本文还有第二部分，包含方向导数与梯度，多元函数极值及其求法

文章目录

多元函数的基本概念
- 一、多元函数的极限
- - 1. 二元函数的定义
  - 2. 二元函数的极限
- 二、多元函数的连续性
- - 1. 二元函数连续性的概念
  - 2. 多元连续函数的性质
偏导数
- 一、偏导数的定义及计算方法
- - 1. 偏导数的定义
  - 2. 偏导函数的定义
- 二、高阶偏导数
- - 1. 高阶偏导数的定义
全微分
- 一、全微分的定义
- 二、全微分存在的必要条件
- 三、全微分存在的充分条件
多元复合函数求导法则
- 一、一元函数与多元函数复合
- 二、多元函数与多元函数复合
隐函数求导公式
多元函数微分学的几何应用
- 一、空间曲线的切线与法平面
- 二、曲面的切平面与法线

多元函数的基本概念

一、多元函数的极限

1. 二元函数的定义

设DDD是平面上的一个点集，若对每个点P(x,y)∈DP(x,y)\in DP(x,y)∈D，变量zzz按照某一对应法则f有一个确定的值与之对应，则称zzz为x,yx,yx,y的二元函数，记为z=f(x,y)z=f(x,y)z=f(x,y)，其中点集DDD称为该函数的定义域，x,yx,yx,y称为自变量，zzz称为因变量，函数f(x,y)f(x,y)f(x,y)的全体所构成的集合称为函数fff的值域，记为f(D)f(D)f(D)
通常情况下，二元函数z=f(x,y)z=f(x,y)z=f(x,y)在几何上表示一张空间曲面

2. 二元函数的极限

设函数f(x,y)f(x,y)f(x,y)在区域DDD上有定义，点P0(x0,y0)∈DP_0(x_0,y_0)\in DP0(x0,y0)∈D或为DDD的边界点，如果∀ξ>0\forall \xi>0∀ξ>0，存在ξ>0\xi>0ξ>0，当P(x,y)∈DP(x,y)\in DP(x,y)∈D，且0<(x−x0)2+(y−y0)2<ξ0<\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\xi0<(x−x0)2+(y−y0)2<ξ时，都有∣f(x,y)−A∣<ξ|f(x,y)-A|<\xi∣f(x,y)−A∣<ξ成立，则称常数AAA为函数f(x,y)f(x,y)f(x,y)当(x,y)→(x0,y0)(x,y)\to(x_0,y_0)(x,y)→(x0,y0)时的极限，记为lim⁡(x,y)→(x0,y0)f(x,y)=A\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=Alim(x,y)→(x0,y0)f(x,y)=A或lim⁡x→x0y→y0f(x,y)=A\lim_{\substack{x\to x_0\\y\to y_0}}f(x,y)=Alimx→x0y→y0f(x,y)=A或lim⁡P→P0f(P)=A\lim_{P\to P_0}f(P)=AlimP→P0f(P)=A

例1：求lim⁡(x,y)→(0,2)sin⁡xyx\lim_{(x,y)\to(0,2)}\frac{\sin xy}xlim(x,y)→(0,2)xsinxy
法1（凑sin⁡aa\frac{\sin a}aasina）：
原式=lim⁡(x,y)→(0,2)sin⁡xyxy⋅xyx=1⋅lim⁡(x,y)→(0,2)y=2=\lim_{(x,y)\to(0,2)}\frac{\sin xy}{xy}\cdot\frac{xy}x=1\cdot\lim_{(x,y)\to(0,2)}y=2=lim(x,y)→(0,2)xysinxy⋅xxy=1⋅lim(x,y)→(0,2)y=2
法2（等价无穷小）：
原式=lim⁡(x,y)→(0,2)xyx=2=\lim_{(x,y)\to(0,2)}\frac{xy}x=2=lim(x,y)→(0,2)xxy=2

二、多元函数的连续性

1. 二元函数连续性的概念

设二元函数f(P)=f(x,y)f(P)=f(x,y)f(P)=f(x,y)的定义域为DDD。P0(x0,y0)P_0(x_0,y_0)P0(x0,y0)为DDD上的点，如果lim⁡(x,y)→(x0,y0)f(x,y)=f(x0,y0)\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)lim(x,y)→(x0,y0)f(x,y)=f(x0,y0)，那么称函数f(x,y)f(x,y)f(x,y)在点P0(x0,y0)P_0(x_0,y_0)P0(x0,y0)连续

2. 多元连续函数的性质

多元连续函数经过四则运算法则仍为连续函数
多元连续函数的复合函数仍为连续函数
有界性与最大最小值定理：在有界闭区域DDD上的多元连续函数，必定在DDD上有界，且在DDD上能取得它的最大值与最小值
在有界闭区域DDD上的多元连续函数，必能取得介于最大值与最小值之间的任何值

偏导数

一、偏导数的定义及计算方法

1. 偏导数的定义

设函数z=f(x,y)z=f(x,y)z=f(x,y)在点(x0,y0)(x_0,y_0)(x0,y0)的某一邻域内有定义，当yyy固定在y0y_0y0，而xxx在x0x_0x0处有增量Δx\Delta xΔx时，相应的函数有增量f(x0+Δx,y0)−f(x0,y0)f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)f(x0+Δx,y0)−f(x0,y0)，如果lim⁡Δx→0f(x0+Δx,y0)−f(x0,y0)Δx\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}limΔx→0Δxf(x0+Δx,y0)−f(x0,y0)存在，那么称此极限为函数z=f(x,y)z=f(x,y)z=f(x,y)在点(x0,y0)(x_0,y_0)(x0,y0)处对xxx的偏导数，记作∂z∂x∣x=x0y=y0\frac{\partial z}{\partial x}\Big|_{\substack{x=x_0\\y=y_0}}∂x∂z∣∣x=x0y=y0，∂f∂x∣x=x0y=y0\frac{\partial f}{\partial x}\Big|_{\substack{x=x_0\\y=y_0}}∂x∂f∣∣x=x0y=y0，zx∣x=x0y=y0z_x\Big|_{\substack{x=x_0\\y=y_0}}zx∣∣x=x0y=y0，fx(x0,y0)f_x(x_0,y_0)fx(x0,y0)

