上一次迭代中，累计误差

acc_err = 0; % 累计误差

for j=1:sample_num

x_j = data(j, :); % 取得第j个样本数据，这里体现了stochastic性质

% 所有簇心和x计算距离，找到最近的一个(比较簇心到x的模长)

gg = repmat(x_j, K, 1);

gg = gg - clusters;

tt = arrayfun(@(n) norm(gg(n,:)), (1:K)');

[minVal, minIdx] = min(tt);

% 更新簇心：把最近的簇心(winner)向数据x拉动。 eta为学习率.

eta = basic_eta/i;

delta = eta*(x_j-clusters(minIdx,:));

clusters(minIdx,:) = clusters(minIdx,:) + delta;

acc_err = acc_err + norm(delta);

end

if(rem(i,10) ~= 0)

continue

end

figure;

f = scatter(x, y, 20, 'blue');

hold on;

scatter(clusters(:,1), clusters(:,2), 'filled'); % 实心圆点，表示簇心初始位置

title(['第', num2str(i), '次迭代']);

if (abs(acc_err-pre_acc_err) < PRECISION)

disp(['收敛于第', num2str(i), '次迭代']);

break;

end

disp(['累计误差：', num2str(abs(acc_err-pre_acc_err))]);

pre_acc_err = acc_err;

end

disp('done');

因为学习率eta选得比较随意，以及收敛条件的判断也比较随意，收敛效果只能说还凑合，运行结果：