P2619 [国家集训队]Tree I(wqs二分)

wqs是一个大佬，wqs二分是基于凸包型的问题，斜率的二分。

本题设(x,g(x))(x,g(x))(x,g(x)) 表示恰好选择xxx条白边，对应最小MST的权值和g(x)g(x)g(x)。

可以用平方的dp 证明该函数形状是个下凸的。

然后就可以上wqs二分了。

我们二分增量，也就是直线的斜率，在本题就是所有白边权值的增量。

然后用Kruskal找到最优值ansansans，显然我们可以同时求出对应的白边的数量x′x'x′。

如果x′≥needx'\ge needx′≥need ，则说明二分的斜率midmidmid 偏小，l=mid+1l=mid+1l=mid+1，然后更新res=ans−mid×needres =ans-mid\times needres=ans−mid×need。这里是还原mid对应的影响。

最后的resresres就是答案了。

时间复杂度：O(mlogm×logW)O(mlogm\times logW)O(mlogm×logW)

// Problem: P2619 [国家集训队]Tree I
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P2619
// Memory Limit: 500 MB
// Time Limit: 2000 ms
// Date: 2022-04-11 21:33:52
// --------by Herio--------#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const int N=5e4+5,M=1e5+5,inf=0x3f3f3f3f,mod=1e9+7;
const int hashmod[4] = {402653189,805306457,1610612741,998244353};
#define mst(a,b) memset(a,b,sizeof a)
#define db double
#define PII pair<int,int>
#define PLL pair<ll,ll>
#define x first
#define y second
#define pb emplace_back
#define SZ(a) (int)a.size()
#define rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
#define per(i,a,b) for(int i=a;i>=b;--i)
#define IOS ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(nullptr)
void Print(int *a,int n){for(int i=1;i<n;i++)printf("%d ",a[i]);printf("%d\n",a[n]);
}
template <typename T>     //x=max(x,y)  x=min(x,y)
void cmx(T &x,T y){if(x<y) x=y;
}
template <typename T>
void cmn(T &x,T y){if(x>y) x=y;
}
struct Kruskal{#define il inline   struct edge{int u,v,w,o;bool operator<(const edge &e)const{return w==e.w?o<e.o:w<e.w;}}e[M];int s[N];il int find(int x){return s[x]==x?x:s[x]=find(s[x]);}int n,m,need;il void init(){scanf("%d%d%d",&n,&m,&need);rep(i,1,m){int u,v,w,o;scanf("%d%d%d%d",&u,&v,&w,&o);u++,v++;e[i] = {u,v,w,o};}int l = -100,r = 100;ll res  = 0,ans = 0;int cnt = 0;//printf("n=%d m=%d\n",n,m);while(l<=r){int mid = l+r>>1;rep(i,1,m){if(!e[i].o) e[i].w+=mid;}solve(cnt,ans);//printf("cnt=%d\n",cnt);if(cnt>=need) res = ans-need*mid, l = mid+1;else r = mid-1;rep(i,1,m){if(!e[i].o) e[i].w-=mid;}}printf("%lld\n",res);}il void solve(int &cnt,ll &ans){sort(e+1,e+m+1);rep(i,1,n) s[i] = i;cnt = 0;ans = 0;int cc = 0;rep(i,1,m){int u = e[i].u, v = e[i].v, w = e[i].w;u=find(u),v=find(v);if(u!=v){ans += w;s[u] = v;cc++;if(!e[i].o) cnt++;}if(cc == n - 1) {return;}}}
}T;
int main(){T.init();return 0;
}

关于WQS二分可以参考下面的文章。

传送门

题解区

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