2. 偏导函数的定义

如果函数z=f(x,y)z=f(x,y)z=f(x,y)在区域DDD内每一点(x,y)(x,y)(x,y)处对xxx的偏导都存在，那么这个偏导数就是x,yx,yx,y的函数，它就称为函数z=f(x,y)z=f(x,y)z=f(x,y)对自变量xxx的偏导函数，记作∂z∂x\frac{\partial z}{\partial x}∂x∂z，∂f∂x\frac{\partial f}{\partial x}∂x∂f，zxz_xzx，fx(x,y)f_x(x,y)fx(x,y)，类似的，可以定义函数z=f(x,y)z=f(x,y)z=f(x,y)对自变量yyy的偏导函数，记作∂z∂y\frac{\partial z}{\partial y}∂y∂z，∂f∂y\frac{\partial f}{\partial y}∂y∂f，zyz_yzy，fy(x,y)f_y(x,y)fy(x,y)

例1：求z=x2+3xy+y2z=x^2+3xy+y^2z=x2+3xy+y2在点(1,2)(1,2)(1,2)处的偏导数
∂z∂x=2x+3y\frac{\partial z}{\partial x}=2x+3y∂x∂z=2x+3y
∂z∂y=3x+2y\frac{\partial z}{\partial y}=3x+2y∂y∂z=3x+2y
代入x=1,y=2x=1,y=2x=1,y=2得
∂z∂x∣x=1y=2=8\frac{\partial z}{\partial x}\Big|_{\substack{x=1\\y=2}}=8∂x∂z∣∣x=1y=2=8
∂z∂y∣x=1y=2=7\frac{\partial z}{\partial y}\Big|_{\substack{x=1\\y=2}}=7∂y∂z∣∣x=1y=2=7

二、高阶偏导数

1. 高阶偏导数的定义

设函数z=f(x,y)z=f(x,y)z=f(x,y)在区域DDD内具有偏导数∂z∂x=fx(x,y)\frac{\partial z}{\partial x}=f_x(x,y)∂x∂z=fx(x,y)，∂z∂y=fy(x,y)\frac{\partial z}{\partial y}=f_y(x,y)∂y∂z=fy(x,y)，于是在DDD内fx(x,y)f_x(x,y)fx(x,y)，fy(x,y)f_y(x,y)fy(x,y)都是x,yx,yx,y的函数，如果这两个函数的偏导数也存在，那么称它们是函数z=f(x,y)z=f(x,y)z=f(x,y)的二阶偏导数，按照对变量求导次序的不同于下列四个二阶偏导数
∂z∂x(∂z∂x)=∂2z∂x2=fxx(x,y)\begin{aligned}\frac{\partial z}{\partial x}(\frac{\partial z}{\partial x})=\frac{\partial^2z}{\partial x^2}=f_{xx}(x,y)\end{aligned}∂x∂z(∂x∂z)=∂x2∂2z=fxx(x,y)
∂z∂y(∂z∂x)=∂2z∂x∂y=fxy(x,y)\begin{aligned}\frac{\partial z}{\partial y}(\frac{\partial z}{\partial x})=\frac{\partial^2z}{\partial x\partial y}=f_{xy}(x,y)\end{aligned}∂y∂z(∂x∂z)=∂x∂y∂2z=fxy(x,y)
∂z∂x(∂z∂y)=∂2z∂y∂x=fyx(x,y)\begin{aligned}\frac{\partial z}{\partial x}(\frac{\partial z}{\partial y})=\frac{\partial^2z}{\partial y\partial x}=f_{yx}(x,y)\end{aligned}∂x∂z(∂y∂z)=∂y∂x∂2z=fyx(x,y)
∂z∂y(∂z∂y)=∂2z∂y2=fyy(x,y)\begin{aligned}\frac{\partial z}{\partial y}(\frac{\partial z}{\partial y})=\frac{\partial^2z}{\partial y^2}=f_{yy}(x,y)\end{aligned}∂y∂z(∂y∂z)=∂y2∂2z=fyy(x,y)
其中第二、三这两个偏导数称为混合偏导数，同样可得三阶、四阶……以及nnn阶偏导数，二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数

