小数在内存中是以浮点数的形式存储的。浮点数并不是一种数值分类，它和整数、小数、实数等不是一个层面的概念。浮点数是数字(或者说数值)在内存中的一种存储格式，它和定点数是相对的。C语言使用定点数格式来存储 short、int、long 类型的整数，使用浮点数格式来存储 float、double 类型的小数。整数和小数在内存中的存储格式不一样。我们在学习C语言时，通常认为浮点数和小数是等价的，并没有严格区分它们的概念，这也并没有影响到我们的学习，原因就是浮点数和小数是绑定在一起的，只有小数才使用浮点格式来存储。其实，整数和小数可以都使用定点格式来存储，也可以都使用浮点格式来存储，但实际情况却是，C语言使用定点格式存储整数，使用浮点格式存储小数，这是在“数值范围”和“数值精度”两项重要指标之间追求平衡的结果，稍后我会给大家带来深入的剖析。计算机的设计是一门艺术，很多实用技术都是权衡和妥协的结果。浮点数和定点数中的“点”指的就是小数点！对于整数，可以认为小数点后面都是零，小数部分是否存在并不影响整个数字的值，所以干脆将小数部分省略，只保留整数部分。

定点数

所谓定点数，就是指小数点的位置是固定的，不会向前或者向后移动。假设我们用4个字节(32位)来存储无符号的定点数，并且约定，前16位表示整数部分，后16位表示小数部分，如下图所示：如此一来，小数点就永远在第16位之后，整数部分和小数部分一目了然，不管什么时候，整数部分始终占用16位(不足16位前置补0)，小数部分也始终占用16位(不足16位后置补0)。例如，在内存中存储了 10101111  00110001  01011100  11000011，那么对应的小数就是 10101111  00110001 . 01011100  11000011，非常直观。

精度

小数部分的最后一位可能是精确数字，也可能是近似数字(由四舍五入、向零舍入等不同方式得到)；除此以外，剩余的31位都是精确数字。从二进制的角度看，这种定点格式的小数，最多有 32 位有效数字，但是能保证的是 31 位；也就是说，整体的精度为 31~32 位。

数值范围

将内存中的所有位(Bit)都置为 1，小数的值最大，为 2¹⁶ - 2^-16，极其接近 2¹⁶，换算成十进制为 65 536。将内存中最后一位(第32位)置1，其它位都置0，小数的值最小，为2^-16。这里所说的最小值不是 0 值，而是最接近 0 的那个值。

综述

用定点格式来存储小数，优点是精度高，因为所有的位都用来存储有效数字了，缺点是取值范围太小，不能表示很大或者很小的数字。

反面例子

在科学计算中，小数的取值范围很大，最大值和最小值的差距有上百个数量级，使用定点数来存储将变得非常困难。例如，电子的质量为：

0.0000000000000000000000000009 克 = 9 × 10-28 克

太阳的质量为：

2000000000000000000000000000000000 克 = 2 × 1033 克

如果使用定点数，那么只能按照=前面的格式来存储，这将需要很大的一块内存，大到需要几十个字节。更加科学的方案是按照=后面的指数形式来存储，这样不但节省内存，也非常直观。这种以指数的形式来存储小数的解决方案就叫做浮点数。浮点数是对定点数的升级和优化，克服了定点数取值范围太小的缺点。

浮点数

C语言标准规定，小数在内存中以科学计数法的形式来存储，具体形式为：

flt = (-1)sign × mantissa × baseexponent

对各个部分的说明：

• flt 是要表示的小数。
• sign 用来表示 flt 的正负号，它的取值只能是 0 或 1：取值为 0 表示 flt 是正数，取值为 1 表示 flt 是负数。
• base 是基数，或者说进制，它的取值大于等于 2(例如，2 表示二进制、10 表示十进制、16 表示十六进制……)。数学中常见的科学计数法是基于十进制的，例如 6.93 × 10¹³；计算机中的科学计数法可以基于其它进制，例如 1.001 × 2⁷ 就是基于二进制的，它等价于 1001 0000。
• mantissa 为尾数，或者说精度，是 base 进制的小数，并且 1 ≤ mantissa ＜ base，这意味着，小数点前面只能有一位数字；
• exponent 为指数，是一个整数，可正可负，并且为了直观一般采用十进制表示。

