数学分析_幂级数收敛分析

问题提出：
1.如何用根式判别法、比值判别法推出收敛半径的？
2.和数项级数的根式判别法、比值判别法，判别敛散性有何联系？

先说数项级数

我们知道对于等比数列，公比q＜1，级数才收敛

所以根式判别法、比值判别法实际求的就是公比q

lim⁡n→+∞un+1un=ρandlim⁡n→∞unn=ρ\lim_{n \to +\infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = ρ \quad and \quad \lim_{n\rightarrow{\infty}} \sqrt[n]{u_n} = ρ n→+∞limunun+1=ρandn→∞limnun=ρ
这里ρ就是公比，举例0.5n→ρ=0.5，2n→ρ=20.5^n\rightarrow ρ = 0.5，2^n\rightarrow ρ = 20.5n→ρ=0.5，2n→ρ=2

所以ρ＜1一定收敛，而ρ = 1，不一定发散，比如 1n2\large\frac{1}{n^2}n21 是收敛的

结论：ρ＜1，数项级数收敛

再说幂级数

以∑n=0∞an(x−5)n\sum_{n=0}^∞a_n(x-5)^n∑n=0∞an(x−5)n为例说明，同样地，先求公比
lim⁡n→∞an(x−5)nn=ρ(x−5)=ρr＜1\lim_{n\rightarrow{\infty}} \sqrt[n]{a_n(x-5)^n} = ρ(x-5)= ρr ＜1 n→∞limnan(x−5)n=ρ(x−5)=ρr＜1
即r＜1ρr ＜\large\frac{1}{ρ}r＜ρ1，所以可以直接通过幂级数中的数项级数部分求出ρ，来找到收敛半径，临界点要带入级数中验算才能判断能不能取等。

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