例2：证明函数u=1ru=\frac1ru=r1满足方程∂u∂x2+∂u∂y2+∂u∂z2=0\frac{\partial^u}{\partial x^2}+\frac{\partial^u}{\partial y^2}+\frac{\partial^u}{\partial z^2}=0∂x2∂u+∂y2∂u+∂z2∂u=0其中r=x2+y2+z2r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}r=x2+y2+z2
∂u∂x=∂u∂r∂r∂x=−1r22x2x2+y2+z2=−x1r3\begin{aligned}\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x}=-\frac1{r^2}\frac{2x}{2\sqrt{x^2+y^2+z^2}}=-x\frac1{r^3}\end{aligned}∂x∂u=∂r∂u∂x∂r=−r212x2+y2+z22x=−xr31
∂u∂x2=−[1r3+x⋅(−3)r−4⋅∂r∂x]=−1r3+3x2r5\begin{aligned}\frac{\partial^u}{\partial x^2}=-[\frac1{r^3}+x\cdot(-3)r^{-4}\cdot\frac{\partial r}{\partial x}]=-\frac1{r^3}+3\frac{x^2}{r^5}\end{aligned}∂x2∂u=−[r31+x⋅(−3)r−4⋅∂x∂r]=−r31+3r5x2
由变量对称性得
∂u∂y2=−1r3+3y2r5\begin{aligned}\frac{\partial^u}{\partial y^2}=-\frac1{r^3}+3\frac{y^2}{r^5}\end{aligned}∂y2∂u=−r31+3r5y2
∂u∂z2=−1r3+3z2r5\begin{aligned}\frac{\partial^u}{\partial z^2}=-\frac1{r^3}+3\frac{z^2}{r^5}\end{aligned}∂z2∂u=−r31+3r5z2
则∂u∂x2+∂u∂y2+∂u∂z2=−3r3+3x2+y2+z2r5=0\begin{aligned}\frac{\partial^u}{\partial x^2}+\frac{\partial^u}{\partial y^2}+\frac{\partial^u}{\partial z^2}=-\frac3{r^3}+3\frac{x^2+y^2+z^2}{r^5}=0\end{aligned}∂x2∂u+∂y2∂u+∂z2∂u=−r33+3r5x2+y2+z2=0
证毕

全微分

一、全微分的定义

设函数z=f(x,y)z=f(x,y)z=f(x,y)在点(x,y)(x,y)(x,y)的某邻域内有定义，如果函数在点(x,y)(x,y)(x,y)的全增量Δz=f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y)\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)Δz=f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y)可以表示为Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho)Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)，其中AAA和BBB是不依赖于Δx\Delta xΔx和Δy\Delta yΔy而仅与xxx和yyy有关（A=∂z∂x,B=∂z∂yA=\frac{\partial z}{\partial x},B=\frac{\partial z}{\partial y}A=∂x∂z,B=∂y∂z），ρ=(Δx)2+(Δy)2\rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}ρ=(Δx)2+(Δy)2，那么称函数z=f(x,y)z=f(x,y)z=f(x,y)在点(x,y)(x,y)(x,y)可微分，而AΔx+BΔyA\Delta x+B\Delta yAΔx+BΔy称为函数z=f(x,y)z=f(x,y)z=f(x,y)在点(x,y)(x,y)(x,y)的全微分，记作dzdzdz，即dz=AΔx+BΔydz=A\Delta x+B\Delta ydz=AΔx+BΔy

二、全微分存在的必要条件

如果函数z=f(x,y)z=f(x,y)z=f(x,y)在点(x,y)(x,y)(x,y)可微分，那么该函数在点(x,y)(x,y)(x,y)的偏导数∂z∂x\frac{\partial z}{\partial x}∂x∂z与∂z∂y\frac{\partial z}{\partial y}∂y∂z必定存在，且函数z=f(x,y)z=f(x,y)z=f(x,y)在点(x,y)(x,y)(x,y)的全微分为dz=∂z∂xΔx+∂z∂yΔydz=\frac{\partial z}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial z}{\partial y}\Delta ydz=∂x∂zΔx+∂y∂zΔy

证明：
∵z=f(x,y)\because z=f(x,y)∵z=f(x,y)在(x,y)(x,y)(x,y)处可微分
故Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho)Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)成立
令Δy=0\Delta y=0Δy=0时，ρ=(Δx)2+(Δy)2=∣Δx∣\rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}=|\Delta x|ρ=(Δx)2+(Δy)2=∣Δx∣
f(x+Δx,y)−f(x,y)=AΔx+o(∣Δx∣)f(x+\Delta x,y)-f(x,y)=A\Delta x+o(|\Delta x|)f(x+Δx,y)−f(x,y)=AΔx+o(∣Δx∣)
两边同除Δx\Delta xΔx，得
lim⁡Δx→0f(x+Δx,y)−f(x,y)Δx=A+lim⁡Δx→0o(∣Δx∣)Δx=A\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x}=A+\lim_{\Delta x\to0}\frac{o(|\Delta x|)}{\Delta x}=AlimΔx→0Δxf(x+Δx,y)−f(x,y)=A+limΔx→0Δxo(∣Δx∣)=A
故∂z∂x=A\frac{\partial z}{\partial x}=A∂x∂z=A
同理令Δx=0\Delta x=0Δx=0
得∂z∂y=B\frac{\partial z}{\partial y}=B∂y∂z=B

区别：一元函数在某点的导数存在是微分存在的充分必要条件，但对于多元函数而言，歌偏导数存在是全微分存在的必要条件而不是充分条件
一元函数

二元函数

二元函数的图形往往是个曲面，对应的定义域是个二维平面。偏导数只是曲面上沿着x轴或者y轴方向的变化率，而微分必须是曲面上某一个很小的“小平面代曲面”
这里就有了问题，存在偏导数，说明沿着x轴方向和y轴方向可以带，但是斜着的方向不一定，斜方向可能一下就是个无穷大无穷小，这样就不能小平面近似了
作者：xynnn
链接：https://www.zhihu.com/question/485892011/answer/2114265340

∂x\partial x∂x与dxdxdx其实是同一个东西，可以约掉变成dz=∂z+∂zdz=\partial z+\partial zdz=∂z+∂z。但是这明显不对，两个∂z其实是有区别的，第一个是沿着xxx方向zzz的变化，一个是沿着yyy方向zzz的变化，不妨区分一下写成dz=∂xz+∂yzdz=\partial_xz+\partial_yzdz=∂xz+∂yz。