下面我们以 19.625 为例来演示如何将小数转换为浮点格式。当 base 取值为 10 时，19.625 的浮点形式为：19.625 = 1.9625 × 10¹当 base 取值为 2 时，将 19.625 转换成二进制为 10011.101，用浮点形式来表示为：19.625 = 10011.101 = 1.0011101×2⁴19.625 整数部分的二进制形式为：
19 = 1×2⁴ + 0×2³ + 0×2² + 1×2¹ + 1×2⁰ = 10011
小数部分的二进制形式为：
0.625 = 1×2^-1 + 0×2^-2 + 1×2^-3 = 101
将整数部分和小数部分合并在一起：
19.625 = 10011.101可以看出，当基数(进制)base 确定以后，指数 exponent 实际上就成了小数点的移动位数：

• exponent 大于零，mantissa 中的小数点右移 exponent 位即可还原小数的值；
• exponent 小于零，mantissa 中的小数点左移 exponent 位即可还原小数的值。

换句话说，将小数转换成浮点格式后，小数点的位置发生了浮动(移动)，并且浮动的位数和方向由 exponent 决定，所以我们将这种表示小数的方式称为浮点数。

二进制形式的浮点数的存储

虽然C语言标准没有规定 base 使用哪种进制，但是在实际应用中，各种编译器都将 base 实现为二进制，这样不仅贴近计算机硬件(任何数据在计算机底层都以二进制形式表示)，还能减少转换次数。接下来我们就讨论一下如何将二进制形式的浮点数放入内存中。原则上讲，上面的科学计数法公式中，符号 sign、尾数 mantissa、基数 base 和指数 exponent 都是不确定因素，都需要在内存中体现出来。但是现在基数 base 已经确定是二进制了，就不用在内存中体现出来了，这样只需要在内存中存储符号 sign、尾数 mantissa、指数 exponent 这三个不确定的元素就可以了。仍然以 19.625 为例，将它转换成二进制形式的浮点数格式：19.625 = 1.0011101×2⁴此时符号 sign 为 0，尾数 mantissa 为 1.0011101，指数 exponent 为 4。

1) 符号的存储

符号的存储很容易，就像存储 short、int 等普通整数一样，单独分配出一个位(Bit)来，用 0 表示正数，用 1 表示负数。对于 19.625，这一位的值是 0。

2) 尾数的存储

当采用二进制形式后，尾数部分的取值范围为 1 ≤ mantissa ＜ 2，这意味着：尾数的整数部分一定为 1，是一个恒定的值，这样就无需在内存中提现出来，可以将其直接截掉，只要把小数点后面的二进制数字放入内存中即可。对于 1.0011101，就是把 0011101 放入内存。我们不妨将真实的尾数命名为 mantissa，将内存中存储的尾数命名为 mant，那么它们之间的关系为：mantissa = 1.mant如果 base 采用其它进制，那么尾数的整数部分就不是固定的，它有多种取值的可能，以十进制为例，尾数的整数部分可能是 1~9 之间的任何一个值，这样一来尾数的整数部分就不能省略了，必须在内存中体现出来。而将 base 设置为二进制就可以节省掉一个位(Bit)的内存，这也算是采用二进制的一点点优势。

3) 指数的存储

指数是一个整数，并且有正负之分，不但需要存储它的值，还得能区分出正负号来。short、int、long 等类型的整数在内存中的存储采用的是补码加符号位的形式，数值在写入内存之前必须先进行转换，读取以后还要再转换一次。但是为了提高效率，避免繁琐的转换，指数的存储并没有采用补码加符号位的形式，而是设计了一套巧妙的解决方案，稍等我会为您解开谜团。

