3.4 矩阵 $A,A^T,A^TA,AA^T$ 秩相等，左逆和右逆

矩阵 A,AT,ATA,AATA,A^T,A^TA,AA^TA,AT,ATA,AAT 秩相等，左逆和右逆

令 r=rankAr=rank Ar=rankA ，因为零空间秩为 n−rn-rn−r ，零空间是矩阵行空间的正交补空间，矩阵 ATA^TAT 列空间就是矩阵 AAA 行空间，故 rankAT=n−rank(nullA)=rrank A^T = n-rank (null A) = rrankAT=n−rank(nullA)=r 。

方程 ATAx=0A^TA\mathbf{x}=\mathbf{0}ATAx=0 和 Ax=0A\mathbf{x}=\mathbf{0}Ax=0 是同解方程。证明如下：如果向量 x\mathbf{x}x是方程 Ax=0A\mathbf{x}=\mathbf{0}Ax=0 解，则显然是方程 ATAx=0A^TA\mathbf{x}=\mathbf{0}ATAx=0 解。如果向量 x\mathbf{x}x是方程 ATAx=0A^TA\mathbf{x}=\mathbf{0}ATAx=0 解，则 xTATAx=xT0=0\mathbf{x^T}A^TA\mathbf{x}=\mathbf{x^T}\mathbf{0}=0xTATAx=xT0=0 得 (Ax)T(Ax)=0(A\mathbf{x})^T(A\mathbf{x})=0(Ax)T(Ax)=0 得 ∥Ax∥=0\|A\mathbf{x}\|=0∥Ax∥=0 故 Ax=0A\mathbf{x}=\mathbf{0}Ax=0 ，两个方程同解，则 rankA=rankATArank A=rank A^TArankA=rankATA 。

同理可证 rankAT=rank(AT)TAT=rankAATrank A^T =rank (A^T)^TA^T = rank AA^TrankAT=rank(AT)TAT=rankAAT 。

重要性质 rankA=rankAT=rankATA=rankAATrank A=rank A^T = rank A^TA=rank AA^TrankA=rankAT=rankATA=rankAAT 。

矩阵相乘，秩会减小，所以 rankATA≤rankArank A^TA \leq rank ArankATA≤rankA ，但矩阵 AAA 可以是任意矩阵，不需是列满秩矩阵而 rankATA=rankArank A^TA = rank ArankATA=rankA ，这说明矩阵 AAA 的列向量不位于矩阵 ATA^TAT 零空间，可以证明 ATaiA^T\mathbf{a_i}ATai 不可能为零向量。ATai=[a1Tai⋮aiTai⋮anTai]≠0A^T\mathbf{a_i} = \left[ \begin{matrix} \mathbf{a^T_{1}}\mathbf{a_i} \\ \vdots \\ \mathbf{a^T_{i}}\mathbf{a_i} \\ \vdots \\ \mathbf{a^T_{n}}\mathbf{a_i} \end{matrix} \right] \ne \mathbf{0}ATai=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡a1Tai⋮aiTai⋮anTai⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤=0 ，因为 aiTai>0\mathbf{a^T_{i}}\mathbf{a_i} > 0aiTai>0 。

直接得到如下推论。

重要性质 矩阵 AAA 是列满秩矩阵时，rankA=nrank A=nrankA=n ，nnn 阶方阵 rankATA=nrank A^TA=nrankATA=n 是可逆矩阵。

重要性质 矩阵 AAA 是列满秩矩阵时，因为 (ATA)−1ATA=En(A^TA)^{-1}A^TA=E_n(ATA)−1ATA=En ，称矩阵 (ATA)−1AT(A^TA)^{-1}A^T(ATA)−1AT 是矩阵 AAA 的左逆，记为 AL−1A^{-1}_LAL−1

因为矩阵 AL−1A^{-1}_LAL−1 左乘矩阵 AAA 等于单位矩阵，故称左逆。

重要性质 矩阵 AAA 是列满秩矩阵时，方程 Ax=bA\mathbf{x}=\mathbf{b}Ax=b 的解可表示为 x=AL−1b\mathbf{x}=A^{-1}_L\mathbf{b}x=AL−1b ，即著名的最小二乘解。

重要性质 矩阵 AAA 是行满秩矩阵时，rankA=mrank A=mrankA=m ，mmm 阶方阵 rankAAT=mrank AA^T=mrankAAT=m 是可逆矩阵。

重要性质 矩阵 AAA 是行满秩矩阵时，因为 AAT(AAT)−1=EmAA^T(AA^T)^{-1}=E_mAAT(AAT)−1=Em ，称矩阵 AT(AAT)−1A^T(AA^T)^{-1}AT(AAT)−1 是矩阵 AAA 的右逆，记为 AR−1A^{-1}_RAR−1

因为矩阵 AR−1A^{-1}_RAR−1 右乘矩阵 AAA 等于单位矩阵，故称右逆。

重要性质 矩阵 AAA 是行满秩矩阵时，方程 Ax=bA\mathbf{x}=\mathbf{b}Ax=b 的解可表示为 x=AR−1b\mathbf{x}=A^{-1}_R\mathbf{b}x=AR−1b ，即著名的最小范数解。

当矩阵 AAA 是满秩矩阵时， A−1A^{-1}A−1 是矩阵的逆。

读者会猜测，当矩阵 AAA 是行列均不满秩矩阵时，应该也存在“逆”，此“逆”称为伪逆，记为 A+A ^{+}A+ ，方程 Ax=bA\mathbf{x}=\mathbf{b}Ax=b 的解可表示为 x=A+b\mathbf{x}=A^{+}\mathbf{b}x=A+b ，即著名的最小范数最小二乘解。后面章节会详细解释这些概念。

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