这告诉我们由于x,yx,yx,y的变化，造成的zzz的变化可以分解成两个部分相加，由xxx变化造成的∂xz\partial_xz∂xz，由yyy变化造成的∂yz\partial_yz∂yz。就像在矢量分解一样。设长方形OBPAOBPAOBPA，OP=dr=(dx,dy)OP=dr=(dx,dy)OP=dr=(dx,dy)。如果记PPP点与OOO点zzz值的差为z(OP)z(OP)z(OP)那么，z(OP)=z(OA)+z(OB)z(OP)=z(OA)+z(OB)z(OP)=z(OA)+z(OB)。
作者：unidentified2015
链接：https://www.bilibili.com/read/cv1249183

例1：证明f(x,y)={xyx2+y2,x2+y2≠00,x2+y2=0f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}},x^2+y^2\ne0\\0,x^2+y^2=0\end{cases}f(x,y)={x2+y2xy,x2+y2=00,x2+y2=0在(0,0)(0,0)(0,0)处偏导数存在但不可微
fx′(0,0)=lim⁡x→0f(x,0)−f(0,0)x−0=lim⁡x→00−0x−0=0f'_x(0,0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x-0}=\lim_{x\to0}\frac{0-0}{x-0}=0fx′(0,0)=limx→0x−0f(x,0)−f(0,0)=limx→0x−00−0=0
故fx′(0,0)=0f'_x(0,0)=0fx′(0,0)=0存在
由变量对称性得，fy′(0,0)=0f'_y(0,0)=0fy′(0,0)=0存在
lim⁡Δx→0Δy→0(Δz−fx′(0,0)Δx−fy′(0,0)Δy)=lim⁡Δx→0Δy→0ΔxΔy(Δx)2+(Δy)2\begin{aligned}\lim_{\substack{\Delta x\to0\\\Delta y\to0}}(\Delta z-f'_x(0,0)\Delta x-f'_y(0,0)\Delta y)=\lim_{\substack{\Delta x\to0\\\Delta y\to0}}\frac{\Delta x\Delta y}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}}\end{aligned}Δx→0Δy→0lim(Δz−fx′(0,0)Δx−fy′(0,0)Δy)=Δx→0Δy→0lim(Δx)2+(Δy)2ΔxΔy
lim⁡Δx→0Δy→0=ΔxΔy(Δx)2+(Δy)2ρ=lim⁡Δx→0Δy→0ΔxΔy(Δx)2+(Δy)2=令Δy=kΔxlim⁡Δx→0Δy=kΔx→0k(Δx)2(Δx)2+k2(Δx)2≢0\begin{aligned}\lim_{\substack{\Delta x\to0\\\Delta y\to0}}&=\frac{\frac{\Delta x\Delta y}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}}}\rho\\&=\lim_{\substack{\Delta x\to0\\\Delta y\to0}}\frac{\Delta x\Delta y}{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\\&\overset{\text{令}\Delta y=k\Delta x}{=}\lim_{\substack{\Delta x\to0\\\Delta y=k\Delta x\to0}}\frac{k(\Delta x)^2}{(\Delta x)^2+k^2(\Delta x)^2}\not\equiv 0\end{aligned}Δx→0Δy→0lim=ρ(Δx)2+(Δy)2ΔxΔy=Δx→0Δy→0lim(Δx)2+(Δy)2ΔxΔy=令Δy=kΔxΔx→0Δy=kΔx→0lim(Δx)2+k2(Δx)2k(Δx)2≡0

三、全微分存在的充分条件

如果函数z=f(x,y)z=f(x,y)z=f(x,y)的偏导数∂z∂x,∂z∂x\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial x}∂x∂z,∂x∂z在点(x,y)(x,y)(x,y)连续，那么函数在该点可微分

证明：
Δz=f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y)=[f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y+Δy)]+[f(x,y+Δy)−f(x,y)]\begin{aligned}\Delta z&=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)\\&=[f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y+\Delta y)]+[f(x,y+\Delta y)-f(x,y)]\end{aligned}Δz=f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y)=[f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y+Δy)]+[f(x,y+Δy)−f(x,y)]
[f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y+Δy)]=拉格朗日中值定理fx′(x+θ1Δx,y+Δy)⏟fx′(x,y)+ξ1Δx(0<θ1<1)[f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y+\Delta y)]\overset{\text{拉格朗日中值定理}}{=}\underbrace{f'_x(x+\theta_1\Delta x,y+\Delta y)}_{f'_x(x,y)+\xi_1}\Delta x\quad(0<\theta_1<1)[f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y+Δy)]=拉格朗日中值定理fx′(x,y)+ξ1fx′(x+θ1Δx,y+Δy)Δx(0<θ1<1)

此处用到了拉格朗日中值定理带有θ\thetaθ的形式即
f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)=f′[a+θ(b−a)](b−a)(0<θ<1)f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)=f'[a+\theta(b-a)](b-a)\quad(0<\theta<1)f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)=f′[a+θ(b−a)](b−a)(0<θ<1)

