回归分析的五个基本假设

最近读到一篇很棒的文章，介绍了回归分析的五个基本假设，假设失效的影响及检验方法，现总结归纳如下。为己乃梳理巩固，亦期能有助于各位。

综述

回归分析是一种统计学上分析数据的方法，目的在于了解两个或多个变量间是否相关、相关方向与强度，并建立数学模型。以便通过观察特定变量（自变量），来预测研究者感兴趣的变量（因变量）。

总的来说，回归分析是一种参数化方法，即为了达到分析目的，需要设定一些“自然的”假设。如果目标数据集不满足这些假设，回归分析的结果就会出现偏差。因此想要进行成功的回归分析，我们就必须先证实这些假设。

回归分析的五个基本假设

线性性 & 可加性

假设因变量为YY，自变量为X1X_1，X2X_2，则回归分析的默认假设为Y=b+a1X1+a2X2+εY=b+a_1 X_1+a_2 X_2+\varepsilon。
线性性：X1X_1每变动一个单位，YY相应变动a1a_1个单位，与X1X_1的绝对数值大小无关。
可加性：X1X_1对YY的影响是独立于其他自变量（如X2X_2）的。
误差项（ε\varepsilon）之间应相互独立。

若不满足这一特性，我们称模型具有自相关性（Autocorrelation）。
自变量（X1，X2X_1，X_2）之间应相互独立。

若不满足这一特性，我们称模型具有多重共线性性（Multicollinearity）。
误差项（ε\varepsilon）的方差应为常数。

若满足这一特性，我们称模型具有同方差性（Homoskedasticity），若不满足，则为异方差性（Heteroskedasticity）。
误差项（ε\varepsilon）应呈正态分布。

假设失效的影响

线性性 & 可加性

若事实上变量之间的关系不满足线性性（如含有X21X_1^2, X31X_1^3 项），或不满足可加性（如含有X1⋅X2X_1 \cdot X_2项），则模型将无法很好的描述变量之间的关系，极有可能导致很大的泛化误差（generalization error）
自相关性（Autocorrelation）

自相关性经常发生于时间序列数据集上，后项会受到前项的影响。当自相关性发生的时候，我们测得的标准差往往会偏小，进而会导致置信区间变窄。
假设没有自相关性的情况下，自变量XX的系数为15.0215.02而标准差为2.082.08。假设同一样本是有自相关性的，测得的标准差可能会只有1.201.20，所以置信区间也会从(12.94,17.10)(12.94,17.10)缩小到(13.82,16.22)(13.82,16.22)。
多重共线性性（Multicollinearity）

如果我们发现本应相互独立的自变量们出现了一定程度（甚至高度）的相关性，那我们就很难得知自变量与因变量之间真正的关系了。
当多重共线性性出现的时候，变量之间的联动关系会导致我们测得的标准差偏大，置信区间变宽。
采用岭回归，Lasso回归或弹性网（ElasticNet）回归可以一定程度上减少方差，解决多重共线性性问题。因为这些方法，在最小二乘法的基础上，加入了一个与回归系数的模有关的惩罚项，可以收缩模型的系数。
岭回归：=argminβ∈Rp(∥y−Xβ∥22+λ∥β∥22)=argmin_{\beta\in\mathbb R^p}(\Vert y-X\beta\Vert_2^2+\lambda\Vert\beta\Vert_2^2)
Lasso回归：=argminβ∈Rp(∥y−Xβ∥22+λ∥β∥1)=argmin_{\beta\in\mathbb R^p}(\Vert y-X\beta\Vert_2^2+\lambda\Vert\beta\Vert_1)
弹性网回归：=argminβ∈Rp(∥y−Xβ∥22+λ1∥β∥1+λ2∥β∥22)=argmin_{\beta\in\mathbb R^p}(\Vert y-X\beta\Vert_2^2+\lambda_1\Vert\beta\Vert_1+\lambda_2\Vert\beta\Vert_2^2)

where∥Z∥p=(∑i=1N|Zi|p)(1/p)

where \Vert Z\Vert_p=\bigg(\sum_{i=1}^N \vert Z_i\vert^p\bigg)^{(1/p)}
异方差性（Heteroskedasticity）

异方差性的出现意味着误差项的方差不恒定，这常常出现在有异常值（Outlier）的数据集上，如果使用标准的回归模型，这些异常值的重要性往往被高估。在这种情况下，标准差和置信区间不一定会变大还是变小。
误差项（ε\varepsilon）应呈正态分布