为二进制浮点数分配内存

C语言中常用的浮点数类型为 float 和 double；float 始终占用 4 个字节，double 始终占用 8 个字节。下图演示了 float 和 double 的存储格式：浮点数的内存被分成了三部分，分别用来存储符号 sign、尾数 mantissa 和指数 exponent ，当浮点数的类型确定后，每一部分的位数就是固定的。符号 sign 可以不加修改直接放入内存中，尾数 mantissa 只需要将小数部分放入内存中，最让人疑惑的是指数 exponent 如何放入内存中，这也是我们在前面留下的一个谜团，下面我们以 float 为例来揭开谜底。float 的指数部分占用 8 Bits，能表示从 0~255 的值，取其中间值 127，指数在写入内存前先加上127，读取时再减去127，正数负数就显而易见了。19.625 转换后的指数为 4，4+127 = 131，131 换算成二进制为 1000 0011，这就是 19.626 的指数部分在 float 中的最终存储形式。先确定内存中指数部分的取值范围，得到一个中间值，写入指数时加上这个中间值，读取指数时减去这个中间值，这样符号和值就都能确定下来了。中间值的求取有固定的公式。设中间值为 median，指数部分占用的内存为 n 位，那么中间值为：median = 2^n-1 - 1对于 float，中间值为 2^8-1 - 1 = 127；对于 double，中间值为 2^11-1 -1 = 1023。我们不妨将真实的指数命名为 exponent，将内存中存储的指数命名为 exp，那么它们之间的关系为：exponent = exp - median也可以写作：exp = exponent + median为了方便后续文章的编写，这里我强调一下命名：

• mantissa 表示真实的尾数，包括整数部分和小数部分；mant 表示内存中存储的尾数，只有小数部分，省略了整数部分。
• exponent 表示真实的指数，exp 表示内存中存储的指数，exponent 和 exp 并不相等，exponent 加上中间数 median 才等于 exp。

用代码验证 float 的存储

19.625 转换成二进制的指数形式为：19.625 = 1.0011101×2⁴此时符号为 0；尾数为 1.0011101，截掉整数部分后为 0011101，补齐到 23 Bits 后为 001 1101 0000 0000 0000 0000；指数为 4，4+127 = 131，131 换算成二进制为 1000 0011。综上所述，float 类型的 19.625 在内存中的值为：0 - 10000011 - 001 1101 0000 0000 0000 0000。下面我们通过代码来验证一下：

#include #include //浮点数结构体typedef struct {    unsigned int nMant : 23;  //尾数部分    unsigned int nExp : 8;  //指数部分    unsigned int nSign : 1;  //符号位} FP_SINGLE;int main(){    char strBin[33] = { 0 };    float f = 19.625;    FP_SINGLE *p = (FP_SINGLE*)&f;       itoa(p->nSign, strBin, 2);    printf("sign: %s\n", strBin);    itoa(p->nExp, strBin, 2);    printf("exp: %s\n", strBin);    itoa(p->nMant, strBin, 2);    printf("mant: %s\n", strBin);       return 0;}

运行结果：sign: 0exp: 10000011mant: 111010000000000000000mant 的位数不足，在前面补齐两个 0 即可。printf() 不能直接输出二进制形式，这里我们借助 itoa() 函数将十进制数转换成二进制的字符串，再使用%s输出。itoa() 虽然不是标准函数，但是大部分编译器都支持。不过 itoa() 在 C99 标准中已经被指定为不可用函数，在一些严格遵循 C99 标准的编译器下会失效，甚至会引发错误，例如在 Xcode(使用 LLVM 编译器)下就会编译失败。如果 itoa() 无效，请使用%X输出十六进制形式，十六进制能够很方便地转换成二进制。

精度问题

对于十进制小数，整数部分转换成二进制使用“展除法”(就是不断除以 2，直到余数为 0)，一个有限位数的整数一定能转换成有限位数的二进制。但是小数部分就不一定了，小数部分转换成二进制使用“乘二取整法”(就是不断乘以 2，直到小数部分为 0)，一个有限位数的小数并不一定能转换成有限位数的二进制，只有末位是 5 的小数才有可能转换成有限位数的二进制，其它的小数都不行。 float 和 double 的尾数部分是有限的，固然不能容纳无限的二进制；即使小数能够转换成有限的二进制，也有可能会超出尾数部分的长度，此时也不能容纳。这样就必须“四舍五入”，将多余的二进制“处理掉”，只保留有效长度的二进制，这就涉及到了精度的问题。也就是说，浮点数不一定能保存真实的小数，很有可能保存的是一个近似值。对于 float，尾数部分有 23 位，再加上一个隐含的整数 1，一共是 24 位。最后一位可能是精确数字，也可能是近似数字(由四舍五入、向零舍入等不同方式得到)；除此以外，剩余的23位都是精确数字。从二进制的角度看，这种浮点格式的小数，最多有 24 位有效数字，但是能保证的是 23 位；也就是说，整体的精度为 23~24 位。如果转换成十进制，2²⁴ = 16 777 216，一共8位；也就是说，最多有 8 位有效数字，但是能保证的是 7 位，从而得出整体精度为 7~8 位。对于 double，同理可得，二进制形式的精度为 52~53 位，十进制形式的精度为 15~16 位。

