数学分析实数与函数(第1,7章)

一.实数理论
1.实数
(1)定义:

有理数和无理数统称实数;其中有理数可用分数形式pq\frac{p}{q}qp(p,q∈Z,q≠0)表示,也可用有限10进制小数/无限10进制循环小数表示;而无限10进制不循环小数称为无理数

(2)实数的无限小数表达式:

又称为正规表示,作用是把有限小数也表示为无限小数
这种表示是唯一的

对正有限小数(包括正整数)x,当x=a₀.a₁···a_n(0≤a_i≤9,a_i∈Z,i=1,2···n,a_n≠0,a₀为非负整数)时,记x=a₀.a₁···(a_n-1)999···
特别地,当x=a₀为正整数时,记x=(a₀-1).999···
例如:2.001记为2.000999···

对于负有限小数(包括负整数)y,则先将-y表示为无限小数,再在所得的无限小数前加负号
例如:-8记为-7.999···

规定数0表示为0.000···

(3)不足近似与过剩近似:

设x=a₀.a₁···a_n···为非负实数,称有理数x_n=a₀.a₁···a_n为x的n位不足近似,而有理数x−\stackrel{\mathrm{-}}{x}x−_n=x_n+(110\frac{1}{10}101)ⁿ称为x的n位过剩近似(n=0,1···)

对于负实数x=-a₀.a₁···a_n···,其n位不足近似与过剩近似分别规定为x_n=-a₀.a₁···a_n-(110\frac{1}{10}101)ⁿ与x−\stackrel{\mathrm{-}}{x}x−_n=-a₀.a₁···a_n

当n增大时,x_n不减,即x₀≤x₁≤···;x−\stackrel{\mathrm{-}}{x}x−_n不增,即x−\stackrel{\mathrm{-}}{x}x−₀≥x−\stackrel{\mathrm{-}}{x}x−₁≥···

2.实数的大小关系
(1)定义:

对非负实数x=-a₀.a₁···a_n···与y=-b₀.b₁···b_n···,(a₀,b₀为非负整数,0≤a_k,b_k≤9,a_k,b_k∈Z,k=1.2···),若有a_k=b_k(k=0,1···),则称x与y相等,记作x=y;若a₀>b₀或∃非负整数L使a_k=b_k(k=0,1···L)而a_L+1>b_L+1,则称x大于y或y小于x,记作x>y或y<x

对负实数x,y,若按上述规定有-x=-y与-x>-y,则分别称x=y与x<y(或y>x)

规定∀非负实数大于∀负实数

(2)命题:

设x=-a₀.a₁···a_n···与y=-b₀.b₁···b_n···为2个实数,则x>y等价于:∃非负整数n,使x_n>y−\stackrel{\mathrm{-}}{y}y−_n

3.实数与实数集的性质:

记全体实数构成的集合为实数集,记为R

1.R对四则运算是封闭的,即∀2个实数的和/差/积/商(除数不为0)仍是实数
1.1有理数集和复数集对四则运算也是封闭的
2.实数集是有序的,即∀2个实数a,b必满足且只满足下述3个关系之一:a<b,a=b,a>b
3.实数的大小关系具有传递性,即a>b,b>c⇒a>c
4.实数具有阿基米德性(又称阿基米德公理,Archimedes Axiom),即对∀a,b∈R,若b>a>0,则∃∈Z₊,使na>b
5.R具有稠密性,即∀2个不相等的实数间必有其他实数,且既有有理数,又有无理数
6.R与数轴上的点间存在一一对应关系,这反映了实数的完备性

4.绝对值
(1)定义:

实数a的绝对值记为|a|,定义为|a|=a(a≥0)或|a|=-a(a<0)

从数轴上看,|a|就是a到原点O的距离

(2)性质:

1.|a|=|-a|
2.当且仅当a=0时有|a|=0
3.-|a|≤a≤|a|
4.|a|<h⇔-h<a<h,|a|≤h⇔-h≤a≤h(h>0)

