信息学奥赛一本通 1319：【例6.1】排队接水

【题目链接】

ybt 1319：【例6.1】排队接水
洛谷 P1223 排队接水

【题目考点】

1. 贪心

2. 贪心选择性质的证明

要想证明贪心选择可以得到最优解，只需要证明最优解包含每一次的贪心选择。
使用数学归纳法：

证明最优解包含第一次的贪心选择
假设存在最优解包含前k次的贪心选择，证明该最优解包含第k+1次的贪心选择

【解题思路】

1. 证明贪心选择性质

贪心选择：每次选择接水时间最短的人去接水
贪心选择性质的证明：
设n个人的编号为1,2,3,…,n

证明：存在最优解，第一个接水的人是通过贪心选择得到的。
接水时长最短的人编号为ggg，其接水时间为TgT_gTg

使用反证法：假设对于所有最优解，第一个接水的人都不可以是贪心选择得到的人g。
则对于某种最优解，其接水顺序为d1,d2,...,dnd_1,d_2,...,d_nd1,d2,...,dn，假设g是第m个接水的人，即dm=g(m>1)d_m = g (m > 1)dm=g(m>1)，记第1个接水的人的编号为a，即d1=ad_1 = ad1=a
由于g的所有人中打水时间最短的人，那么一定有Ta>TgT_{a} > T_{g}Ta>Tg
如果交换aaa与ggg，考虑总接水时间的变化：

从d2∼dm−1d_2\sim d_{m-1}d2∼dm−1一共m−2m-2m−2个人，每人等待的时间减少了TaT_aTa增加了TgT_gTg，总减少时间为(m−2)(Ta−Tg)(m-2)(T_a-T_g)(m−2)(Ta−Tg)

g等待的时间从Ta+∑i=2m−1TdiT_a+\sum_{i=2}^{m-1}T_{di}Ta+∑i=2m−1Tdi变为000，等待时间减少Ta+∑i=2m−1TdiT_a+\sum_{i=2}^{m-1}T_{di}Ta+∑i=2m−1Tdi

a的等待时间从000变为Tg+∑i=2m−1TdiT_g+\sum_{i=2}^{m-1}T_{di}Tg+∑i=2m−1Tdi，等待时间减少−(Tg+∑i=2m−1Tdi)-(T_g+\sum_{i=2}^{m-1}T_{di})−(Tg+∑i=2m−1Tdi)

总减少的等待时间为上面三者的加和，结果为(m−1)(Ta−Tg)(m-1)(T_a-T_g)(m−1)(Ta−Tg)。由于m>1m>1m>1且Ta>TbT_a>T_bTa>Tb，那么(m−1)(Ta−Tg)>0(m-1)(T_a-T_g) > 0(m−1)(Ta−Tg)>0

因此，如果交换a与g，总接水时间会减少。这与当前解是可以使平均接水时间最小的最优解相矛盾，因而原命题得证。

证明：存在最优解，假设前k个人接水的人都是通过贪心选择得到的，第k+1个接水的人也通过贪心选择得到，即选择剩下的接水时长最短的人。

证明方法与上面第1点的证明方法类似，把证明中的“第一个接水的人”改为“第k+1个接水的人”即可，不再赘述。

以上证明了该问题具有贪心选择性质，即每次选择接水时间最短的人去接水，可以使n个人的平均等待时间最小。

2. 具体做法

结构体中保存人的编号和打水时间，按打水时间升序对结构体对象进行排序。计算所有人的等待时间加和，最后除以总人数。

3. 排序方法

该题说当时间重复时，按照输入顺序输出。虽然它说“用sort是可以的”，但严格来讲，这里按照输入顺序将其加入数组中，而后按照打水时间进行排序。如要让相同打水时间的元素保持输入时的先后顺序，则理论上必须选用稳定的排序算法。所以这里我们使用stable_sort进行排序。

【题解代码】

解法1：贪心，使用stable_sort进行排序

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 1005
struct Time
{double t;int i;//t:时间 i：人的编号
};
Time a[N];
bool cmp(const Time &a, const Time &b)
{return a.t < b.t;
}
int main()
{int n;double sumTime = 0, waitTime = 0;cin >> n;for(int i = 1; i <= n; ++i){cin >> a[i].t;a[i].i = i;}stable_sort(a+1, a+1+n, cmp);for(int i = 1; i <= n; ++i){sumTime += waitTime;//waitTime:当前这个人已经等的时间 waitTime += a[i].t;cout << a[i].i << ' ';}cout << endl << fixed << setprecision(2) << sumTime / n; return 0;
}

解法2：贪心手写归并排序

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 1005
struct Time
{double t;int i;//t:时间 i：第几个
};
Time a[N], t[N];
void mergeSort(int l, int r)//归并排序
{if(l >= r)return;int mid = (l+r)/2;mergeSort(l, mid);mergeSort(mid+1, r);int i = l, j = mid+1, ti = l;while(i <= mid && j <= r){if(a[i].t < a[j].t)t[ti++] = a[i++];elset[ti++] = a[j++];}while(i <= mid)t[ti++] = a[i++];while(j <= r)t[ti++] = a[j++];for(int k = l; k <= r; ++k)a[k] = t[k];
}
int main()
{int n;double sumTime = 0, waitTime = 0;cin >> n;for(int i = 1; i <= n; ++i){cin >> a[i].t;a[i].i = i;}mergeSort(1, n);for(int i = 1; i <= n; ++i){sumTime += waitTime;//waitTime:当前这个人已经等的时间 waitTime += a[i].t;cout << a[i].i << ' ';}cout << endl << fixed << setprecision(2) << sumTime / n; return 0;
}

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