第一部分:基础理论
第二部分：强调计算方法
第三部分：应用（计算机图形学，计算机视觉，几何模型，网络，医疗图像，深度学习）

1 3D扫描技术

三维扫描，可以得到一个人脸的模型。这里用结构光的方法进行扫描，扫描速度非常快，解析度也非常高。我们可以看到他动态的表情变化，每一帧，有差不多50万个采样点。这样可以得到非常迅速的、大规模的三维数据的采集。
三维扫描的技术，已经非常成熟。我们瞬间可以得到大量的三维数据，但是现在整个瓶颈变成了软件。我们如何来处理这些非常难以处理的三维的数据，现在是非常具有挑战性的问题。
应用计算机传统的，线性代数，我们只是能处理平直空间的问题。对于曲面的话无能为力，因此我们必须要引入现代的微分几何和共形几何。
扫描的三维人像：

几何模型

主持人：撒贝宁

2 什么是共形几何

计算共形几何就是处理大量动态的三维几何数据

感觉共形几何类似于复变函数中的保角变换
各种几何性质局部守恒
保角就是共形映射吧

1 平面共形变换

平面共形变换：局部保持形状，整体剧烈变化
曲面间的共形变换：弯曲展平直，三维变二维，降维攻击，局部保形

下面这幅画作的数学原理究竟是什么？中间这个奇异点内部究竟发生了什么？

其实，变换虽然非常剧烈，但是局部的形状，没有发生变化，所以这种变换有一个特殊的名字，叫做共形变换。共形的意思就是局部保持形状。
下面这张图就是局部的一些东西形状不变，就是共形几何 ？


这是米开朗基罗的一个大卫头，我们将这个大卫头三维的曲面平展到二维的平面上，这样就把三维变成了二维，把弯曲的空间变成了平直的空间。看它所有的细节，大卫头的眼睛和耳朵映到平面保持没有发生改变，非常复杂的头发映过来也没有发生改变。
通过保角变换我们的确可以实现降维，把三维变成二维。极大地简化了计算问题。在微分几何和共形几何中，有一个非常深刻的定理，我个人觉得也是整个几何界的具有奠基性的一个基本定理叫大一统定理。

大一统定理：克萊因、龐家萊單值化：任意度量曲面都可以共形地映射到球面、歐式平面或者雙曲曲面上。

根据这个定理，所有的曲面都可以在保角的变换下变成三种标准几何中的一种或者变成球面或者变成欧式空间或者变成双曲空间。
大一统定理的含义非常深远，它能说明从你当下所处的地方一直到宇宙的边缘，所有三维实体的表面都是曲面。所有的曲面无论多么复杂，无论怎么千变万化，最后都会归结为三种中的一种，万宗归一。

下面这张图就是共形变换–局部不变。

保角变换

有一种变换能够保持下面的这个变换小圆保持不变
保圆性也是共形变换的一个特征。和保角等价。

3 表面非一致理论

曲面微分几何是最为重要的，
向高维拓展。



黎曼度量，每个颜色代表一个周期，双曲空间

三种算法

调和映射：
全纯微分方法
瑞奇流方法

带有边界的曲面

下面这三种算法构成共形几何的三种算法。
调和映射算法：弹性模量最小的映射

全纯微分方法：
向量场梯度为0，散度XX

瑞奇流
高斯曲率，最后曲率为0，得到一个黎曼度量。

4 游戏、动漫中数学几何的运用

1 电子游戏

纹理贴图：畸变最小。



传统的纹理贴图如下图：

如果我们想打一个非常复杂的游戏，那要保证它渲染的速度。如果游戏的几何体过于复杂，三角面片太多，速度就会特别慢。一方面你想得到非常精细的法向量的信息，一方面又想使数据量减少。如何解决这个矛盾呢？

在图形学中有一个技术，叫做法向贴图。就是说我们把这个曲面摊平，摊到平面上。然后我们可以看到，每个Pixel，有3点，有3个颜色，红绿蓝。用这个红绿蓝，代表法向量的XYZ。法向贴图可以非常细腻，但是几何可以特别粗糙。这样就同时兼顾了渲染的法向量的效果，又减少了数据量，提高了整个运算速度。所以法向贴图也是整个电子游戏界，一个非常基本的技术。