5.对∀a,b∈R,有|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|(三角不等式)
6.|ab|=|a||b|
7.|ab\frac{a}{b}ba|=∣a∣∣b∣\frac{|a|}{|b|}∣b∣∣a∣(b≠0)

二.数集
1.区间
(1)区间:

设a,b∈R,称数集{x|a<x<b}为开区间,记为(a,b);称数集{x|a≤x≤b}为闭区间,记为[a,b];称数集{x|a<x≤b}和{x|a≤x<b}为半开半闭区间,记为(a,b]和[a,b);以上几类区间统称有限区间

满足关系式x≥a的全体实数的集合记作[a,+∞);类似地,有(-∞,a],(-∞,a),(a,+∞);以上几类区间统称无限区间

有限区间和无限区间统称区间

(2)邻域:

设a∈R,ζ>0,满足|x-a|<ζ的全体实数的集合称为点a的ζ邻域,记为U(a;ζ)或U(a),即有U(a;ζ)={x||x-a|<ζ}=(a-ζ,a+ζ);a的空心邻域(去心邻域)定义为U°(a;ζ)={x|0<|x-a|<ζ};a的右邻域U₊(a;ζ)=[a,a+ζ),简记为U₊(a);a的左邻域U_-(a;ζ)=(a-ζ,a],简记为U_-(a);a的左去心邻域U°_-(a;ζ)=(a-ζ,a),简记为U°_-(a);a的右去心邻域U°₊(a;ζ)=(a,a+ζ),简记为U°₊(a)

∞邻域U(∞)={x||x|>M},其中M为充分大的正数(下同);+∞邻域U(+∞)={x|x>M};-∞邻域U(-∞)={x|x<-M}

2.有界集
(1)定义:

设S为R中的1个数集,若∃数M(L),使对一切x∈S,都有x≤M(x≥L),则称S有上界(下界),M(L)为S的1个上界(下界)

若S既有上界又有下界,则称S为有界集;若S不是有界集,则称S为无界集

(2)确界:

设S为R中的1个数集,若数η满足:①对∀x∈S,有x≤η ②对∀α<η,∃x₀∈S,使x₀>α,即η是S的最小上界;则称η为S的(正常)上确界,记作η=sup S
设S为R中的1个数集,若数ξ满足:①对∀x∈S,有x≥ξ ②对∀β>ξ,∃x₀∈S,使x₀>β,即ξ是S的最大下界;则称η为S的(正常)下确界,记作ξ=inf S
上确界和下确界合称确界

如果上(下)确界∃,则必定唯一;若S∃上确界和下确界,则inf S≤sup S
S的确界可能属于也可能不属于S

(3)确界原理(定理1.1):

设S为非空数集,若S有上界,则S必有上确界;若S有下界,则S必有下确界

(4)推广确界与确界原理:

若把±∞补充到实数集中,并规定∀实数a与之的关系为:a<+∞,a>-∞,-∞<+∞,则确界可扩充为:若数集S无上界,则定义+∞为S的非正常上确界,记sup S=+∞;若S无下界,则定义-∞为S的非正常下确界,记inf S=-∞

∀非空数集必有上下确界(正常的或非正常的)

三.函数
1.映射:

如果2个集合A与B间存在着对应法则fff,使得对于A中的每个元素a,在B中总∃唯一的1个元素b与之对应,就称fff为从A到B的1个映射,记作f:A→Bf:A→Bf:A→B
其中,b称为a在fff下的像,记作b=f(a)b=f(a)b=f(a);a称为b在fff下的1个原像
集合A称为映射fff的定义域(domain),集合B称为映射fff的陪域(codomain,或上域,或到达域)
A中所有元素的像的集合称为映射fff的值域(range,或像集),记作f(A)={f(a)∣a∈A}或Imff(A)=\{f(a)|a∈A\}或Im ff(A)={f(a)∣a∈A}或Imf

