清北学堂noip2018集训D2

P.S.

今天讲数据结构，大概包括了二叉堆，二叉搜索树，线段树，树状数组，并查集，st表，RMQ，LCA。

二叉堆

基本功能
1. O(log n)插入元素
2. O(1)查最大（最小）元素
3. O(log n)删除最大（最小）元素
4. O(log n)删除任意元素
基本结构
- 最为常用的堆结构就是完全二叉堆。
- 在逻辑形式上，结构必须等同于完全二叉树，同时，堆顶以外的每个节点都不大于（小于）其父亲，即堆有序。
- 如果堆顶最大，称为最大二叉堆（大根堆），反之称为最小二叉堆（小根堆）。
- 因为完全二叉堆等同于完全二叉树的结构，故高度相当。为O(log n).
- 一般为了实现方便，根节点编号为1，节点n左节点为2n，右节点为2n+1.

查询操作

最大（最小），直接返回堆顶即可。

插入操作

首先把新元素插入向量末尾，为了维持堆的有序性，逐层检查是否有序并调整，过程通常称为上滤。

建堆

O(n log n)插入每个元素即可。
O(n)?
- 先随机放入一个完全二叉树。
- 从倒数第二个深度开始检索，使堆有序。

删除最大（最小）元素

首先将堆顶元素与堆尾元素交换。
删除堆尾元素。
一步一步将这个换上去的元素下移。
直到堆有序。

删除任意元素

新建一个堆，将删除的元素放入新堆里。即可实现删除。

二叉搜索树

基本功能
- 排序
- 查询元素大小排名
- 插入元素
- 二叉平衡树的基础
结构
- 若左子树不为空，则左子树上所有节点小于根节点。
- 若右子树不为空，则右子树上所有节点大于根节点。
- 左右子树也分别称二叉排序树。
排序
- 中序遍历
查询元素大小排次
- 从根开始向左、右是唯一的，如果向右，那么将左边的节点数加起来，反之不加。
插入
- 与查询方法类似。
- 查询到节点后向上更新其他节点。

线段树

基本功能
- 建树
- 单点查询
- 单点修改
- 区间查询
- 区间修改
结构
- 是一棵二叉搜索树，每个节点代表一个区间。
- 每个节点需要维护
  - 区间左右端点
  - 区间要维护的信息
基本思想：二分
特殊性质
- 左子节点区间为[l,mid],右为[mid+1,r].
- 对于一个节点k，左子节点为2k，右子节点为2k+1.
建树
- 对于二分的每一个节点，确定其代表的区间。
- 如果为叶子结点，存需要维护的信息。
- 对于非叶子结点，将两个子节点状态合并。

单点查询

在左右节点搜索是确定的，由节点的mid决定，如果要查询的点大于mid，则在右子树搜索，反之在左子树搜索。代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
const int MAXN = 100000;
struct tree{int l,r,s;
}mi[4*MAXN+20];
void build(int k,int l,int r){mi[k].l=l;mi[k].r=r;if(l==r){mi[k].s=r;return;}int mid=(l+r)/2;build(2*k,l,mid);build(2*k+1,mid+1,r);mi[k].s=mi[k*2].s+mi[k*2+1].s;
}
int search(int k,int n){if(mi[k].l==mi[k].r&&mi[k].r==n){return k;}int mid=(mi[k].l+mi[k].r)/2;if(n<=mid) return search(k*2,n);else return search(k*2+1,n);
}
int main(){build(1,1,6);cout<<search(1,5);return 0;
}

单点修改

先执行单点搜索，然后执行修改操作，再向上更新状态。
代码如下

int insert(int k,int n,int v){int now=search(k,n);mi[now].s+=v;while(now!=1){now/=2;mi[now].s=mi[2*now].s+mi[2*now+1].s;}
}

