高等数学-多元函数微分法

1，多元函数的概念

1.1 函数是数集到数集的映射，多元函数是n维空间Rn上的点集D到一维空间R上的映射。n维空间R^n上的点集D到一维空间R上的映射。n维空间Rn上的点集D到一维空间R上的映射。

1.2 多元函数极限和连续性的定义方法与一元函数类似（判断多元函数极限是否存在的技巧：从y=kx的方向去趋近；分别从y=x和y=-x两个方向去趋近）。

1.3 有界性与最大值最小值定理。在有界闭区域D上的多元连续函数，必定在D 上有界，且能取得它的最大值和最小值。

1.4 介值定理。在有界闭区域D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值。

1.5 一致连续性定理。在有界闭区域D上的多元连续函数必定在D上一直连续。

2，偏导数

2.1 在求偏导数时，一定要先固定坐标系统，哪些是自变量要搞清楚。如果以x,y,z为自变量的函数，求对x的偏导数时将y和z看成常量即可。

2.2 偏导数的几何意义是与曲线在某点的切线，或曲面在某个方向的切线联系在一起的。

2.3 如果函数z=f(x,y)的两个二阶混合偏导数∂2z∂y∂x及如果函数z=f(x,y)的两个二阶混合偏导数\frac{\partial^2z}{\partial y\partial x}及如果函数z=f(x,y)的两个二阶混合偏导数∂y∂x∂2z及∂2z∂x∂y在区域D内连续，那么在该区域内这两个二阶\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y}在区域D内连续，那么在该区域内这两个二阶∂x∂y∂2z在区域D内连续，那么在该区域内这两个二阶
混合偏导数必相等。混合偏导数必相等。混合偏导数必相等。反之，相等推不出连续。

3，全微分

3.1 定义：设函数z=f(x,y)在点(x, y)的某邻域内有定义，如果函数在点(x, y)的全增量
Δz=f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y)\Delta z=f(x+\Delta x, y+\Delta y)-f(x, y)Δz=f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y)可表示为
Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho)Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)，
其中A、B不依赖于Δx、Δy而仅与x、y有关，则称函数z=f(x,y)在点f(x,y)可微分，而AΔx+BΔy称为函数z=f(x,y)在点(x,y)的全微分，记作dz，即dz=AΔx+BΔy。\Delta x、\Delta y而仅与x、y有关，则称函数z=f(x,y)在点f(x,y)可微分，而A\Delta x+B\Delta y称为函数z=f(x,y)在点(x,y)的全微分，记作dz，即dz=A\Delta x+B\Delta y。Δx、Δy而仅与x、y有关，则称函数z=f(x,y)在点f(x,y)可微分，而AΔx+BΔy称为函数z=f(x,y)在点(x,y)的全微分，记作dz，即dz=AΔx+BΔy。

3.2 全微分进一步可以写成偏导数的形式：dz=∂z∂xΔx+∂z∂yΔydz=\frac{\partial z}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial z}{\partial y}\Delta ydz=∂x∂zΔx+∂y∂zΔy。函数在点（x,y）处可微分可以推出函数在该点的偏导数都存在，推不出来各偏导数连续。

3.3 如果函数在点（x,y）处各偏导数连续，则函数在该点可微分。

4，隐函数求导法则

4.1 x和y两个未知数

4.2 x,y和z三个未知数

4.3 两个方程的情形

5，一元向量值函数

5.1 一元向量值函数是一维空间R上的点D到n维空间Rn的映射。一元向量值函数是一维空间R上的点D到n维空间R^n的映射。一元向量值函数是一维空间R上的点D到n维空间Rn的映射。一元向量值函数是普通一元函数的推广。

5.2 将一维点集投射到三维空间中，可以表示如下：
在R3中，若向量值函数f⃗(t),t∈D的三个分量函数分别为f1(t),f2(t),f3(t),t∈D，则向量值函数f⃗可表示为f⃗(t)=f1(t)i⃗+f2(t)j⃗+f3(t)k⃗,t∈D.在R^3中，若向量值函数\vec f(t),t\in D的三个分量函数分别为f_1(t),f_2(t),f_3(t),t\in D，则向量值函数\vec f可表示为\vec f(t)=f_1(t)\vec i+f_2(t)\vec j+f_3(t)\vec k,t\in D.在R3中，若向量值函数f(t),t∈D的三个分量函数分别为f1(t),f2(t),f3(t),t∈D，则向量值函数f可表示为f(t)=f1(t)i+f2(t)j+f3(t)k,t∈D.

5.3 两向量垂直代表它们的数量积为0，两向量平行则它们的坐标成正比。

6，方向导数与梯度

6.1 方向导数

6.2 梯度一个向量。方向导数是一个数值。

7，多元函数的极值

7.1 必要条件
设函数z=f(x,y)在点（x0,y0）具有偏导数，且在点(x0,y0)处设函数z=f(x,y)在点（x_0,y_0）具有偏导数，且在点(x_0,y_0)处设函数z=f(x,y)在点（x0,y0）具有偏导数，且在点(x0,y0)处
有极值，则有fx(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0.有极值，则有f_x(x_0,y_0)=0,f_y(x_0,y_0)=0.有极值，则有fx(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0.

7.2 充分条件

8，拉格朗日乘数法

9，二元函数的泰勒公式