§6_伴随矩阵及习题_精品

4. 矩阵方程 例7: 解矩阵方程 其中 均为可逆矩阵。 注意：解矩阵方程时，要注意已知矩阵与X的位置关系， 例如解AX=B,需先考察A是否可逆，只有A可逆才可以解 此矩阵方程，在方程两边同时左乘A的逆，而不能右乘， 因为矩阵乘法不满足交换律。 矩阵方程 解 * 中大南方学院　　孙明岩聊城大学数学科学学院 ---王文省 * 中大南方学院　　孙明岩 中大南方学院　　孙明岩聊城大学数学科学学院 ---王文省 § 6　伴随矩阵及相应习题 中大南方学院　　孙明岩 伴随矩阵 设n阶方阵 由方阵 中元素 的代数余子式 伴随矩阵 按转置方式排成的 阶方阵，称为方阵 的伴随矩阵，记作 * 中大南方学院　　孙明岩聊城大学数学科学学院 ---王文省 定理 阶方阵 可逆的充分必要条件是 并且当 可逆时， 的逆矩阵可表示为 其中， 是 的伴随矩阵． 上述定理不仅说明了方阵可逆的条件，而且在方阵可逆的情况下，给出了应用伴随矩阵求逆矩阵的方法． * 中大南方学院　　孙明岩聊城大学数学科学学院 ---王文省 练习 求矩阵 使满足 其中 解：若 存在，则用 左乘上式， 右乘上式，有 即 可解得 ， ，故知 都可逆．且 * 中大南方学院　　孙明岩聊城大学数学科学学院 ---王文省 得 * 中大南方学院　　孙明岩聊城大学数学科学学院 ---王文省 所以 同样可得出 于是 * 中大南方学院　　孙明岩聊城大学数学科学学院 ---王文省 矩阵习题 主要内容 二. 典型例题 三. 测验题 * 中大南方学院　　孙明岩聊城大学数学科学学院 ---王文省 一. 主要内容 1. 矩阵的定义 简记为 实矩阵: 元素是实数 复矩阵： 元素是复数 * 中大南方学院　　孙明岩聊城大学数学科学学院 ---王文省 一些特殊的矩阵： 零矩阵、行矩阵、列矩阵、方阵、 对角阵、数量阵、单位阵 2. 矩阵的基本运算 矩阵相等: 同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等 两个矩阵同型，且对应元素相等 矩阵加(减)法：两个同型矩阵，对应元素相加(减) 加法满足 * 中大南方学院　　孙明岩聊城大学数学科学学院 ---王文省 数乘满足 数与矩阵相乘： 数 与矩阵 的乘积记作 或 ，规定为 矩阵与矩阵相乘： 设 规定 其中 * 中大南方学院　　孙明岩聊城大学数学科学学院 ---王文省 乘法满足 矩阵乘法不满足：交换律、消去律 * 中大南方学院　　孙明岩聊城大学数学科学学院 ---王文省 A是n 阶方阵， 方阵的幂： 方阵的多项式： 并且 (m,k为正整数) 方阵的行列式： 满足: * 中大南方学院　　孙明岩聊城大学数学科学学院 ---王文省 转置矩阵: 把矩阵 的行换成同序数的列得到的 新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作 . 满足： 对称矩阵和反对称矩阵： 幂等矩阵： 为n阶方阵，且 * 中大南方学院　　孙明岩聊城大学数学科学学院 ---王文省 伴随矩阵： 行列式 的各个元素的代数余子式 所 构成的如下矩阵 * 中大南方学院　　孙明岩聊城大学数学科学学院 ---王文省 3. 逆矩阵 定义： A为n阶方阵，若存在n阶方阵,使得 则称矩阵A是可逆的(非奇异的、非退化的、满秩的) 矩阵B称为矩阵A的逆矩阵。 唯一性： 若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的. 判定定理: n阶方阵A可逆 且 推论： 设A、B为同阶方阵，若 则A、B都可逆，且 * 中大南方学院　　孙明岩聊城大学数学科学学院 ---王文省 满足规律： 逆矩阵求法： (1)待定系数法 (2)伴随矩阵法 (3)初等变换法 　　分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类似． 4. 分块矩阵 * 中大南方学院　　孙明岩聊城大学数学科学学院 ---王文省 5. 初等变换 对换变换、倍乘变换、倍加变换 初等变换 逆变换 三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的 初等变换． * 中大南方学院　　孙明岩聊城大学数学科学学院 ---王文省 初等矩阵： 由单位矩阵E经过一次初等变换得到的方阵 称为初等矩阵. 三种初等变换对应着三种初等方阵： 初等对换矩阵、初等倍乘矩阵、初等倍加矩阵 6. 初等矩阵 初等矩阵是可逆的，逆矩阵仍为初等矩阵。 * 中大南方学院　　孙明岩聊城大学数学科学学院 ---王文省 7. 初等