区间查询
- 令[l,r]为当前节点代表的区间，mid代表区间中点，[x,y]代表要查询的区间。
- 若[l,r]=[x,y]直接返回即可。
- 如果y≤midy\leq midy≤mid,[l,r]->[l,mid],[x,y]不变，递归查询。
- 如果x>midx > midx>mid,[l,r]->[mid+1,r],[x,y]不变，递归查询。
- 否则，[x,y]跨过了mid的两端，将其分成了两个子问题，[l,mid][l,mid][l,mid]中查[x,mid][x,mid][x,mid].[mid+1,r][mid+1,r][mid+1,r]中查[mid+1,y][mid+1,y][mid+1,y].
- 代码如下：
```
int query_sum(int k,int x,int y){if(y<mi[k].l||x>mi[k].r) return 0;if(x==mi[k].l&&mi[k].r==y) return mi[k].s;int mid=(mi[k].l+mi[k].r)/2;return query_sum(k*2,x,mid)+query_sum(k*2+1,mid+1,y);
}
```
区间修改
- 关键：懒标记
- 经过节点的集合与区间查询相同
- 更新这些区间的答案并打上一个标记，来表示这个区间中的数要进行哪些修改。
- 只有当查询或者修改经过一个节点时，才将其节点上的懒标记放到两个孩子节点，下放的同时修改两个孩子节点的答案。

模板（无区间修改）

/*求和线段树*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
#define inf 2147483647
const int MAXN = 100000;
struct tree{int l,r,s;
}mi[4*MAXN+20];
void build(int k,int l,int r){mi[k].l=l;mi[k].r=r;if(l==r){mi[k].s=r;return;}int mid=(l+r)/2;build(2*k,l,mid);build(2*k+1,mid+1,r);mi[k].s=mi[k*2].s+mi[k*2+1].s;
}
int search(int k,int n){if(mi[k].l==mi[k].r&&mi[k].r==n){return k;}int mid=(mi[k].l+mi[k].r)/2;if(n<=mid) return search(k*2,n);else return search(k*2+1,n);
}
int query_sum(int k,int x,int y){if(y<mi[k].l||x>mi[k].r) return 0;if(x==mi[k].l&&mi[k].r==y) return mi[k].s;int mid=(mi[k].l+mi[k].r)/2;return query_sum(k*2,x,mid)+query_sum(k*2+1,mid+1,y);
}
int insert(int k,int n,int v){int now=search(k,n);mi[now].s+=v;while(now!=1){now/=2;mi[now].s=mi[2*now].s+mi[2*now+1].s;}
}
int main(){int n,m,x,v;cin>>n>>m>>x>>v;build(1,n,m);cout<<query_sum(1,x,v);return 0;
}

树状数组

基本功能
- 单点修改，前缀信息查询。
- 区间修改可减信息（前缀和），单点查询。
lowbit函数
- 含义：一个数，二进制表示中的最后一个1。
- 计算机中负数的表示？
- 怎么求lowbit呢？
- xand(−x)x and (-x)xand(−x)
结构
- 我们定义c[i]为区间[i−lowbit(i)+1,i][i-lowbit(i)+1,i][i−lowbit(i)+1,i]。
- 怎么直观的看一看呢？
- Sn=S(n−lowbit(n))+CnS_n=S_{(n-lowbit(n))}+C_nSn=S(n−lowbit(n))+Cn
查询代码

int sum(int x){int ans=0;for(;x;x-=lowbit(x)) ans+=c[x];return ans;
}

修改代码

void update(int x,int v){for(;x<=n;x+=lowbit(x)) c[x]+=v;
}

代码示例：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=100010;
int a[maxn],c[maxn];
int n;
int lowbit(int x){return x&(-x);
}
int sum(int x){int ans=0;for(;x;x-=lowbit(x)) ans+=c[x];return ans;
}
void update(int x,int v){for(;x<=n;x+=lowbit(x)) c[x]+=v;
}
int main(){cin>>n;for(int i=1;i<=n;i++){cin>>a[i];update(i,a[i]);}cout<<sum(n);return 0;
}

