傅里叶级数与傅里叶变换_Part0_欧拉公式证明+三角函数和差公式证明

1、欧拉公式证明

欧拉公式： eiθ=cos⁡θ+isin⁡θ{e^{i\theta }} = \cos \theta + i\sin \thetaeiθ=cosθ+isinθ ，其中，i=−1i = \sqrt { - 1}i=−1
欧拉公式在控制理论和动态系统分析当中，起到了非常重要的作用。
下面用一种简单的方式证明一下欧拉公式。
证明：
设函数: f(θ)=eiθcos⁡θ+isin⁡θf\left( \theta \right) = \frac{{{e^{i\theta }}}}{{\cos \theta + i\sin \theta }}f(θ)=cosθ+isinθeiθ

对f(θ)f\left( \theta \right)f(θ)求导,复合函数求导： (uv)′=u′v−uv′v2{\left( {\frac{u}{v}} \right)^\prime } = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}(vu)′=v2u′v−uv′
得
f′(θ)=ieiθ(cos⁡θ+isin⁡θ)−eiθ(−sin⁡θ+icos⁡θ)(cos⁡θ+isin⁡θ)2=ieiθcos⁡θ−eiθsin⁡θ+eiθsin⁡θ−eiθicos⁡θ(cos⁡θ+isin⁡θ)2=0\begin{aligned} f'\left( \theta \right) &= \frac{{i{e^{i\theta }}\left( {\cos \theta + i\sin \theta } \right) - {e^{i\theta }}\left( { - \sin \theta + i\cos \theta } \right)}}{{{{\left( {\cos \theta + i\sin \theta } \right)}^2}}} \\ &= \frac{{i{e^{i\theta }}\cos \theta - {e^{i\theta }}\sin \theta + {e^{i\theta }}\sin \theta - {e^{i\theta }}i\cos \theta }}{{{{\left( {\cos \theta + i\sin \theta } \right)}^2}}}\\ & = 0 \end{aligned}f′(θ)=(cosθ+isinθ)2ieiθ(cosθ+isinθ)−eiθ(−sinθ+icosθ)=(cosθ+isinθ)2ieiθcosθ−eiθsinθ+eiθsinθ−eiθicosθ=0
f′(θ)=0⇒f(θ)f'\left( \theta \right) = 0 \Rightarrow f\left( \theta \right)f′(θ)=0⇒f(θ)是常数。

∴ f(θ)=f(0)=ei0cos⁡0+isin⁡0=11+0=1f\left( \theta \right) = f\left( 0 \right) = \frac{{{e^{i0}}}}{{\cos 0 + i\sin 0}} = \frac{1}{{1 + 0}} = 1f(θ)=f(0)=cos0+isin0ei0=1+01=1

eiθcos⁡θ+isin⁡θ=1⇒eiθ=cos⁡θ+isin⁡θ\frac{{{e^{i\theta }}}}{{\cos \theta + i\sin \theta }} = 1 \Rightarrow {e^{i\theta }} = \cos \theta + i\sin \thetacosθ+isinθeiθ=1⇒eiθ=cosθ+isinθ

证明完毕！

2、用欧拉公式证明三角函数的和差公式

sin⁡(α+β)=sin⁡(α)cos⁡(β)+cos⁡(α)sin⁡(β)(1)sin⁡(α−β)=sin⁡(α)cos⁡(β)−cos⁡(α)sin⁡(β)(2)cos⁡(α+β)=cos⁡(α)cos⁡(β)−sin⁡(α)sin⁡(β)(3)cos⁡(α−β)=cos⁡(α)cos⁡(β)+sin⁡(α)sin⁡(β)(4)\begin{array}{l} \sin \left( {\alpha + \beta } \right) = \sin \left( \alpha \right)\cos \left( \beta \right) + \cos \left( \alpha \right)\sin \left( \beta \right){\rm{ }}\left( 1 \right)\\ \sin \left( {\alpha - \beta } \right) = \sin \left( \alpha \right)\cos \left( \beta \right) - \cos \left( \alpha \right)\sin \left( \beta \right){\rm{ }}\left( 2 \right)\\ \cos \left( {\alpha + \beta } \right) = \cos \left( \alpha \right)\cos \left( \beta \right) - \sin \left( \alpha \right)\sin \left( \beta \right){\rm{ }}\left( 3 \right)\\ \cos \left( {\alpha - \beta } \right) = \cos \left( \alpha \right)\cos \left( \beta \right) + \sin \left( \alpha \right)\sin \left( \beta \right){\rm{ }}\left( 4 \right) \end{array}sin(α+β)=sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β)(1)sin(α−β)=sin(α)cos(β)−cos(α)sin(β)(2)cos(α+β)=cos(α)cos(β)−sin(α)sin(β)(3)cos(α−β)=cos(α)cos(β)+sin(α)sin(β)(4)