法线贴图技术

三维的曲面应用到二维平面上

几何图形和虚拟纹理相结合，

2 人脸曲面配准

给定两张三维人脸，如何在他们之间，建立比较好的一一映射？我们的方法就是把三维人脸，用黎曼映照，映到二维的圆盘上。这样通过降维攻击，就把这三维问题变成了二维问题。二维问题，会简化非常多。

下面这种方法可以保证几何畸变最小，


最优传输和计算共形几何有啥关系

3 动漫

在动漫电影中，动作捕捉和表情捕捉是非常关键的技术。比如武打片的动作捕捉，就是要得到各个关节的信息。但是动作捕捉非常容易，因为人的关节只有几十个，表情捕捉却非常难，表情的自由度有无穷多个。所以现在整个动漫产业，最困难的就是表情捕捉。
我们把动态的三维人脸，通过黎曼映照映到二维的圆盘上，然后用刚才的方法可以建立帧与帧之间的一一映射。

四边形网格，网格上每个点都有一个轨迹，
把一张蓝色的四边形网格贴到第一张脸上，那么它依随这个人脸的变化而变化。这个蓝色网格上每一个点会得到三维空间中的一条轨迹，这个轨迹就代表了这个表情的信息。我们可以把这表情信息拿出来，去移植到其他的卡通人物身上。

把三维的人脸表情拿下来，然后进行表情捕捉。这样，我们就建立一个虚拟演员的概念。虚拟演员这个技术，未来可以在VR、AR中很大地普及。

4 AR VR应用

几何压缩----对于vr ar是非常关键的

在虚拟现实、增强现实中，数据压缩是一个非常关键的问题。比如我们为了表达一张老人的脸，饱经沧桑、满布皱纹，需要大量的几何信息。如果要通过无线网络来传递这个信息，或者是本身硬件性能比较差，渲染速度就非常慢。如何来压缩这个复杂的几何信息是一个非常关键的问题。
用刚才的大一统定理，我们把一个老人头映到平面的圆盘，然后再控制每个区域在平面上的大小。比如说它曲率比较高的地方，皱纹比较高的地方，让它在平面的区域变得比较大。

5 物联网的应用；

传感器，周围的传感器，给他的邻居，贪婪算法。传统的路由方法会失败，

用共形几何的方法就可以解决物联网的这个问题。每个东西给个虚拟坐标

但是负载过大，


图的嵌入，抽象图的嵌入问题。对水下传感器的路由是有很用的。对虚拟坐标进行路由。

5 医学图像领域中数学几何的应用

医疗美容手术的应用；

在医学图像领域，共形几何用得也非常广泛，比如说共形脑图。人的大脑，形状非常地复杂，有很多沟回，这些沟回，随着岁月的增长是会发生变化的。比较两个大脑本身来讲非常困难。通过刚才大一统定理，我们知道存在一个共形变换。把大脑映到单位球面上，并且这个映射，基本是唯一的。得到这个映射之后，我们为大脑的每一点，确定唯一的经纬坐标。这样可以在大脑上精确地定位，进行比较。

比较不同的形状，来预测

息肉，ct图形—人的肠子，提高直肠癌的检测准确率。
从一个息肉变到癌变，一般需要5到8年，如果在这期间，进行了肠镜检查，就可以非常有效地预防和防止。但是传统的肠镜检查非常痛苦，病人需要全身被麻醉，同时肠镜检查的方式具有非常强的侵犯性。并且老年人的肠壁肌肉非常薄弱，很容易产生非常强烈的并发症。