如果f(A)=Bf(A)=Bf(A)=B,则称fff为1个满射;如果A中不同元素在fff下的像不同,则称fff为1个单射;如果fff既是单射又是满射,则称fff为1个双射(或一一对应)

如果映射f,gf,gf,g的定义域/对应法则/陪域都相同,则称这2个映射相等,记作f=gf=gf=g

2.函数定义:

给定2个数集D和M,若有对应法则f,使对∀x∈D,都有唯一的y∈M与之对应,则称f是定义在D上的函数,记作f:D→M;D称为函数f的定义域,x对应的y称为f在x处的函数值,常记为f(x);全体函数值的集合f(D)称为f的值域;x称为自变量,y称为因变量

注意:
①M常用R来代替,因此D和f是确定函数的2个主要因素,所以,常用y=f(x)(x∈D)表示1个函数;2个函数相同,指的是它们拥有相同的D和f(对应法则而非法则的表达形式),如f(x)=1和g(x)=1(x>0)不同,而φ(x)=|x|和ρ(x)=x2\sqrt {x^2}x2相同
②D常取使函数有意义的自变量的全体,称为存在域,此时D可省略
③f给出了D到M的单值对应,也称映射,对于a∈D,f(a)为映射f下a的象,a称为f(a)的1个原象
④对每个x∈D,如果只有1个y与之对应,这样的函数称为单值函数;如果可以有多个y与之对应,称为多值函数;后文的函数均指单值函数
⑤严格来说D可以不是数集,而是其他集合(如点集),但之后讨论的都是定义在数集上的函数
⑥暂时不考虑定义域为空集的函数(称为空函数)
可证明空函数是单射;但在M≠ΦM≠ΦM=Φ时,空函数不是满射;因此空函数不是双射

3.分段函数:

指那些在定义域发不同部分用不同的公式表达的函数,如:
sgnx={1(x>0)0(x=0)−1(x<0)sgnx= \begin{cases} 1\quad&(x>0)\\ 0\quad&(x=0)\\ -1\quad&(x<0) \end{cases} sgnx=⎩⎪⎨⎪⎧10−1(x>0)(x=0)(x<0)
该函数称为符号函数

4.函数的四则运算:

5.复合函数:

6.反函数:

7.初等函数
(1)基本初等函数:

基本初等函数包括:
①常量函数:y=c(c为常数)
②幂函数:y=x^α(α为实数)
③指数函数:y=a^x(a>0,a≠1)
④对数函数:y=log_ax(a>0,a≠1)
⑤三角函数:y=sin x,y=cos x,y=tan x,y=cot x
⑥反三角函数:y=arcsin x,y=arccos x,y=arctan x,y=arccot x

(2)扩展幂函数与指数函数的定义:

(3)初等函数:

由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得的函数,称为初等函数;其他函数统称为非初等函数,如狄利克雷函数与黎曼函数

四.某些具有特殊性质的函数
1.有界函数:

2.单调函数:

定理1.2:设y=f(x)(x∈D)为严格增(减)函数,则f必有反函数f^-1,且f^-1在其定义域f(D)上也是严格增(减)函数

3.奇函数与偶函数:

4.周期函数:

四.实数的完备性
1.实数集完备性的基本定理

(1)区间套定理:

定理7.1:若{[an,bn]}\{[a_n,b_n]\}{[an,bn]}是1个区间套,则在实数系中∃唯一1点ξ\xiξ,使得ξ∈[an,bn](n=1,2...)\xi∈[a_n,b_n](n=1,2...)ξ∈[an,bn](n=1,2...),即an≤ξ≤bn(n=1,2...)a_n≤\xi≤b_n(n=1,2...)an≤ξ≤bn(n=1,2...)