设fx′(x,y)f'_x(x,y)fx′(x,y)在点(x,y)(x,y)(x,y)连续
则
f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y+Δy)=fx′(x,y)Δx+ξ1Δx(lim⁡Δx→0Δy→0ξ1=0)f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y+\Delta y)=f'_x(x,y)\Delta x+\xi_1\Delta x\quad(\lim_{\substack{\Delta x\to0\\\Delta y\to0}}\xi_1=0)f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y+Δy)=fx′(x,y)Δx+ξ1Δx(limΔx→0Δy→0ξ1=0)
同理得
f(x,y+Δy)−f(x,y)=fy′(x,y)Δy+ξ2Δy(lim⁡Δx→0Δy→0ξ2=0)f(x,y+\Delta y)-f(x,y)=f'_y(x,y)\Delta y+\xi_2\Delta y\quad(\lim_{\substack{\Delta x\to0\\\Delta y\to0}}\xi_2=0)f(x,y+Δy)−f(x,y)=fy′(x,y)Δy+ξ2Δy(limΔx→0Δy→0ξ2=0)
故
Δz=fx′(x,y)Δx+fy′(x,y)Δy+ξ1Δx+ξ2Δy\Delta z=f'_x(x,y)\Delta x+f'_y(x,y)\Delta y+\xi_1\Delta x+\xi_2\Delta yΔz=fx′(x,y)Δx+fy′(x,y)Δy+ξ1Δx+ξ2Δy
当Δx→0,Δy→0\Delta x\to0,\Delta y\to0Δx→0,Δy→0时
0≤∣ξ,Δx+ξ2Δyρ∣≤∣ξ1Δxρ∣+∣ξ2Δyρ∣0\leq\Big|\frac{\xi_,\Delta x+\xi_2\Delta y}\rho\Big|\leq|\xi_1\frac{\Delta x}\rho|+|\xi_2\frac{\Delta y}\rho|0≤∣∣ρξ,Δx+ξ2Δy∣∣≤∣ξ1ρΔx∣+∣ξ2ρΔy∣
对于Δxρ=Δx(Δx)2+(Δy)2≤1\frac{\Delta x}\rho=\frac{\Delta x}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}}\leq1ρΔx=(Δx)2+(Δy)2Δx≤1
因此
∣ξ1Δxρ∣+∣ξ2Δyρ∣≤∣ξ1∣+∣ξ2∣→0|\xi_1\frac{\Delta x}\rho|+|\xi_2\frac{\Delta y}\rho|\leq|\xi_1|+|\xi_2|\to0∣ξ1ρΔx∣+∣ξ2ρΔy∣≤∣ξ1∣+∣ξ2∣→0
故
ξ1Δx+ξ2Δy=o(ρ)\xi_1\Delta x+\xi_2\Delta y=o(\rho)ξ1Δx+ξ2Δy=o(ρ)
故可微分

例2：计算函数u=x+sin⁡y2+eyzu=x+\sin\frac y2+e^{yz}u=x+sin2y+eyz的全微分
∂u∂x=1\frac{\partial u}{\partial x}=1∂x∂u=1
∂u∂y=12cos⁡y2+zeyz\frac{\partial u}{\partial y}=\frac12\cos \frac y2+ze^{yz}∂y∂u=21cos2y+zeyz
∂u∂z=yeyz\frac{\partial u}{\partial z}=ye^{yz}∂z∂u=yeyz
故全微分du=dx+(12cos⁡y2+zeyz)dy+yeyzdzdu=dx+(\frac12\cos \frac y2+ze^{yz})dy+ye^{yz}dzdu=dx+(21cos2y+zeyz)dy+yeyzdz

多元复合函数求导法则

一、一元函数与多元函数复合

如果函数u=u(t)u=u(t)u=u(t)及v=v(t)v=v(t)v=v(t)都在点ttt可导，函数z=f(u,v)z=f(u,v)z=f(u,v)在对应点(u,v)(u,v)(u,v)具有连续偏导数，那么复合函数z=f[u(t),v(t)]z=f[u(t),v(t)]z=f[u(t),v(t)]在点ttt可导，且有dzdt=∂z∂ududt+∂z∂vdvdt\begin{aligned}\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{du}{dt}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{dv}{dt}\end{aligned}dtdz=∂u∂zdtdu+∂v∂zdtdv

建议画图，方便理解z{u→tv→tz\begin{cases}u\to t\\v\to t\end{cases}z{u→tv→t

二、多元函数与多元函数复合

如果函数u=u(x,y)u=u(x,y)u=u(x,y)及v=v(x,y)v=v(x,y)v=v(x,y)都在点(x,y)(x,y)(x,y)具有对xxx及对yyy的偏导数，函数z=f(u,v)z=f(u,v)z=f(u,v)在对应点(u,v)(u,v)(u,v)具有连续偏导数，那么复合函数z=f[u(x,y),v(x,y)]z=f[u(x,y),v(x,y)]z=f[u(x,y),v(x,y)]在点(x,y)(x,y)(x,y)的两个偏导数都存在，且有dzdx=∂z∂u∂u∂x+∂z∂v∂v∂x,dzdy=∂z∂u∂u∂y+∂z∂v∂v∂y\begin{aligned}\frac{dz}{dx}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x},\frac{dz}{dy}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}\end{aligned}dxdz=∂u∂z∂x∂u+∂v∂z∂x∂v,dydz=∂u∂z∂y∂u+∂v∂z∂y∂v

建议画图，方便理解z{u{xyv{xyz\begin{cases}u\begin{cases}x\\y\end{cases}\\v\begin{cases}x\\y\end{cases}\end{cases}z⎩⎨⎧u{xyv{xy

例1：设u=f(x,y,z)=ex2+y2+z2u=f(x,y,z)=e^{x^2+y^2+z^2}u=f(x,y,z)=ex2+y2+z2，而z=x2sin⁡yz=x^2\sin yz=x2siny，求∂u∂x\frac{\partial u}{\partial x}∂x∂u和∂u∂y\frac{\partial u}{\partial y}∂y∂u
u=f{xyz{xyu=f\begin{cases}x\\y\\z\begin{cases}x\\y\end{cases}\end{cases}u=f⎩⎨⎧xyz{xy
∂u∂x=∂f∂x+∂f∂z∂z∂x=ex2+y2+z2⋅2x+ex2+y2+z2⋅2z⋅2xsin⁡y=2xex2+y2+z2(1+2x2sin⁡2y)\begin{aligned}\frac{\partial u}{\partial x}&=\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial x}\\&=e^{x^2+y^2+z^2}\cdot2x+e^{x^2+y^2+z^2}\cdot2z\cdot2x\sin y\\&=2xe^{x^2+y^2+z^2}(1+2x^2\sin^2y)\end{aligned}∂x∂u=∂x∂f+∂z∂f∂x∂z=ex2+y2+z2⋅2x+ex2+y2+z2⋅2z⋅2xsiny=2xex2+y2+z2(1+2x2sin2y)
同理不再展示计算过程
∂u∂y=2ex2+y2+x4sin⁡2y(y+x4sin⁡ycos⁡y)\begin{aligned}\frac{\partial u}{\partial y}=2e^{x^2+y^2+x^4\sin^2y}(y+x^4\sin y\cos y)\end{aligned}∂y∂u=2ex2+y2+x4sin2y(y+x4sinycosy)