根据欧拉公式 eiθ=cos⁡θ+isin⁡θ{e^{i\theta }} = \cos \theta + i\sin \thetaeiθ=cosθ+isinθ

ei(α+β)=cos⁡(α+β)+isin⁡(α+β)eiα=cos⁡α+isin⁡αeiβ=cos⁡β+isin⁡βei(α+β)=eiα⋅eiβ=(cos⁡α+isin⁡α)(cos⁡β+isin⁡β)=cos⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡βi+sin⁡αcos⁡βi−sin⁡αsin⁡β=(cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β)+i(cos⁡αsin⁡β+sin⁡αcos⁡β)=cos⁡(α+β)+isin⁡(α+β)\begin{aligned} {e^{i\left( {\alpha + \beta } \right)}} &= \cos \left( {\alpha + \beta } \right) + i\sin \left( {\alpha + \beta } \right)\\ {e^{i\alpha }} &= \cos \alpha + i\sin \alpha \\ {e^{i\beta }} &= \cos \beta + i\sin \beta \\ {e^{i\left( {\alpha + \beta } \right)}} &= {e^{i\alpha }} \cdot {e^{i\beta }} = \left( {\cos \alpha + i\sin \alpha } \right)\left( {\cos \beta + i\sin \beta } \right)\\ &= \cos \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta i + \sin \alpha \cos \beta i - \sin \alpha \sin \beta \\ &= \left( {\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta } \right) + i\left( {\cos \alpha \sin \beta + \sin \alpha \cos \beta } \right)\\ &= \cos \left( {\alpha + \beta } \right) + i\sin \left( {\alpha + \beta } \right) \end{aligned}ei(α+β)eiαeiβei(α+β)=cos(α+β)+isin(α+β)=cosα+isinα=cosβ+isinβ=eiα⋅eiβ=(cosα+isinα)(cosβ+isinβ)=cosαcosβ+cosαsinβi+sinαcosβi−sinαsinβ=(cosαcosβ−sinαsinβ)+i(cosαsinβ+sinαcosβ)=cos(α+β)+isin(α+β)

两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部分别相等，因此
cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡βsin⁡(α+β)=cos⁡αsin⁡β+sin⁡αcos⁡β\begin{array}{l} \cos \left( {\alpha + \beta } \right) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \\ \sin \left( {\alpha + \beta } \right) = \cos \alpha \sin \beta + \sin \alpha \cos \beta \end{array}cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβsin(α+β)=cosαsinβ+sinαcosβ

(3) 式和（1）式证毕。

利用上述证明过程，如法炮制
ei(α−β)=cos⁡(α−β)+isin⁡(α−β)eiα=cos⁡α+isin⁡αeiβ=cos⁡β+isin⁡β\begin{aligned} {e^{i\left( {\alpha - \beta } \right)}} &= \cos \left( {\alpha - \beta } \right) + i\sin \left( {\alpha - \beta } \right)\\ {e^{i\alpha }} &= \cos \alpha + i\sin \alpha \\ {e^{i\beta }} &= \cos \beta + i\sin \beta \end{aligned}ei(α−β)eiαeiβ=cos(α−β)+isin(α−β)=cosα+isinα=cosβ+isinβ

ei(α−β)=eiα⋅ei(−β)=(cos⁡α+isin⁡α)[cos⁡(−β)+isin⁡(−β)]=cos⁡αcos⁡(−β)+cos⁡αsin⁡(−β)i+sin⁡αcos⁡(−β)i−sin⁡αsin⁡(−β)\begin{aligned} {e^{i\left( {\alpha - \beta } \right)}} &= {e^{i\alpha }} \cdot {e^{i\left( { - \beta } \right)}} = \left( {\cos \alpha + i\sin \alpha } \right)\left[ {\cos \left( { - \beta } \right) + i\sin \left( { - \beta } \right)} \right]\\ &= \cos \alpha \cos \left( { - \beta } \right) + \cos \alpha \sin \left( { - \beta } \right)i \\&+ \sin \alpha \cos \left( { - \beta } \right)i - \sin \alpha \sin \left( { - \beta } \right) \end{aligned}ei(α−β)=eiα⋅ei(−β)=(cosα+isinα)[cos(−β)+isin(−β)]=cosαcos(−β)+cosαsin(−β)i+sinαcos(−β)i−sinαsin(−β)