还有一个很大的问题，直肠有很多皱褶，如果我们的息肉长在皱褶里面的话，传统的光学方法是看不到的，所以用传统的检测方式来进行检查会有大概30%的漏检率。

于是我们就发明了虚拟肠镜的方法，核心的想法就是–把肠子的皱褶打开摊平到整个平面上。如果以传统方式来检查，在活人身上是不可能实现的，但是用数字模型可以做到这一点。虚拟肠镜可以把所有肠壁的皱褶给摊开，把所有的息肉暴露出来，然后我们用CT来扫描人的直肠得到数字模型。于是，医生就可以戴上VR眼镜，来观察肠道的内壁。
虚拟肠镜有非常多好处。第一，病人不需要全身麻醉。第二，医生和病人没有肢体接触，第三，我们能暴露所有潜在的息肉，提高诊断的准确率。

6 智慧制造与智慧材料

1 智能制造

发动机设计，存在于工业界六七十年，但是一直介于艺术和科学之间。没有一种完全自动的方法，完全靠人的手工去调整。直到最近我们才发现，原来这种技术强烈地依赖于一条非常古老的定理，一条阿贝尔和雅可比几百年前发现的定理。但是找到这个定理和这个工程问题之间的联系，花了人们几十年的时间。
在智能制造中，人们用数控机床来加工各种各样的金属毛坯，用金属车刀来车这个金属的时候，要计算车刀的速度和加速度。这就需要毛坯的曲面，一定是光滑可导的。在动漫动画领域中，曲面不需要可导，只需要连续就可以。但是在机械加工领域，曲面一定要可导。这就需要把粗糙的点云信息，变成样条曲面。这一步也需要把曲面先映到平面上来，在平面上去架设比较光滑的样条，这项技术用到的是同样的这个几何原理。

工业里面的曲面都是二阶可导，游戏界只需要连续。

2 智慧材料

智慧材料的设计，需要我们把曲面平铺到平面上，然后把平面的设计推广到曲面上。这样的过程也离不开刚才讲到的大一统定理。
圣杯问题；




超材料设计；
想设计一个防弹衣、防弹面罩，需要用到一种自然界并不存在的负泊松比材料。在自然界中所有的材料都是正的泊松比。一块长方形的橡皮，当你上下挤压它的时候，它的左右会突出。左右挤压的时候，它上下会突出。但是负泊松比，你上下挤压它的时候它左右会收缩，你左右挤压的时候，它上下会收缩。如果用负泊松比材料制作防弹衣或防弹面罩，当一个子弹打来的时候，它受力的地方密度会变得更加大，从而达到非常好的防弹效果。这种不存在于自然界的材料，可以通过设计这种材料的几何的微元用3D打印制造出来。

雕塑

7 参考资料

https://mp.weixin.qq.com/s/l62dF0nPCquMXu66hhxoOQ
https://www3.cs.stonybrook.edu/~gu/lectures/2020/

计算共形几何暑假课lecture1相关推荐

1. 计算共形几何暑假课lecture4

   计算共形几何暑假课lecture4同调群 1 Fixed Point不动点 1 Bruwer Fixed Point 2 lefschetz Fixed Point 3 zero index 2 Po ...

2. 计算共形几何讲座笔记

   明白以下问题 1)几何研究的是什么?有哪些 2)为什么研究共形几何?有哪些好处 3)能解决哪些问题?工程中有什么应用?现在还有哪些问题需要解决 这是听顾险峰老师8.27日一次微信讲座中的 笔记记录,所 ...

3. C语言习题：输入10个学生5门课的成绩，分别用函数实现下列功能：①计算每个学生的平均分；②计算每门课的平均分；③找出所有50个分数中最高的分数所对应的学生和课程；④计算平均分方差；

   ***题目:***输入10个学生5门课的成绩,分别用函数实现下列功能: ①计算每个学生的平均分; ②计算每门课的平均分; ③找出所有50个分数中最高的分数所对应的学生和课程; ④计算平均分方差; /* ...

4. 叉乘点乘混合运算公式_运算定律和简便计算的说课稿

   运算定律和简便计算的说课稿 在教学工作者开展教学活动前,编写说课稿是必不可少的,说课稿有助于顺利而有效地开展教学活动.我们该怎么去写说课稿呢?下面是小编精心整理的运算定律和简便计算的说课稿,欢迎大家借 ...