IEEE 754 标准

浮点数的存储以及加减乘除运算是一个比较复杂的问题，很多小的处理器在硬件指令方面甚至不支持浮点运算，其他的则需要一个独立的协处理器来处理这种运算，只有最复杂的处理器才会在硬件指令集中支持浮点运算。省略浮点运算，可以将处理器的复杂度减半！如果硬件不支持浮点运算，那么只能通过软件来实现，代价就是需要容忍不良的性能。

PC 和智能手机上的处理器就是最复杂的处理器了，它们都能很好地支持浮点运算。

在六七十年代，计算机界对浮点数的处理比较混乱，各家厂商都有自己的一套规则，缺少统一的业界标准，这给数据交换、计算机协同工作带来了很大不便。作为处理器行业的老大，Intel 早就意识到了这个问题，并打算一统浮点数的世界。Intel 在研发 8087 浮点数协处理器时，聘请到加州大学伯克利分校的 William Kahan 教授(最优秀的数值分析专家之一)以及他的两个伙伴，来为 8087 协处理器设计浮点数格式，他们的工作完成地如此出色，设计的浮点数格式具有足够的合理性和先进性，被 IEEE 组织采用为浮点数的业界标准，并于 1985 年正式发布，这就是 IEEE 754 标准，它等同于国际标准 ISO/IEC/IEEE 60559。

IEEE 是 Institute of Electrical and Electronics Engineers 的简写，中文意思是“电气和电子工程师协会”。

IEEE 754 简直是天才一般的设计，William Kahan 教授也因此获得了 1987 年的图灵奖。图灵奖是计算机界的“诺贝尔奖”。目前，几乎所有的计算机都支持 IEEE 754 标准，大大改善了科学应用程序的可移植性，C语言编译器在实现浮点数时也采用了该标准。不过，IEEE 754 标准的出现晚于C语言标准(最早的 ANSI C 标准于 1983 年发布)，C语言标准并没有强制编译器采用 IEEE 754 格式，只是说要使用科学计数法的形式来表示浮点数，但是编译器在实现浮点数时，都采用了 IEEE 754 格式，这既符合C语言标准，又符合 IEEE 标准，何乐而不为。

特殊值

IEEE 754 标准规定，当指数 exp 的所有位都为 1 时，不再作为“正常”的浮点数对待，而是作为特殊值处理：

• 如果此时尾数 mant 的二进制位都为 0，则表示无穷大：
  • 如果符号 sign 为 1，则表示负无穷大；
  • 如果符号 sign 为 0，则表示正无穷大。
• 如果此时尾数 mant 的二进制位不全为 0，则表示 NaN(Not a Number)，也即这是一个无效的数字，或者该数字未经初始化。

非规格化浮点数

当指数 exp 的所有二进制位都为 0 时，情况也比较特殊。对于“正常”的浮点数，尾数 mant 隐含的整数部分为 1，并且在读取浮点数时，内存中的指数 exp 要减去中间值 median 才能还原真实的指数 exponent，也即：mantissa = 1.mant
exponent = exp - median但是当指数 exp 的所有二进制位都为 0 时，一切都变了！尾数 mant 隐含的整数部分变成了 0，并且用 1 减去中间值 median 才能还原真实的指数 exponent，也即：mantissa = 0.mant
exponent = 1 - median对于 float，exponent = 1 - 127 = -126，指数 exponent 的值恒为 -126；对于 double，exponent = 1 - 1023 = -1022，指数 exponent 的值恒为 -1022。当指数 exp 的所有二进制位都是 0 时，我们将这样的浮点数称为“非规格化浮点数”；当指数 exp 的所有二进制位既不全为 0 也不全为 1 时，我们称之为“规格化浮点数”；当指数 exp 的所有二进制位都是 1 时，作为特殊值对待。 也就是说，究竟是规格化浮点数，还是非规格化浮点数，还是特殊值，完全看指数 exp。