因为cos⁡(x)\cos \left( x \right)cos(x)是偶函数 ,cos⁡(−β)=cos⁡(β)\cos \left( { - \beta } \right) = \cos \left( \beta \right)cos(−β)=cos(β)。sin⁡(x)\sin \left( x \right)sin(x)是奇函数，sin⁡(−β)=−sin⁡(β)\sin \left( { - \beta } \right) = - \sin \left( \beta \right)sin(−β)=−sin(β)。所以

ei(α−β)=cos⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡βi+sin⁡αcos⁡βi+sin⁡αsin⁡β=(cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β)+i(sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β)=cos⁡(α−β)+isin⁡(α−β)\begin{aligned} {e^{i\left( {\alpha - \beta } \right)}} &= \cos \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta i + \sin \alpha \cos \beta i + \sin \alpha \sin \beta \\ &= \left( {\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta } \right) + i\left( {\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta } \right)\\ &= \cos \left( {\alpha - \beta } \right) + i\sin \left( {\alpha - \beta } \right) \end{aligned}ei(α−β)=cosαcosβ−cosαsinβi+sinαcosβi+sinαsinβ=(cosαcosβ+sinαsinβ)+i(sinαcosβ−cosαsinβ)=cos(α−β)+isin(α−β)

因此可得

cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡βsin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β\begin{array}{l} \cos \left( {\alpha - \beta } \right) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \\ \sin \left( {\alpha - \beta } \right) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \end{array}cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβsin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ

(4) 式和（2）式证毕。

3、总结和扩展

三角函数的和差公式如下
sin⁡(α+β)=sin⁡(α)cos⁡(β)+cos⁡(α)sin⁡(β)(1)sin⁡(α−β)=sin⁡(α)cos⁡(β)−cos⁡(α)sin⁡(β)(2)cos⁡(α+β)=cos⁡(α)cos⁡(β)−sin⁡(α)sin⁡(β)(3)cos⁡(α−β)=cos⁡(α)cos⁡(β)+sin⁡(α)sin⁡(β)(4)\begin{array}{l} \sin \left( {\alpha + \beta } \right) = \sin \left( \alpha \right)\cos \left( \beta \right) + \cos \left( \alpha \right)\sin \left( \beta \right){\rm{ }}\left( 1 \right)\\ \sin \left( {\alpha - \beta } \right) = \sin \left( \alpha \right)\cos \left( \beta \right) - \cos \left( \alpha \right)\sin \left( \beta \right){\rm{ }}\left( 2 \right)\\ \cos \left( {\alpha + \beta } \right) = \cos \left( \alpha \right)\cos \left( \beta \right) - \sin \left( \alpha \right)\sin \left( \beta \right){\rm{ }}\left( 3 \right)\\ \cos \left( {\alpha - \beta } \right) = \cos \left( \alpha \right)\cos \left( \beta \right) + \sin \left( \alpha \right)\sin \left( \beta \right){\rm{ }}\left( 4 \right) \end{array}sin(α+β)=sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β)(1)sin(α−β)=sin(α)cos(β)−cos(α)sin(β)(2)cos(α+β)=cos(α)cos(β)−sin(α)sin(β)(3)cos(α−β)=cos(α)cos(β)+sin(α)sin(β)(4)

