【位运算】起床困难综合症（包含错误思路点拨）

原题

解题思路一（错误）：

顺着做（每个数用数组存）的思路是人脑思路，但是电脑会TLE。我们可以反着来。

大概的思路就是先假设一个最终结果的最大值。

然后问电脑：这数运算回去（按照输入的门的顺序，逆着顺序运算回去）在我的m范围之内吗？

在，我就得寸进尺，我用11000000试（看是否 <= m）；否则用01000000作为ans尝试。原则总是最高位优先，逐渐考虑低位。

错误原因：想当然。因为如a&b|c = d并不能得到 d|c&b = a，不能直接逆过去

解题思路二（超时）：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+5;
struct data{int op,k;
}qry[N];
char s[10];
int n,m;
int suan(int a){for(int i=1;i<=n;i++){if(qry[i].op==1) a&=qry[i].k;if(qry[i].op==2) a|=qry[i].k;if(qry[i].op==3) a^=qry[i].k;}return a;
}
int main(){scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%s%d",s,&qry[i].k);if(s[0]=='A')qry[i].op=1;if(s[0]=='O')qry[i].op=2;if(s[0]=='X')qry[i].op=3;}int maxn=0;for(int i=0;i<=m;i++){ maxn = max(maxn,suan(i));}printf("%d\n",maxn);return 0;
}

思路就是遍历从0到m，每次取结果的最大值。但部分超时。

分析时间复杂度，n <= 1e5,m <= 1e9，相乘是1e14，超时是肯定的。所以我们要优化想法。

可以这样思考，比方说进门前的数字是1001?000，是10011000出门后比10010000出门后结果要大，那么10010000粗体0的低3位000无需考虑了！这是一个很关键的想法，因为位运算的每一位都是独立的。10011000的出门结果比10010000大，则表明从右往左第4位应该选用1而不是0，这样出门的结果对应的这一位也就是1.

那么，纵然第3位，10010000的输出是111，也不如10011000的出门结果大了。这是一种贪心的想法，因为只要高位比较大，无论低位如何，肯定是高位大的那个数结果大。这样就引入了下面的想法：

解题思路三（正确）：

要尽量保持经过每个门运算之后，得到的结果最大。我们可以对通过门前的数进行逐位调整：在<m的前提下，如果某位是1使通过门后结果更大，那么就让这一位是1；否则不变（默认是0）.

这样对最多31位进行考虑，运算的数量级和门的数量差一个常数，即1e5，不会超时。

//AC代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+5;
struct data{int op,k;
}qry[N];
char s[10];
int n,m;
int cal(int a){for(int i=1;i<=n;i++){if(qry[i].op==1)  a&=qry[i].k;if(qry[i].op==2) a|=qry[i].k;if(qry[i].op==3) a^=qry[i].k;}return a;
}
int main(){scanf("%d%d",&n,&m);for(int i = 1;i <= n;i++){scanf("%s%d",s,&qry[i].k);if(s[0]=='A') qry[i].op = 1;if(s[0]=='O')    qry[i].op = 2;if(s[0]=='X')    qry[i].op = 3;}int ans = 0;for(int i = 30;i >= 0;i--){ if(ans + (1 << i) > m)  continue;if(cal(ans) < cal(ans + (1 << i)))   ans += 1<<i;//如果入门前的数第i位是1时结果更大，则入门时的该位设置为1；否则不变 }printf("%d\n",cal(ans));return 0;
}

问：能否将① for(int i = 30;i >= 0;i--){
       if(ans + (1 << i) > m)   continue;
       if(cal(ans) < cal(ans + (1 << i)))   ans += 1<<i;
    }

改成

② for(int i = 0;i <= 30;i++){
       if(ans + (1 << i) > m)   continue;
       if(cal(ans) < cal(ans + (1 << i)))   ans += 1<<i;
    }

也就是说从最低位开始找使此位的最大输出的入门值？

答：不能！比方说可能最低位是1时得到该位的最大输出了，同时最高位是1也是最高位的最大输出。而这样组合得到的数超过了m的范围，就不符合题意，continue掉了。那么得到的答案就是一个较小的答案，这样得到的最终输出结果，是小于100000作为入门值的最终输出。

因为：最终输出的结果，高位大的则整个数大。所以我们很自然地要优先满足高位输出最大的要求。

比方说这样一个例子：

输入流为：

1 4

AND 5

Span	Doors	Op
000	1	&101
001
010
011
100

在①写法得到的结果是4；而在②写法得到的结果是1.

原因已经解释完毕。

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