+0 和 -0 的表示

对于非规格化浮点数，当尾数 mant 的所有二进制位都为 0 时，整个浮点数的值就为 0：

• 如果符号 sign 为 0，则表示 +0；
• 如果符号 sign 为 1，则表示 -0。

IEEE 754 为什么增加非规格化浮点数

我们以 float 类型为例来说明。对于规格化浮点数，当尾数 mant 的所有位都为 0、指数 exp 的最低位为 1 时，浮点数的绝对值最小(符号 sign 的取值不影响绝对值)，为 1.0 × 2^-126，也即 2^-126。对于一般的计算，这个值已经很小了，非常接近 0 值了，但是对于科学计算，它或许还不够小，距离 0 值还不够近，非规格化浮点数就是来弥补这一缺点的：非规格化浮点数可以让最小值更小，更加接近 0 值。对于非规格化浮点数，当尾数的最低位为 1 时，浮点数的绝对值最小，为 2^-23 × 2^-126 = 2^-149，这个值比 2^-126 小了 23 个数量级，更加即接近 0 值。让我更加惊讶的是，规格化浮点数能够很平滑地过度到非规格化浮点数，它们之间不存在“断层”，下表能够让读者看得更加直观。

^ 表示次方，例如 2^10 表示 2 的 10 次方。上表演示了正数时的情形，负数与此类似。请读者注意观察最大非规格化数和最小规格化数，它们是连在一起的，是平滑过渡的。

舍入模式

浮点数的尾数部分 mant 所包含的二进制位有限，不可能表示太长的数字，如果尾数部分过长，在放入内存时就必须将多余的位丢掉，取一个近似值。究竟该如何来取这个近似值，IEEE 754 列出了四种不同的舍入模式。

1) 舍入到最接近的值

就是将结果舍入为最接近且可以表示的值，这是默认的舍入模式。最近舍入模式和我们平时所见的“四舍五入”非常类似，但有一个细节不同。对于最近舍入模式，IEEE 754 规定，当有两个最接近的可表示的值时首选“偶数”值；而对于四舍五入模式，当有两个最接近的可表示的值时要选较大的值。以十进制为例，就是对.5的舍入上采用偶数的方式，请看下面的例子。最近舍入模式：Round(0.5) = 0、Round(1.5) = 2、Round(2.5) = 2四舍五入模式：Round(0.5) = 1、Round(1.5) = 2、Round(2.5) = 3

2) 向 +∞ 方向舍入(向上舍入)

会将结果朝正无穷大的方向舍入。标准库函数 ceil() 使用的就是这种舍入模式，例如，ceil(1.324) = 2，Ceil(-1.324) = -1。

3) 向 -∞ 方向舍入(向下舍入)

会将结果朝负无穷大的方向舍入。标准库函数 floor() 使用的就是这种舍入模式，例如，floor(1.324) = 1，floor(-1.324) = -2。

4) 向 0 舍入(直接截断)

会将结果朝接近 0 的方向舍入，也就是将多余的位数直接丢掉。C语言中的类型转换使用的就是这种舍入模式，例如，(int)1.324 = 1，(int) -1.324 = -1。

总结

与定点数相比，浮点数在精度方面损失不小，但是在取值范围方面增大很多。牺牲精度，换来取值范围，这就是浮点数的整体思想。IEEE 754 标准其实还规定了浮点数的加减乘除运算，不过本文的重点是讲解浮点数的存储，所以对于浮点数的运算不再展开讨论。

答疑解惑

上节我们还留下了一个疑问，就是用 %f 输出 128.101 时得到的是一个近似值，而不是一个精确值，这是因为，128.101 转换为浮点格式后，尾数部分过长，被丢掉了，不能“真实”地存储了。128.101 转换成二进制为：

10000000.0001100111011011001000101101……(无限循环)

向左移动 7 位后为：

1.00000000001100111011011001000101101……

由此可见，尾数部分为：

000 0000 0001 1001 1101 1011 001000101101……

将多出的二进制丢掉后为：

000 0000 0001 1001 1101 1011

使用 printf 输出时，还需要进行还原，还原后的二进制为：

10000000.0001100111011011

转换成十进制为 128.1009979248046875，按照四舍五入的原则取 6 位小数，就是128.100998。