根据三角函数的和差公式，我们推导出积化和差的公式
(1)+(2)可得 sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β)=2sin⁡(α)cos⁡(β)⇒sin⁡(α)cos⁡(β)=12[sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β)]\sin \left( {\alpha + \beta } \right) + \sin \left( {\alpha - \beta } \right) = 2\sin \left( \alpha \right)\cos \left( \beta \right) \Rightarrow \sin \left( \alpha \right)\cos \left( \beta \right) = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {\alpha + \beta } \right) + \sin \left( {\alpha - \beta } \right)} \right]sin(α+β)+sin(α−β)=2sin(α)cos(β)⇒sin(α)cos(β)=21[sin(α+β)+sin(α−β)]
(1)-(2)可得 sin⁡(α+β)−sin⁡(α−β)=2cos⁡(α)sin⁡(β)⇒cos⁡(α)sin⁡(β)=12[sin⁡(α+β)−sin⁡(α−β)]\sin \left( {\alpha + \beta } \right) - \sin \left( {\alpha - \beta } \right) = 2\cos \left( \alpha \right)\sin \left( \beta \right) \Rightarrow \cos \left( \alpha \right)\sin \left( \beta \right) = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left( {\alpha + \beta } \right) - \sin \left( {\alpha - \beta } \right)} \right]sin(α+β)−sin(α−β)=2cos(α)sin(β)⇒cos(α)sin(β)=21[sin(α+β)−sin(α−β)]
(3)+(4)可得 cos⁡(α+β)+cos⁡(α−β)=2cos⁡(α)cos⁡(β)⇒cos⁡(α)cos⁡(β)=12[cos⁡(α+β)+cos⁡(α−β)]\cos \left( {\alpha + \beta } \right) + \cos \left( {\alpha - \beta } \right) = 2\cos \left( \alpha \right)\cos \left( \beta \right) \Rightarrow \cos \left( \alpha \right)\cos \left( \beta \right) = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\alpha + \beta } \right) + \cos \left( {\alpha - \beta } \right)} \right]cos(α+β)+cos(α−β)=2cos(α)cos(β)⇒cos(α)cos(β)=21[cos(α+β)+cos(α−β)]
(4)- (3)可得 cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β)=2sin⁡(α)sin⁡(β)⇒sin⁡(α)sin⁡(β)=12[cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β)]\cos \left( {\alpha - \beta } \right) - \cos \left( {\alpha + \beta } \right) = 2\sin \left( \alpha \right)\sin \left( \beta \right) \Rightarrow \sin \left( \alpha \right)\sin \left( \beta \right) = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\alpha - \beta } \right) - \cos \left( {\alpha + \beta } \right)} \right]cos(α−β)−cos(α+β)=2sin(α)sin(β)⇒sin(α)sin(β)=21[cos(α−β)−cos(α+β)]
同理：积化和差公式能够反向推导和差公式，下面就不赘述了

4、附一个不完全证明

下面给出一种仅适用于α<90o\alpha < {90^o}α<90o，β<90o\beta < {90^o}β<90o，α+β<90o\alpha + \beta < {90^o}α+β<90o 的几何证明方法。这东西很妙。

根据矩形的对边长度相等，就能得到

{sin⁡(α+β)=sin⁡(α)cos⁡(β)+cos⁡(α)sin⁡(β)(1){cos⁡(α)cos⁡(β)=cos⁡(α+β)+sin⁡(α)sin⁡(β)⇒cos⁡(α+β)=cos⁡(α)cos⁡(β)−sin⁡(α)sin⁡(β)(3)\begin{array}{l} \left\{ {\sin \left( {\alpha + \beta } \right) = \sin \left( \alpha \right)\cos \left( \beta \right) + \cos \left( \alpha \right)\sin \left( \beta \right)} \right.{\rm{ }}\left( 1 \right)\\ \left\{ \begin{array}{l} \cos \left( \alpha \right)\cos \left( \beta \right) = \cos \left( {\alpha + \beta } \right) + \sin \left( \alpha \right)\sin \left( \beta \right)\\ \Rightarrow \cos \left( {\alpha + \beta } \right) = \cos \left( \alpha \right)\cos \left( \beta \right) - \sin \left( \alpha \right)\sin \left( \beta \right){\rm{ }}\left( 3 \right) \end{array} \right. \end{array}{sin(α+β)=sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β)(1){cos(α)cos(β)=cos(α+β)+sin(α)sin(β)⇒cos(α+β)=cos(α)cos(β)−sin(α)sin(β)(3)

根据函数的奇偶性质，可以推出另外两个差公式

sin⁡[α+(−β)]=sin⁡(α)cos⁡(−β)+cos⁡(α)sin⁡(−β)\sin \left[ {\alpha + \left( { - \beta } \right)} \right] = \sin \left( \alpha \right)\cos \left( { - \beta } \right) + \cos \left( \alpha \right)\sin \left( { - \beta } \right)sin[α+(−β)]=sin(α)cos(−β)+cos(α)sin(−β)

sin⁡(α−β)=sin⁡(α)cos⁡(β)−cos⁡(α)sin⁡(β)(2)\sin \left( {\alpha - \beta } \right) = \sin \left( \alpha \right)\cos \left( \beta \right) - \cos \left( \alpha \right)\sin \left( \beta \right){\rm{ }}\left( 2 \right)sin(α−β)=sin(α)cos(β)−cos(α)sin(β)(2)

同理 cos⁡(α−β)=cos⁡(α)cos⁡(β)+sin⁡(α)sin⁡(β)(4)\cos \left( {\alpha - \beta } \right) = \cos \left( \alpha \right)\cos \left( \beta \right) + \sin \left( \alpha \right)\sin \left( \beta \right){\rm{ }}\left( 4 \right)cos(α−β)=cos(α)cos(β)+sin(α)sin(β)(4)

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