各区间均为闭区间时,才能保证该定理成立;对开区间列,可能不成立,如对{(0,1n)}\{(0,\frac{1}{n})\}{(0,n1)}就不成立

推论:若ξ∈[an,bn](n=1,2...)\xi∈[a_n,b_n](n=1,2...)ξ∈[an,bn](n=1,2...)是区间套{[an,bn]}\{[a_n,b_n]\}{[an,bn]}确定的点,则对∀ε>0,∃N>0,∀ε>0,∃N>0,∀ε>0,∃N>0,使当n>Nn>Nn>N,有[an,bn]⊂U(ξ;ε)[a_n,b_n]\subset U(\xi;ε)[an,bn]⊂U(ξ;ε)

用定理7.1推出连续函数根的存在性定理:

(2)魏尔斯特拉斯聚点定理(Weierstrass Accumulative Point Principle):

聚点的另2个等价定义如下:

定理7.2:实轴上的∀有界无限点集S至少有1个聚点

(3)海涅-博雷尔有限覆盖定理(Heine-Borel Theorem):

定理7.3:设H为[a,b]上的1个无限开覆盖,则从H中可选出有限个开区间来覆盖[a,b]

该定理仅对闭区间[a,b]成立,对开区间不一定成立;如开区间集合(1n+1,1)(n=1,2...)和开区间(0,1){(\frac{1}{n+1},1)}(n=1,2...)和开区间(0,1)(n+11,1)(n=1,2...)和开区间(0,1)

用定理7.3证明闭区间上连续函数的有界性定理:

(4)实数完备性基本定理间的等价性:
参见:
http://www.360doc.com/document/18/0319/21/32929879_738532695.shtml

在实数系中有关实数完备性的6个基本定理是等价的,可从其中任何1个推出另外5个
1⇒2:见极限.一.5.(2) 部分,即定理2.9的证明
2⇒3:见四.1.(1) 部分,即定理7.1的证明
3⇒4:见四.1.(3) 部分,即定理7.3的证明
4⇒5:

6⇒1:

2.上极限与下极限
(1)数列的聚点:

注1:此处仍然不区分实数与实数轴上的点,因此点列的聚点等同于数列的聚点,数列或点列的聚点也称极限点

(2)定理7.4:

有界点列(或数列){x_n}至少有1个聚点,且存在最大聚点和最小聚点

(3)上极限与下极限:

定理7.5:对任何有界数列{x_n},有lim⁡n→∞‾xn≤lim⁡n→∞‾xn\overline{\displaystyle\lim_{n \to \infty}}{x_n}≤\displaystyle\lim_{\overline{n \to \infty}}{x_n}n→∞limxn≤n→∞limxn
定理7.6:lim⁡n→∞xn=A\displaystyle\lim_{n \to \infty}{x_n}=An→∞limxn=A的充要条件是:lim⁡n→∞‾xn=lim⁡n→∞‾xn=A\overline{\displaystyle\lim_{n \to \infty}}{x_n}=\displaystyle\lim_{\overline{n \to \infty}}{x_n}=An→∞limxn=n→∞limxn=A

(4)上(或下)极限的判定:

定理7.7:设{x_n}为有界数列:
(Ⅰ)A‾\overline{A}A为{x_n}上极限的充要条件是:对∀ε>0,①∃N>0,使当n>N,有xn<A‾+εx_n<\overline{A}+εxn<A+ε ②∃子列xnk,xnk>A‾−ε(k=1,2...){x_{n_k}},x_{n_k}>\overline{A}-ε(k=1,2...)xnk,xnk>A−ε(k=1,2...)
(Ⅱ)A‾\underline{A}A为{x_n}下极限的充要条件是:∀ε>0,①∃N>0,使当n>N,有xn>A‾−εx_n>\underline{A}-εxn>A−ε ②∃子列xnk,xnk<A‾+ε(k=1,2...){x_{n_k}},x_{n_k}<\underline{A}+ε(k=1,2...)xnk,xnk<A+ε(k=1,2...)