例2：设w=f(x+y+z,xyz)w=f(x+y+z,xyz)w=f(x+y+z,xyz)，fff具有二阶连续偏导数，求∂w∂x和∂2w∂x∂z\frac{\partial w}{\partial x}和\frac{\partial^2w}{\partial x\partial z}∂x∂w和∂x∂z∂2w
令u=x+y+z,v=xyzu=x+y+z,v=xyzu=x+y+z,v=xyz
f{u{xyzv{xyzf\begin{cases}u\begin{cases}x\\y\\z\end{cases}\\v\begin{cases}x\\y\\z\end{cases}\end{cases}f⎩⎨⎧u⎩⎨⎧xyzv⎩⎨⎧xyz
则
∂w∂x=∂f∂u∂u∂x+∂f∂v∂v∂x=∂f∂u+yz∂f∂v\begin{aligned}\frac{\partial w}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u}+yz\frac{\partial f}{\partial v}\end{aligned}∂x∂w=∂u∂f∂x∂u+∂v∂f∂x∂v=∂u∂f+yz∂v∂f
∂w∂x{u{xyzv{xyz\begin{aligned}\frac{\partial w}{\partial x}\end{aligned}\begin{cases}u\begin{cases}x\\y\\z\end{cases}\\v\begin{cases}x\\y\\z\end{cases}\end{cases}∂x∂w⎩⎨⎧u⎩⎨⎧xyzv⎩⎨⎧xyz
原函数的偏导数也是关于u,vu,vu,v的函数
∂2w∂x∂z=∂2f∂u2∂u∂z+∂2f∂u∂v∂v∂z+y∂f∂v+yz(∂2f∂v∂u∂u∂z+∂2f∂v2∂v∂z)=∂2f∂u2+xy∂2f∂u∂v+y∂f∂v+yz(∂2f∂v∂u+xy∂2f∂v2)注意因为混合导数求导顺序不同，结果相同，所以∂2f∂x∂z,∂2f∂z∂x要合并起来=y∂f∂v+∂2f∂u2+xy2z∂2f∂v2+(xy+yz)∂2f∂u∂v\begin{aligned}\frac{\partial^2w}{\partial x\partial z}&=\frac{\partial^2f}{\partial u^2}\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{\partial^2f}{\partial u\partial v}\frac{\partial v}{\partial z}+y\frac{\partial f}{\partial v}+yz(\frac{\partial^2f}{\partial v\partial u}\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{\partial^2f}{\partial v^2}\frac{\partial v}{\partial z})\\&=\frac{\partial^2f}{\partial u^2}+xy\frac{\partial^2f}{\partial u\partial v}+y\frac{\partial f}{\partial v}+yz(\frac{\partial^2f}{\partial v\partial u}+xy\frac{\partial^2f}{\partial v^2})\\&\text{注意因为混合导数求导顺序不同，结果相同，所以}\frac{\partial^2f}{\partial x\partial z},\frac{\partial^2f}{\partial z\partial x}\text{要合并起来}\\&=y\frac{\partial f}{\partial v}+\frac{\partial^2f}{\partial u^2}+xy^2z\frac{\partial^2f}{\partial v^2}+(xy+yz)\frac{\partial^2f}{\partial u\partial v}\end{aligned}∂x∂z∂2w=∂u2∂2f∂z∂u+∂u∂v∂2f∂z∂v+y∂v∂f+yz(∂v∂u∂2f∂z∂u+∂v2∂2f∂z∂v)=∂u2∂2f+xy∂u∂v∂2f+y∂v∂f+yz(∂v∂u∂2f+xy∂v2∂2f)注意因为混合导数求导顺序不同，结果相同，所以∂x∂z∂2f,∂z∂x∂2f要合并起来=y∂v∂f+∂u2∂2f+xy2z∂v2∂2f+(xy+yz)∂u∂v∂2f
也可以用f1′f'_1f1′表示∂f∂u\frac{\partial f}{\partial u}∂u∂f，用f2′f'_2f2′表示∂f∂v\frac{\partial f}{\partial v}∂v∂f
过程相同，结果为f11′′+(xy+yz)f12′′+yf2′+xy2zf22′′f''_{11}+(xy+yz)f''_{12}+yf'_2+xy^2zf''_{22}f11′′+(xy+yz)f12′′+yf2′+xy2zf22′′

隐函数求导公式

隐函数存在定理1：设函数F(x,y)F(x,y)F(x,y)在点P(x0,y0)P(x_0,y_0)P(x0,y0)的某一邻域内具有连续偏导数，且F(x0,y0)=0,Fy′(x0,y0)≠0F(x_0,y_0)=0,F'_y(x_0,y_0)\ne0F(x0,y0)=0,Fy′(x0,y0)=0，则方程F(x,y)=0F(x,y)=0F(x,y)=0在点(x0,y0)(x_0,y_0)(x0,y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y=f(x)y=f(x)y=f(x)，它满足条件y0=f(x0)y_0=f(x_0)y0=f(x0)，并有dydx=−Fx′Fy′\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x'}{F_y'}dxdy=−Fy′Fx′。该公式即为隐函数求导公式

