【概述】

Bellman-Ford算法适用于计算单源最短路径，即：只能计算起点只有一个的情况。

其最大特点是可以处理存在负边权的情况，但无法处理存在负权回路的情况。

其时间复杂度为：O(V*E)，其中，V 是顶点数，E 是边数。

【算法分析】

Bellman Ford 算法与 Dijkstra 算法的思想相同，只不过 Dijkstra 是每次确定一个最短距离点，并用这个点去更新与之相连的其他边，而 Ford 算法是每次更新所有的边，从而确定一个点的最短距离

起始时，认为起点是白点（dis[1]=0），每一次都枚举所有的边，必然会有一些边，连接着白点和蓝点。因此每次都能用所有的白点去修改所有的蓝点，每次循环也必然会有至少一个蓝点变成白点。

以下图为例

令起点为白点，即：dis[1]=0，dis[2、3、4、5]=∞

遍历所有边，将与白点相连的蓝点变为白点，即：dis[1]=0，dis[2]=2，dis[3]=1，dis[4]=2，dis[5] =∞

继续向下遍历，修改蓝点为白点，即：dis[1]=0，dis[2]=2，dis[3]=1，dis[4]=2，dis[5] =4

【算法核心】

设起点为 s，dis[v] 表示从 s 到 v 的最短路径，u[i] 和 v[i] 分别表示第 i 条边的起点和终点，w[j] 是连接 u、v 的边 j 的长度。

初始化：

dis[s]=0，dis[v]=0x3f3f3f3f（v≠s），即：初始化为一极大值

算法主体：

void Bellman_Ford()
{for(int i=0;i<n;i++) dis[i]=INF;dis[0]=0;for(int i=1;i<=n-1;i++)//枚举除终点外的所有点for(int j=1;j<=m;j++)//枚举所有边{int x=u[j];//边j的起点int y=v[j];//边j的终点if(dis[x]<INF)//松弛dis[y]=min(dis[y],dis[x]+w[j]);}
}

算法结束：dis[v] 即为 s 到 v 最短距离

【SPFA】

SPFA 实质就是 Ford 算法加了判断负环的队列实现版本。

其利用队列以进行 Ford 算法的过程，初始时将起点加入队列，每次从队列中取出一个元素，并对所有与它相邻的点进行修改，若相邻的点修改成功，则将其入队，直到队列为空时算法结束。

SPFA 时间复杂度可达：O(k*E)，其中，E 是边数，k 是常数，平均值是 2。

int dis[N];
bool vis[N];
void SPFA(int S) {memset(vis, false, sizeof(vis));memset(dis, INF, sizeof(dis));dis[S] = 0;queue<int> Q;Q.push(S);while (!Q.empty()) {int x = Q.front();Q.pop();vis[x] = false;for (int i = head[x]; i != -1; i = edge[i].next) {int to = edge[i].to;if (dis[to] > dis[x] + edge[i].dis) {dis[to] = dis[x] + edge[i].dis;if (!vis[to]) {vis[to] = true;Q.push(to);}}}}
}

【SPFA 的 SLF 优化】

在 SPFA 的基础上，可以进一步的进行优化，即 SLF 优化

SLF 优化就是 small label first 优化，由于先扩展最小的点可以尽量使程序尽早结束，因此当加入一个新点 u 的时候，如果此时的 dis[u] 比队首的 dis[q.front()] 小的话，就将点 v 加入队首，否则加入队尾，利用 STL 中的双端队列 deque 即可

struct Edge{int to,dis;
};
vector<Edge> edge[N];
bool vis[N];
int dis[N];
void SPFA(int s) {memset(dis, INF, sizeof(dis));memset(vis, false, sizeof(vis));vis[s] = true;dis[s] = 0;deque<int> Q;Q.push_back(s);while (!Q.empty()) {int x = Q.front();Q.pop_front();vis[x] = 0;for (int i = 0; i < edge[x].size(); i++) {int y = edge[x][i].to;if (dis[y] > dis[x] + edge[x][i].to) {dis[y] = dis[x] + edge[x][i].to;if (!vis[y]) {vis[y] = true;if (!Q.empty() && dis[y] < dis[Q.front()])//加入队首Q.push_front(y);else//加入队尾Q.push_back(y);}}}}
}

【模版】

1.标准版

struct Edge {int to, next;int dis;
} edge[N];
int head[N], tot;
bool vis[N];
int dis[N];
void addEdge(int x, int y, int dis) {edge[++tot].to = y;edge[tot].dis = dis;edge[tot].next = head[x];head[x] = tot;
}
void SPFA(int S) {memset(vis, false, sizeof(vis));memset(dis, INF, sizeof(dis));dis[S] = 0;queue<int> Q;Q.push(S);while (!Q.empty()) {int x = Q.front();Q.pop();vis[x] = false;for (int i = head[x]; i != -1; i = edge[i].next) {int to = edge[i].to;if (dis[to] > dis[x] + edge[i].dis) {dis[to] = dis[x] + edge[i].dis;if (!vis[to]) {vis[to] = true;Q.push(to);}}}}
}
int main(){int n,m;while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF){memset(head,-1,sizeof(head));for(int i=1;i<=m;i++){int x,y,dis;scanf("%d%d%d",&x,&y,&dis);//无向图添边两次addEdge(x,y,dis);addEdge(y,x,dis);}int S;scanf("%d",&S);SPFA(S);for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d\n",dis[i]);}    return 0;
}

2.带负环判断的SPFA

struct Edge {int from, to;int dis;Edge() {}Edge(int from, int to, int dis) : from(from), to(to), dis(dis) {}
};
struct SPFA {int n, m;Edge edges[N]; //所有的边信息int head[N];   //每个节点邻接表的头int next[N];   //每个点的下一条边int pre[N];    //最短路中的上一条弧bool vis[N];int dis[N];int cnt[N]; //进队次数void init(int n) {this->n = n;this->m = 0;memset(head, -1, sizeof(head));}void AddEdge(int from, int to, int dist) {edges[m] = Edge(from, to, dist);next[m] = head[from];head[from] = m++;}bool negativeCycle(int s) { //判负环memset(vis, false, sizeof(vis));memset(cnt, 0, sizeof(cnt));memset(dis, INF, sizeof(dis));dis[s] = 0;queue<int> Q;Q.push(s);while (!Q.empty()) {int x = Q.front();Q.pop();vis[x] = false;for (int i = head[x]; i != -1; i = next[i]) {Edge &e = edges[i];if (dis[e.to] > dis[x] + e.dis) {dis[e.to] = dis[x] + e.dis;pre[e.to] = i;if (!vis[e.to]) {vis[e.to] = true;Q.push(e.to);if (++cnt[e.to] > n)return true;}}}}return false;}
} spfa;
int main() {int n, m;while (scanf("%d%d", &n, &m) != EOF) {spfa.init(n);int S;scanf("%d", &S);for (int i = 1; i <= m; i++) {int x, y, dis;scanf("%d%d%d", &x, &y, &dis);//无向边添边两次spfa.AddEdge(x, y, dis);spfa.AddEdge(y, x, dis);}spfa.negativeCycle(S);for (int i = 1; i <= n; i++)printf("%d\n", spfa.dis[i]);}return 0;
}

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