定理7.7’(定理7.7的另1种形式):设{x_n}为有界数列:
(Ⅰ)A‾\overline{A}A为{x_n}上极限的充要条件是:对∀α>A‾∀α>\overline{A}∀α>A,{x_n}中大于α的项至多有有限个;对∀β<A‾∀β<\overline{A}∀β<A,{x_n}中大于β的项有无限多个
(Ⅱ)A‾\underline{A}A为{x_n}下极限的充要条件是:对∀β<A‾∀β<\underline{A}∀β<A,{x_n}中小于β的项至多有有限个;对∀α>A‾∀α>\overline{A}∀α>A,{x_n}中小于α的项有无限多个

定理7.9:设{x_n}为有界数列:
(Ⅰ)A‾\overline{A}A是{x_n}上极限的充要条件是:A‾=lim⁡n→∞sup{xk}(k≥n)\overline{A}=\displaystyle\lim_{n \to \infty}{sup\{x_k\}}(k≥n)A=n→∞limsup{xk}(k≥n)
(Ⅱ)A‾\underline{A}A是{x_n}下极限的充要条件是:A‾=lim⁡n→∞inf{xk}(k≥n)\underline{A}=\displaystyle\lim_{n \to \infty}{inf\{x_k\}}(k≥n)A=n→∞liminf{xk}(k≥n)
有些教材上使用上述2式作为上极限和下极限的定义

(5)上(或下)极限的性质:

上(或下)极限的保不等式性(定理7.8):设有界数列{a_n},{b_n}满足:∃N₀>0,当n>N₀时有a_n≤b_n,则lim⁡n→∞‾an≤lim⁡n→∞‾bn,lim⁡n→∞‾an≤lim⁡n→∞‾bn\overline{\displaystyle\lim_{n \to \infty}}{a_n}≤\overline{\displaystyle\lim_{n \to \infty}}{b_n},\displaystyle\lim_{\overline{n \to \infty}}{a_n}≤\displaystyle\lim_{\overline{n \to \infty}}{b_n}n→∞liman≤n→∞limbn,n→∞liman≤n→∞limbn特别地,若α,β为常数,又∃N₀>0,当n>N₀时有α≤a_n≤β,则α≤lim⁡n→∞‾an≤lim⁡n→∞‾an≤βα≤\displaystyle\lim_{\overline{n \to \infty}}{a_n}≤\overline{\displaystyle\lim_{n \to \infty}}{a_n}≤βα≤n→∞liman≤n→∞liman≤β

定理7.10:设{a_n},{b_n}为有界数列,则:lim⁡n→∞‾(an+bn)≤lim⁡n→∞‾an+lim⁡n→∞‾bn\overline{\lim_{n\to\infty}}{(a_n+b_n)}≤\overline{\lim_{n\to\infty}}{a_n}+\overline{\lim_{n\to\infty}}{b_n}n→∞lim(an+bn)≤n→∞liman+n→∞limbn特别地,若lim⁡n→∞an(1)\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}{a_n}\qquad(1)n→∞liman(1)存在,则:lim⁡n→∞‾(an+bn)=lim⁡n→∞‾an+lim⁡n→∞‾bn=lim⁡n→∞an+lim⁡n→∞‾bn(2)\overline{\lim_{n\to\infty}}{(a_n+b_n)}=\overline{\lim_{n\to\infty}}{a_n}+\overline{\lim_{n\to\infty}}{b_n}=\lim_{n\to\infty}{a_n}+\overline{\lim_{n\to\infty}}{b_n}\qquad(2)n→∞lim(an+bn)=n→∞liman+n→∞limbn=n→∞liman+n→∞limbn(2)

(6)非正常上(或下)极限:

若该定义中的a允许是非正常点±∞,则定理7.4可扩充为:任一点列(或数列){x_n}至少有1个聚点,且存在最大聚点和最小聚点

无上(下)界点列的最大(小)聚点为+∞(-∞),故无上(下)界点列有非正常上(下)极限+∞(-∞),

对非正常上(或下)极限,定理7.5-7.9也成立(其中定理7.7需要修改)

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