例1：验证方程x2+y2−1=0x^2+y^2-1=0x2+y2−1=0在点(0,1)(0,1)(0,1)的某一邻域内唯一确定一个有连续导数，当x=0,y=1x=0,y=1x=0,y=1时的隐函数y=f(x)y=f(x)y=f(x)，并求着函数的一阶及二阶导数在x=0x=0x=0的值
dydx=−Fx′Fy′=−xy\frac{dy}{dx}=-\frac{F'_x}{F'_y}=-\frac xydxdy=−Fy′Fx′=−yx
dydx∣x=0=0\frac{dy}{dx}\Big|_{x=0}=0dxdy∣∣x=0=0
d2ydx2=−y−xdydxy2=−y2+x2x2=−1y3\frac{d^2y}{dx^2}=-\frac{y-x\frac{dy}{dx}}{y^2}=-\frac{y^2+x^2}{x^2}=-\frac1{y^3}dx2d2y=−y2y−xdxdy=−x2y2+x2=−y31
d2ydx2∣x=0=−1\frac{d^2y}{dx^2}\Big|_{x=0}=-1dx2d2y∣∣x=0=−1

隐函数存在定理2：设函数F(x,y,z)F(x,y,z)F(x,y,z)在点P(x0,y0,z0)P(x_0,y_0,z_0)P(x0,y0,z0)的某一邻域内具有连续偏导数，且F(x0,y0,z0)=0,Fz′(x0,y0,z0)≠0F(x_0,y_0,z_0)=0,F'_z(x_0,y_0,z_0)\ne0F(x0,y0,z0)=0,Fz′(x0,y0,z0)=0，则方程F(x,y,z)=0在点(x0,y0,z0)F(x,y,z)=0在点(x_0,y_0,z_0)F(x,y,z)=0在点(x0,y0,z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数z=f(x,y)z=f(x,y)z=f(x,y)，它满足条件z0=f(x0,y0)z_0=f(x_0,y_0)z0=f(x0,y0)，并有∂z∂x=−Fx′Fz′,∂z∂y=−Fy′Fz′\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F'_x}{F'_z},\frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F'_y}{F'_z}∂x∂z=−Fz′Fx′,∂y∂z=−Fz′Fy′

多元函数微分学的几何应用

一、空间曲线的切线与法平面

设空间曲线Γ\GammaΓ的参数方程为{x=x(t)y=y(t)z=z(t)t∈[α,β]\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{cases}\quad t\in[\alpha,\beta]⎩⎨⎧x=x(t)y=y(t)z=z(t)t∈[α,β]，且x(t),y(t),z(t)x(t),y(t),z(t)x(t),y(t),z(t)在[α,β][\alpha,\beta][α,β]上均可导，且导数不同时为000，则曲线Γ\GammaΓ在点M(x0,y0,z0)M(x_0,y_0,z_0)M(x0,y0,z0)处的切线方程为x−x0x′(t0)=y−y0y′(t0)=z−z0z′(t0)\begin{aligned}\frac{x-x_0}{x'(t_0)}=\frac{y-y_0}{y'(t_0)}=\frac{z-z_0}{z'(t_0)}\end{aligned}x′(t0)x−x0=y′(t0)y−y0=z′(t0)z−z0，法平面方程为x′(t0)(x−x0)+y′(t0)(y−y0)+z′(t0)(z−z0)=0x'(t_0)(x-x_0)+y'(t_0)(y-y_0)+z'(t_0)(z-z_0)=0x′(t0)(x−x0)+y′(t0)(y−y0)+z′(t0)(z−z0)=0，其中(x′(t0),y′(t0),z′(t0))(x'(t_0),y'(t_0),z'(t_0))(x′(t0),y′(t0),z′(t0))为曲线Γ\GammaΓ在点M(x0,y0,z0)M(x_0,y_0,z_0)M(x0,y0,z0)处的一个切向量

例1：曲线x=t,y=t^2,z=t3在点(1,1,1)处的切线及法平面方程
x’(t)=1,y’(t)=2y,z’(t)=3t^2
则切向量，s=(1,2,3)\boldsymbol s=(1,2,3)s=(1,2,3)
切线方程为，x−11=y−12=z−13\begin{aligned}\frac{x-1}1=\frac{y-1}2=\frac{z-1}3\end{aligned}1x−1=2y−1=3z−1
法平面方程为，1⋅(x−1)+2(y−1)+3(z−1)=01\cdot(x-1)+2(y-1)+3(z-1)=01⋅(x−1)+2(y−1)+3(z−1)=0，即x+2y+3z−6=0x+2y+3z-6=0x+2y+3z−6=0

