前言

OI生涯目前为止学习的最为难以理解的算法，没有之一。
到现在也没有完全的理解。
qwq

概念

定义：

后缀 iii ：字符串 sss 以 iii 结尾的后缀（前缀同理）
endpos(x)endpos(x)endpos(x) 字符串 xxx 在 sss 中出现的结尾位置的集合
等价类：若 endpos(u)=endpos(v)endpos(u)=endpos(v)endpos(u)=endpos(v)，我们就称 uuu 和 vvv 属于同一个等价类

不难发现，对于 sss 的一个子串 x=sl...rx=s_{l...r}x=sl...r，都存在一个位置 p∈(l,r]p\in (l,r]p∈(l,r]，满足对于 l≤i≤pl\le i\le pl≤i≤p，xxx 的后缀 iii 都与 xxx 属于同一个等价类，而对于 p<i≤rp<i\le rp<i≤r，后缀 iii 与 xxx 都不属于一个等价类。
我们称满足这个性质的 ppp 为 link(x)link(x)link(x)。

SAM是一个字符转移边组成的DAG，每条从根结点出发的路径都唯一对应 sss 的一个子串，在SAM中，每个结点都对应着一个等价类的集合（也就是从根结点到该结点的路径所代表的字符串的集合，这些字符串必然由一个最长的字符串和它的一些连续的后缀组成），一个结点的 linklinklink 定义为该结点对应的最长字符串的 linklinklink。

请务必确保你理解了上面这段话

构建

现在考虑如何构建出SAM
使用增量法，当前加入一个新的字符串 ccc
设上一个加入的结点为 lstlstlst，当前加入结点为 curcurcur
设一个结点代表的最长字符串的长度为 lenlenlen

首先，令 len(cur)←len(lst)+1len(cur)\gets len(lst)+1len(cur)←len(lst)+1
然后从 lstlstlst 沿着 linklinklink 不断往上跳，直到跳到某个有 ccc 的转移边或者跳到根为止，沿途把 ccc 的转移边全部赋值成 curcurcur

situation 1

若到根了还没有 ccc 的转移边：说明整个字符串还没有出现过 ccc，直接把 link(cur)link(cur)link(cur) 赋值成根即可

否则，设跳到了结点 ppp，ppp 的 ccc 转移边为 qqq
由于一直跳的是

situation 2

若 len(q)=len(p)+1len(q)=len(p)+1len(q)=len(p)+1：这两个结点在原串上就是相邻的，直接令 link(cur)=link(q)link(cur)=link(q)link(cur)=link(q) 即可

situation 3

若 len(q)≠len(p)+1len(q)\ne len(p)+1len(q)=len(p)+1：这两个结点在原串上不是相邻的，此时若按照情况2的处理方法，会使SAM上出现不应该出现的前缀，所以我们应该分裂出一个结点 pppppp，继承所有 qqq 的信息，len(pp)←len(p)+1len(pp)\gets len(p)+1len(pp)←len(p)+1，并把 qqq 和 curcurcur 的 linklinklink 全指向 pppppp，再一路往上把本来连向 qqq 的转移连向 pppppp

代码

void ins(int c){c-='a';int cur=++tot,p=lst;lst=tot;st[cur].len=st[p].len+1;siz[cur]=1;for(;p&&!st[p].tr[c];p=st[p].fa) st[p].tr[c]=cur;if(!st[p].tr[c]) st[cur].fa=1;else{int q=st[p].tr[c];if(st[q].len==st[p].len+1) st[cur].fa=q;else{int pp=++tot;st[pp]=st[q];st[pp].len=st[p].len+1;st[q].fa=st[cur].fa=pp;for(;p&&st[p].tr[c]==q;p=st[p].fa) st[p].tr[c]=pp;return;}}
}

应用

求 endpos 集合大小

定义 sizxsiz_xsizx 为结点 xxx 的等价类集合中 endposendposendpos 的数目。（也就是出现次数）
那么根据定义，有：
sizx=∑s∈sonxsizs+[x∈S]siz_x=\sum_{s\in son_x} siz_s+[x\in S]sizx=s∈sonx∑sizs+[x∈S]
其中 SSS 是每次插入的终点集合
dfs或者拓扑实现均可

int cnt[N],id[N];
void calc(){for(int i=1;i<=tot;i++) ++cnt[st[i].len];for(int i=1;i<=n;i++) cnt[i]+=cnt[i-1];for(int i=tot;i>=1;i--) id[cnt[st[i].len]--]=i;for(int i=tot;i>=1;i--) siz[st[id[i]].fa]+=siz[id[i]];return;
}

求本质不同子串数

就是在自动机上的走法种类呗。
那么就有：
sumx=∑s=trx,csums+1sum_x=\sum_{s=tr_{x,c}}sum_s+1sumx=s=trx,c∑sums+1

Thanks for reading!

后缀树

本身也是一个大算法，但是可以通过反串建SAM偷懒。
复杂度为 O(nC)O(nC)O(nC)。

解析

对反串建出后缀自动机，其 failfailfail 树即为所求的后缀树。
设 plxpl_xplx，为 xxx 节点对应的任意一个出现位置，那么 failx→xfail_x\to xfailx→x 这条边上对应的字符串就是 s(plx+lenfailx,plx+lenx−1)s(pl_x+len_{fail_x},pl_x+len_x-1)s(plx+lenfailx,plx+lenx−1)。
结合 failfailfail 的定义应该不难得到。

后缀树的性质：

根到叶子的路径和所有后缀一一对应。

所有非根节点都至少有两个子节点。

LCP(i,j)LCP(i,j)LCP(i,j) 就是两个位置对应节点 lca 的最长长度。

在解决字典序相关问题时较为常用。

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