【矩阵论总结(5)】常用计算及方法

1、特征值与特征向量：通过 $\lambda I-A$ 来计算

2、矩阵的最小多项式：通过特征多项式计算

3、矩阵的迹：全体特征值的和（主对角线元素的和）tr（AB）=tr（BA）

4、Schmidt正交化：

${y_{1}^{'}}=x_{1}$

${y_{2}^{'}}=x_{2}-(x_{2},y_{1}^{'})/(y_{1}^{'},y_{1}^{'})\cdot y_{1}^{'}$

5、向量 $l_{p}$ 范数：

p=1,各向量模长之和，p=2,欧氏距离，p= $\infty$ ,模最大值

6、矩阵范数

$\left \| A \right \|_{1},$ 列和范数， $\left \| A \right \|_{\infty },$ 行和范数， $\left \| A \right \|_{2},$ 谱范数

7、矩阵的谱半径：特征值绝对值的最大值（思考:谱半径和范数的关系）

8、矩阵函数值的求法：

（1）待定系数法

$f(\lambda)=\varphi (\lambda)g(\lambda)+(a+b\lambda)$

（2）对角形法

$P\begin{bmatrix} f(\lambda_{1}) & \\ & f(\lambda_{2}) \\ & & f(\lambda_{3}) \end{bmatrix}P^{-1}$

（3）Jordan标准型法

9、函数微分

10、矩阵分解

（1）LDU分解：方阵

（2）QR分解：正交化法、Givens法、Householder法，需要是非奇异矩阵

Givens：

$c=\frac{\xi _{i}}{\sqrt{\xi^2_i+\xi_j^2}},s=\frac{\xi _{j}}{\sqrt{\xi^2_i+\xi_j^2}}$

$T=\begin{bmatrix} 1 & \\ & T_2 \end{bmatrix}T_{1}$

$Q=T^T$

Householder：

$H=I-2uu^{T}$

$u=\frac{x-|x|z}{\left | x-|x|z \right |}$

$S=\begin{bmatrix} 1 & \\ & H_2 \end{bmatrix}H_1$

$Q=S^T$

（3）满秩分解：通过Hermite标准型

（4）奇异值分解： $U\begin{bmatrix} \Sigma O \\ O O \end{bmatrix}V^H$ ，任何矩阵都可以

（5）Cholesky分解

11、特征值的界

12、直积

13、投影矩阵

$P_{L,M}=[X\vdots O][X\vdots Y]^{-1}$

14、{1}-逆

$X=P\begin{bmatrix} I_r & O \\ O & L \end{bmatrix}Q$

15、加号逆

$A^{+}=G^{H}(GG^{H})^{-1}(F^{H}F)^{-1}F^{H}$

16、方程组的极小范数解和极小范数最小二乘解

$x=A^{+}b$

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