二、曲面的切平面与法线

设曲面Σ\SigmaΣ为F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0，M(x0,y0,z0)M(x_0,y_0,z_0)M(x0,y0,z0)为曲面Σ\SigmaΣ上的一点，且在M(x0,y0,z0)M(x_0,y_0,z_0)M(x0,y0,z0)处的偏导数连续且不同时为000，则曲面Σ\SigmaΣ在点M(x0,y0,z0)M(x_0,y_0,z_0)M(x0,y0,z0)处的切平面方程为Fx′(x0,y0,z0)(x−x0)+Fy′(x0,y0,z0)(y−y0)+Fz′(x0,y0,z0)(z−z0)=0F'_x(x_0,y_0,z_0)(x-x_0)+F'_y(x_0,y_0,z_0)(y-y_0)+F'_z(x_0,y_0,z_0)(z-z_0)=0Fx′(x0,y0,z0)(x−x0)+Fy′(x0,y0,z0)(y−y0)+Fz′(x0,y0,z0)(z−z0)=0，法线方程x−x0Fx′(x0,y0,z0)=y−y0Fy′(x0,y0,z0)=z−z0Fz′(x0,y0,z0)\begin{aligned}\frac{x-x_0}{F'_x(x_0,y_0,z_0)}=\frac{y-y_0}{F'_y(x_0,y_0,z_0)}=\frac{z-z_0}{F'_z(x_0,y_0,z_0)}\end{aligned}Fx′(x0,y0,z0)x−x0=Fy′(x0,y0,z0)y−y0=Fz′(x0,y0,z0)z−z0，其中n=(Fx′(x0,y0,z0),Fy′(x0,y0,z0),Fz′(x0,y0,z0))\boldsymbol n=(F'_x(x_0,y_0,z_0),F'_y(x_0,y_0,z_0),F'_z(x_0,y_0,z_0))n=(Fx′(x0,y0,z0),Fy′(x0,y0,z0),Fz′(x0,y0,z0))为曲面Σ\SigmaΣ在点M(x0,y0,z0)M(x_0,y_0,z_0)M(x0,y0,z0)处的一个法向量
如果曲面方程为z=z(x,y)z=z(x,y)z=z(x,y)，则其法向量为n=(−zx′,−zy′,1)\boldsymbol n=(-z'_x,-z'_y,1)n=(−zx′,−zy′,1)。切平面方程：−zx′(x−x0)−zy′(y−y0)+1⋅(z−z0)=0-z'_x(x-x_0)-z'_y(y-y_0)+1\cdot(z-z_0)=0−zx′(x−x0)−zy′(y−y0)+1⋅(z−z0)=0。法线：x−x0−∂z∂x=y−y0−∂z∂y=z−z01\begin{aligned}\frac{x-x_0}{-\frac{\partial z}{\partial x}}=\frac{y-y_0}{-\frac{\partial z}{\partial y}}=\frac{z-z_0}1\end{aligned}−∂x∂zx−x0=−∂y∂zy−y0=1z−z0
可以用该方法的，移项以后也可以用前面的方法

例2：求旋转抛物面z=x2+y2−1z=x^2+y^2-1z=x2+y2−1在点(2,1,4)(2,1,4)(2,1,4)处的切平面及法线方程
n=(−zx′,−zy′,1)=(−2x,−2y,1)=(−4,−2,1)\boldsymbol n=(-z_x',-z_y',1)=(-2x,-2y,1)=(-4,-2,1)n=(−zx′,−zy′,1)=(−2x,−2y,1)=(−4,−2,1)
故且平面方程为(−4)(x−2)+(−2)(y−1)+1⋅(z−4)=0(-4)(x-2)+(-2)(y-1)+1\cdot(z-4)=0(−4)(x−2)+(−2)(y−1)+1⋅(z−4)=0，即4x+2y−z−6=04x+2y-z-6=04x+2y−z−6=0
法线方程为x−2−4=y−1−2=z−41\begin{aligned}\frac{x-2}{-4}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z-4}1\end{aligned}−4x−2=−2y−1=1z−4

【高等数学】多元函数微分法及其应用1相关推荐

同济大学高等数学下册第九章多元函数微分法及其应用以及每日一题
第九章.多元函数微分法及其应用知识逻辑结构图考研考试内容多元函数的概念,二元函数的几何意义,二元函数的极限(极限存在的判定)和连续的概念,有界闭区域上多元连续函数的性质(有界性,最值存在,介值定 ...
高等数学----多元函数微分学的难点重点详细思考
高等数学----多元函数微分学的难点重点详细思考简介本节主要对自己在多元函数微分上遇到的难题和知识点,希望能帮助到考研的人,更希望有缘人觉的有用点赞和关注么么哒,我会一直更新内容,大家有不懂的可以 ...
高等数学：第八章多元函数微分法及其应用（3）方向导数梯度多元函数的极值
§8.7 方向导数与梯度一.方向导数 1.定义设函数在点的某一邻域内有定义,自点引射线,设轴正向到射线的转角为,为邻域内且在上的另一点. 若比值这里,当沿着趋向于时的极限存在,称此极限值为函数 ...
高等数学（下）多元函数微分法及其应用
1 多元函数的基本概念 1.1 极限 1.1.1 定义 2 偏导数 2.1 偏导数的定义 2.2 偏导数的计算 2.3 高阶偏导数 2.3.1 定义 2.3.2 定理 2.4 隐函数的求导公式 2.4 ...
高等数学复盘 | 第七册下册第九章——多元函数微分法及其应用思维导图梳理（复习专用）
【课后习题】高等数学第七版下第九章多元函数微分法及其应用第九节二元函数的泰勒公式
习题9-9 1. 求函数 f(x,y)=2x2−xy−y2−6x−3y+5f(x, y)=2 x^2-x y-y^2-6 x-3 y+5f(x,y)=2x2−xy−y2−6x−3y+5 在点 (1,− ...
高等数学第九章多元函数微分法及其应用思维导图
多元函数概念思维导图_高等数学多元函数微分学知识技巧思维导图 [21考研上岸之旅]...
Hello World,我的朋友,这里是一颗小白蛋,大千世界,很高兴以这样的方式与你相遇前言好久不见,这一次给大家带来考研高数的中多元函数微分学的相关内容. 2021张宇基础30讲 +2020汤家 ...
高等数学多元函数微分学知识技巧思维导图 [21考研上岸之旅]
Hello World,我的朋友,这里是一颗小白蛋,大千世界,很高兴以这样的方式与你相遇前言好久不见,这一次给大家带来考研高数的中多元函数微分学的相关内容. 2021张宇基础30讲 +2020汤家 ...

【高等数学】多元函数微分法及其应用1