区间修改，单点查询
- 且以修改为加法，查询为求和为例。
- 对于将[l,r][l,r][l,r]加xxx的操作，可以将点lll加xxx，将点r+1r+1r+1减xxx，这时候求点nnn的前缀和就能得到点nnn真实的值。

并查集

基本功能
- 合并两个集合
- 查询某一个元素属于哪个集合
结构
- 并查集S由若干子集合SiS_iSi构成，并查集的逻辑结构是一个森林。
- SiS_iSi表示森林中的一颗子树。
- 一般以子树的根作为该子树的代表。
- 而对于并查集的存储结构，可用一维数组来实现。
查询某个元素属于哪个集合
- 通常而言都是以根作为这个集合的代表元。
- 因此只需要不断向父亲节点走，直到走到根为止返回即可。
合并集合
路径压缩优化

示例代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int fa[200010];
int n;
int find(int x) {if(fa[x] == 0) return x;return fa[x] = find(fa[x]);
}
void add(int x,int y){int xx=find(x),yy=find(y);fa[yy]=xx;
}
int main(){cin>>n;int x,y,m,z;for(int i=0;i<n;i++){cin>>x>>y;add(x,y);}cin>>m>>z;cout<<find(m)<<" "<<find(z);return 0;
}

RMQ问题

R——Range
M——Minimum/Maximum
Q——Query
即区间最值问题

例题

方法1：使用线段树
方法2：st表

ST表

基本功能
- O(nlogn)O(nlogn)O(nlogn)预处理，O(1)O(1)O(1)查询区间最值。
结构
- f[i][j]f[i][j]f[i][j]表示区间[i,i+2j−1][i,i+2^j-1][i,i+2j−1]的信息。
- 整个fff数组就是ST表。
建表
- f[i][0]f[i][0]f[i][0]就是单点i的信息
- 当j>0j>0j>0时，f[i][j]f[i][j]f[i][j]为f[i][j−1],f[i+2j−1−1][j−1]f[i][j-1],f[i+2^{j-1}-1][j-1]f[i][j−1],f[i+2j−1−1][j−1]两个区间信息的并集。
查询
- 比方说我们要查询区间[x,y][x,y][x,y]的信息。
- 令t为最大的正整数使得2t≤y−x+12^t\leq y-x+12t≤y−x+1
- 那么答案就是[x,x+2t−1]∪[y−2t+1,y][x,x+2^t-1]\cup[y-2^t+1,y][x,x+2t−1]∪[y−2t+1,y]
代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 111100
#define logN 25
//因为cmath中的log函数效率差，不如直接设定一个永远到不了的值
using namespace std;int f[maxn][logN],a[maxn],n,m; void pre_st(){               //制表 for(int i=1;i<=n;i++)f[i][0]=a[i];     //因为第二个框框中存的j是用来计算 i+2^j-1（既该f保存的值） //服务于动态规划的结果 for(int j=1;j<=logN;j++){for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++)f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+(1<<j-1)][j-1]);          //注释1 （1<<j）是计算出 2^j 把一一直右移即可得到//注释2  使用刚才得到的动态规划方程 }
}int main(){cin >> n;cin >> m;for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);pre_st();                            //制表        int x,y;        for(int i=1;i<=m;i++){   cin >> x >> y;int s=log(y-x+1)/log(2);      //计算出这一段距离之中最大的2的倍数，以查表 cout << max(f[x][s],f[y-(1<<s)+1][s]) << endl;;     //合并左右不分的解 }return 0;
}

查询树上两点的最近公共祖先（LCA）

L——Lowest
C——Common
A——Ancestor
即最近公共祖先

欧拉序

一种特殊的dfs序，每到达一个点就加入序列。
记录每个点第一次出现的时间S[u]S[u]S[u]，欧拉序中第i个点为Q[i]Q[i]Q[i]。
LCA(x,y)LCA(x,y)LCA(x,y)是Q[S[x]...S[y]]Q[S[x]...S[y]]Q[S[x]...S[y]]中层数最低的点。
区间最值？
ST表！

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