5. 计算共形几何-代数拓扑

   摘自团队文章,计算共形几何 - 知乎. 计算共形几何是丘成桐先生和顾险峰教授共同创立的跨领域学科,完美的融合现代几何拓扑理论与计算机科学,将代数拓扑.微分拓扑.曲面微分几何.黎曼面理论.最优传输理论的 ...

6. 计算共形几何是计算机科学和,科学网—《计算共形几何》教程第一章 - 顾险峰的博文...

   [最近老顾等人合著的汉语教程<计算共形几何>已经完成初稿.这里我们将第一章公布,其他章节会在清华暑期课程中讲授.希望大家批评指正,不吝赐教.有兴趣预定者,请联系gu@cmsa.fas.ha ...

7. 计算共形几何-微分几何

   摘录团队文章 计算共形几何-微分几何 - 知乎 计算共形几何是丘成桐先生和顾险峰教授共同创立的跨领域学科,完美的融合现代几何拓扑理论与计算机科学,将代数拓扑.微分拓扑.曲面微分几何.黎曼面理论.最优传 ...

8. 曲率流的计算机应用,科学网—清华笔记：计算共形几何讲义 （23）离散曲面曲率流 （Discrete Surface Ricci Flow）V - 顾险峰的博文...

   前面我们介绍了离散曲面的曲率流理论,曲面上配备着欧氏度量带有奇异点.这次,我们介绍双曲离散曲面的曲率流理论.对于欧拉示性数为负的曲面,其单值化度量自然是双曲度量.双曲度量具有非常多的优点,因此在工程实 ...

9. 计算共形几何课程总结

   每年暑期,笔者或者在清华大学丘成桐数学中心,或者在线上开设公开课程:计算共形几何.截至2022年,这一传统已经延续十余年,一直得到丘成桐先生的大力支持.在讲课过程中,笔者结交了很多数学界和工程界的朋友 ...

10. 基于python的风险管理方式属于_张家港高校邦_Python科学计算_网课答案

    张家港高校邦_Python科学计算_网课答案3rh4 张家港高校邦_Python科学计算_网课答案 关注公众号{帅搜}即可查询答案 支持:大学网课,智慧树,知到,超星,尔雅,学习通,选修课,公务员,外 ...

最新文章

1. 如何给CentOS安装字体库
2. 【Python整蛊合集】多份整蛊代码，发给朋友之后我.....(友尽系列推荐)
3. c语言错误指导,c语言编程指导.pdf
4. scipy和statsmodels处理回归
5. [javascript] Date 时间精确到天
6. 前端学习（478）：前端简介2
7. 计算机网络抓包参考文献,计算机网络课程设计二(网络抓包与分析)
8. SOTIF预期功能安全工作流程
9. spring data elasticsearch 对应 elasticsearch 版本
10. 3h精通OpenCV（二）-基本功能
11. mysql 使用存储过程批量插数据
12. mybatis日志在线生成sql(日志参数填充,sql日志格式化)
13. 海思HI3751_HMS开发指南
14. mysql 从多个表中删除行,MySQL从多个表中删除行
15. 为什么做机器学习的很少使用假设检验？ （转载）
16. CSS中#号、.号、*号详解
17. ASP.NET 网页模板－基础
18. webpack之entry
19. 摩托罗拉RhoMobile 5.0带来新的授权模型、云服务和KitKat支持
20. UnityShader之毛绒绒效果

热门文章

1. 安全帽检测/人脸识别系统国标GB28181协议云服务EasyGBS搭建智慧工地 助力智慧建筑生态圈
2. python字典get用法_详细解析python字典get()实例教程
3. Vue解决跨域问题之Node反向代理
4. 《漫步华尔街》书中的精髓：在美国市场中，怎样用“随机漫步”的投资方法让自己的投资收益稳步增长
5. day01学习过程笔记
6. Excel通过图片名插入图片
7. 为什么别人可以打开的网站，你却打不开？原因找到了 ,HTTP ERROR 404
8. Java去掉红色印章,基于RGB和HSV实现红色公章删除
9. （生物信息学）R语言与统计学入门（六）—— Pearson和Spearman相关性分析
10. “你是个成熟的设备了，要学会保护自己”