java牛顿法求方程根_牛顿迭代法求方程根

牛顿迭代法(Newton's method)又称为牛顿-拉夫逊方法(Newton-Raphson method)，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。

方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根，此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收敛。另外该方法广泛用于计算机编程中。

计算公式

设r是f(x) = 0的根，选取x0作为r初始近似值，过点(x0,f(x0))做曲线y = f(x)的切线L，L的方程为y = f(x0)+f'(x0)(x-x0)，求出L与x轴交点的横坐标 x1 = x0-f(x0)/f'(x0)，称x1为r的一次近似值。过点(x1,f(x1))做曲线y = f(x)的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标 x2 = x1-f(x1)/f'(x1)，称x2为r的二次近似值。重复以上过程，得r的近似值序列，其中x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))，称为r的n+1次近似值，上式称为牛顿迭代公式。

解非线性方程f(x)=0的牛顿法是把非线性方程线性化的一种近似方法。把f(x)在x0点附近展开成泰勒级数 f(x) = f(x0)+(x－x0)f'(x0)+(x－x0)^2*f''(x0)/2! +… 取其线性部分，作为非线性方程f(x) = 0的近似方程，即泰勒展开的前两项，则有f(x0)+f'(x0)(x－x0)=0 设f'(x0)≠0则其解为x1=x0－f(x0)/f'(x0) 这样，得到牛顿法的一个迭代序列：x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))。

已经证明，如果是连续的，并且待求的零点是孤立的，那么在零点周围存在一个区域，只要初始值位于这个邻近区域内，那么牛顿法必定收敛。并且，如果不为0, 那么牛顿法将具有平方收敛的性能. 粗略的说，这意味着每迭代一次，牛顿法结果的有效数字将增加一倍。

例题：华为OJ

求解立方根

题目描述

•计算一个数字的立方根，不使用库函数

详细描述：

•接口说明

原型：

public static double getCubeRoot(double input)

输入:double 待求解参数

返回值:double 输入参数的立方根

输入描述:

待求解参数 double类型

输出描述:

输入参数的立方根也是double类型

输入例子:

216

输出例子:

6.0

1 #include "iostream"

2 #include "string"

3 #include "vector"

4 #include "algorithm"

5 #define E 0.005

7 using namespacestd;8

9 double getCubeRoot(doublenum)10 {11 doublex0, x1;12 x0 =num;13 x1 = x0 - (x0*x0*x0 - num) / (2 * x0*x0);14 while (x1 - x0 > E || x1 - x0 < -E)15 {16 x0 =x1;17 x1 = x0 - (x0*x0*x0 - num) / (2 * x0*x0);18

19 }20 returnx1;21

22 }23

24 intmain()25 {26 doublen;27 cin >>n;28 cout<

30 }

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