数学和算法之---排列组合

本文大部分内容摘自网络只是本人稍加整理分享，供大家学习交流。

排列的概念

从n个不同的元素中，任取m(m<=n)个元素按照一定的顺寻排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。从n个不同元素中取出m个元素的排列的个数，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的排列数，用p(n,m)表示。

排列的公式

p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).

组合的概念

从n个不同元素中，任意取出m个元素排成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的而一个组合；从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号 c(n,m)表示。

组合的公式

c(n,m)=p(n,m)/m!=c(n,n-m))

排列组合的案例

Q1: 有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数？
A1: 123和213是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求的，既属于“排列P”计算范畴。
上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988,997之类的组合，我们可以这么看，百位数有9种可能，十位数则应该有9-1种可能，个位数则应该只有9-1-1种可能，最终共有9*8*7个三位数。计算公式＝P（9，3)＝9*8*7，就这么简单，其实我们只要牢记公式，就能帮助我们解决生活中的问题。

Q2: 有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟”？
A2: 213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。即不要求顺序的，这便是组合。正如A2中说的，213和312 所要表达的结果是一样的，都是由“1,2 和 3 ”这3 个数组合的。那么，我们就要考虑，怎么排除这种情况。

就拿结果是有“1、2、3”这个来做例子分析。

在结果是“1,2,3”这个情况中，考虑按顺序拿出来的情况是：第一次可以在3个数（1,2 或3）中选1个，第二次可以在剩下的2个数中选1个。。。也就是说他们的按顺序出现的可能有：3*2*1 种。但是只看结果，不看顺序，那么就重复了3*2*1次。

同理，你可以想到，每一个结果中，他们按顺序出现的种数都是6种。也就是说，每一种结果都重复了3*2*1次，

所以要除以3*2*1。

所以A2最终结果为：C(3,9 )= C(9,3)/C(3,9) = 9*8*7/3*2*1=84