如果误差项不呈正态分布，意味着置信区间会变得很不稳定，我们往往需要重点关注一些异常的点（误差较大但出现频率较高），来得到更好的模型。

假设检验方法

线性性 & 可加性
观察残差（Residual）/估计值（Fitted Value，Y^\hat{Y}）图。

相较于图一（残差随机分布），图二的残差明显呈现了某种二次型趋势，说明回归模型没有抓住数据的某些非线性特征。
为了克服非线性性的影响，我们可以对自变量做一些非线性变换，如log(X),X−−√,X2..etc\log(X), \sqrt X, X^2.. etc
自相关性（Autocorrelation）
观察杜宾-瓦特森统计量（Durbin-Watson Statistic）

DW=∑Tt=2(et−et−1)2∑Tt=1e2t

DW=\frac{\sum_{t=2}^T(e_t-e_{t-1})^2}{\sum_{t=1}^Te_t^2}
该统计量的值落在(0,4)(0,4)内，DW=2DW=2意味着没有自相关性，0<DW<20表明残差间有正的相关性，2<DW<42表明残差间有负的相关性。
经验上，如果DW<1DW或DW>3DW>3，则自相关性已经达到了需要示警的水平。如果事先给定了检验的方向（正/负相关性）和置信度α\alpha，也可以根据假设检验的思路进行对应计算。
多重共线性性（Multicollinearity）
首先，可以通过观察自变量的散点图（Scatter Plot）来进行初步判断。
然后，针对可能存在多重共线性性的变量，我们观察其方差膨胀系数（VIF–Variance Inflation Factor）
假设回归模型为:

Y=β0+β1X1+β2X2+⋯+βkXk+ε

Y=\beta_0+\beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 +\cdots+\beta_k X_k + \varepsilon
对于变量XjX_j，可证得，其估计系数βj\beta_j的方差为：

var^(β^j)=s2(n−1)var^(Xj)⋅11−R2j

\hat{var}(\hat{\beta}_j)=\frac{s^2}{(n-1)\hat{var}(X_j)}\cdot\frac{1}{1-R_j^2}
其中唯一与其它自变量有关的值是R2jR_j^2，R2jR_j^2是XjX_j关于其它自变量回归的残差：

Xj=β0+β1X1+β2X2+⋯+βj−1Xj−1+βj+1Xj+1+⋯+βkXk+ε

X_j=\beta_0+\beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 +\cdots + \beta_{j-1} X_{j-1} + \beta_{j+1} X_{j+1} +\cdots + \beta_k X_k + \varepsilon
11−R2j\frac{1}{1-R_j^2}便称作VIFVIF，若VIF<3VIF，说明该变量基本不存在多重共线性性问题，若VIF>10VIF>10，说明问题比较严重。
异方差性（Heteroskedasticity）
观察残差（Residual）/估计值（Fitted Value，Y^\hat{Y}）图。

若该图呈现如上图所示的“漏斗形”，即随着Y^\hat{Y}的变化，残差有规律的变大或变小，则说明存在明显的异方差性。

或观察残差的标准差（StandardizedResidual−−−−−−−−−−−−−−−−−−√\sqrt{Standardized Residual}）/估计值图(Scale Location Plot)。

也可以看出，异方差数据集呈现出明显的趋势性。

为了克服异方差性的影响，我们可以对因变量做一些非线性变换，如log(Y),Y−−√..etc\log(Y), \sqrt Y .. etc
误差项（ε\varepsilon）应呈正态分布
方法一：观察Q-Q Plot (quantile-quantile plot)

如果误差项满足正态分布，Q-Q Plot里的散点会近似的落在一条直线上。若不满足正态分布，则散点会偏离该直线。

方法二：进行正态检验–如Kolmogorov-Smirnov检验，Shapiro–Wilk检验

总结

如果走在了错误的道路上，就算健步如飞，也只会渐行渐远。回归分析是久经考验的很有效的分析手段，但在使用的过程中，我们一定要时刻注意数据集是否满足建模的基本假设，是否需要调整。上述的图表在用R做回归时都会自动生成，更好的理解和观察它们会帮助我们更好地运用回归分析！
有诗云：
悟以往之不谏，知来者之可追。实迷途其未远，觉今是而昨非。
舟遥遥以轻扬，风飘飘而吹衣。问征夫以前路，恨晨光之熹微。
–《归去来兮辞》

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假设失效的影响

假设检验方法

总结

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