周期信号的傅里叶变换

首先推导一些傅里叶变换的基本性质。

1，单位冲激函数的傅里叶变换和逆变换

$\mathbb{F}[\delta(t)]=\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)e^{-j\omega t}dt=\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)dt=1$ （冲击函数的积分面积等于1）

$\mathbb{F}^{-1}(\delta(\omega))=\frac{1}{2\pi}\int\delta(\omega)e^{j\omega t}dw=\frac{1}{2\pi}\int\delta(\omega)dw=\frac{1}{2\pi}$

2，傅里叶变换的时移特性

$\mathbb{F}[f(t-t_0)]=\int f(t-t_0)e^{-j\omega t}dt=\int f(t-t_0)e^{-j\omega(t-t_0)}e^{-j\omega t_0}d(t-t_0)$

$\mathbb{F}[f(t-t_0)]=\int f(t)e^{-j\omega t}e^{-j\omega t_0}dt=\mathbb{F}[f(t)]e^{-j\omega t_0}=F(\omega)\cdot e^{-j\omega t_0}$

3，傅里叶变换的频移特性

$\mathbb{F}[f(t)e^{j\omega_0 t}]=\int f(t)e^{j\omega_0 t}\cdot e^{-j\omega t}dt=\int f(t)e^{-j(\omega-\omega_0)t}dt=F(\omega - \omega_0)$

4，傅里叶变换的时域卷积

$\mathbb{F}[f_1(t)*f_2(t)]=\int[\int f_1(\tau)f_2(t-\tau)d\tau]e^{-j\omega t}dt$

$\mathbb{F}[f_1(t)*f_2(t)]=\int f_2(t-\tau)]e^{-j\omega(t-\tau)}dt \int f_1(\tau)e^{-j\omega\tau}d\tau$

$\mathbb{F}[f_1(t)*f_2(t)]=F_1(\omega)\cdot F_2(\omega)$

5，傅里叶变换的频域卷积

$\mathbb{F}^{-1}[F_1(\omega)*F_2(\omega)]=\frac{1}{2\pi}\int e^{j\omega t}\int F_1(\Omega)F_2(\omega -\Omega)d\Omega d\omega$

$\mathbb{F}^{-1}[F_1(\omega)*F_2(\omega)]=\frac{1}{2\pi}\int F_2(\omega -\Omega)e^{j\omega t}d\omega\int F_1(\Omega)d\Omega$

$\mathbb{F}^{-1}[F_1(\omega)*F_2(\omega)]=\frac{1}{2\pi}\int F_2(\omega -\Omega)e^{j(\omega - \Omega) t}d\omega\int F_1(\Omega)e^{j\Omega t}d\Omega$

$\mathbb{F}^{-1}[F_1(\omega)*F_2(\omega)]=2\pi \cdot f_1(t)\cdot f_2(t)$

如果有一个周期信号，那么它可以用傅里叶级数表示

$f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}F_ne^{jn\omega_0 t}$

进行傅里叶变换，那么

$\mathbb{F}[f(t)]=\mathbb{F}\sum_{n=-\infty}^{\infty}F_ne^{jn\omega_0 t}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}F_n\mathbb{F}[e^{jn\omega_0 t}]=2\pi\sum_{n=-\infty}^{\infty}F_n\delta(\omega -n\omega_0)$

其中Fn是傅里叶级数的系数

$F_n=\frac{1}{T_0}\int_{-\frac{T_0}{2}}^{\frac{T_0}{2}} f(t)e^{-jn\omega_0 t}dt$

结论：周期信号的频谱处于0, $\omega_0$ 的正负各次谐波成分之上。其频谱密度函数为冲击函数，表现为无穷大。证明了时域的周期对应于频域的离散。

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