程序员”脑筋急转弯”

题目1

有一个8×8的国际象棋棋盘，对角线两端的方格被去掉了。你有31个多米诺骨牌，每个骨牌能覆盖棋盘上两个方格。你能用31个多米诺骨牌覆盖整个棋盘吗( 不包含去掉的2个方格)。如果能，请给出覆盖方案；如果不能，请说明为什么。

解答1

这是一道非常经典的问题，详情见：Mutilated chessboard problem。这道题目的答案是不能。为什么呢？先让我们来看看下面的图。

如果不去掉对角的两个方格，我们可以用32个多米诺骨牌把棋盘完全覆盖，每个骨牌覆盖两个方格，共覆盖了32*2=64个方格。并且，每个骨牌正好覆盖一个红色方格和一个黄色方格。也就是，我每往棋盘上放一个骨牌，棋盘上就少掉一个红色方格和一个黄色方格，这是一个必然事件。那么，当对角的两个黄色方格被去掉后，剩下32个红色方格和30个黄色方格。我每放一个骨牌还是会覆盖掉一个红色方格和一个黄色方格，最后的情况是，剩下2个红色方格。从棋盘上可以看出，任意两个红色方格都无法用一个骨牌覆盖，因此，这道题目的答案是不能用31个多米诺骨牌将去掉两个角的棋盘覆盖。

这道题目的关键就是棋盘的着色，如果你画一个8×8的白色棋盘，也许会很茫然的不知如何下手。这道题目推广一下，可以得到以下结论：从棋盘上任意去掉两个方格，如果去掉方格的颜色是一样的，那么，我们无法用31个多米诺骨牌将剩余的方格覆盖；如果去掉的方格的颜色是不一样的，那么，我们一定可以用31个多米诺骨牌将剩余的方格覆盖。

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题目2

你有两个瓶子，一个可以装5升水，一个可以装3升水，怎样利用这两个瓶子量出4升水来。

解答2

简单题。先装满5升水，倒到3升的瓶子里，5升的瓶子中剩余2升水；再把3升的瓶子倒空，把5升瓶子里的2升水倒到3升的瓶子里，3升瓶子还可装1升水；最后装潢5升水，往3升瓶子里倒，当3升瓶子满时，5升瓶子里就正好装了4升水。

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题目3

在一个岛上有一群人，他们中有些人的头上被戴上了一顶神奇的帽子(至少有一人戴了帽子)，这顶帽子别人看得到，但戴帽子的人自己看不到。想要去掉这顶帽子，需要戴着帽子的本人在正好午夜的时候，把自己泡在水里。如果有n个人，c个帽子，需要多长的时间才能把所有的帽子都摘除。注：这群人不能相互告诉对方他们的头上是否有帽子。

解答3

也是被问烂的智力题之一了吧。与它类似的一个题目是：村庄里有几条病狗？这类题目的一个前提是题中的人都要非常聪明，懂推理。不然，题目就没有任何意义了。这类题目都是从一个条件的最基本情况出发，然后得出规律。比如这道题，假如只有一个帽子，那么戴着帽子的那个人出去一看，另外n-1个人都没有帽子，而题目已经说了，至少有一个人是戴着帽子的，所以可以推断唯一一个戴着帽子的就是自己，于是他会在第1天的午夜泡到水里，去掉头上的帽子。如果有2个帽子，比如说是A和B戴着，A第1天发现B是戴着帽子的，而A又不知道一共有多少个帽子，所以他无法判断自己头上是否戴了帽子，因此A第1天什么也不做。同理，B也一样。到了第二天，A发现B还戴着他的帽子，这就说明了至少要有2顶帽子。否则如果只有一顶， B能推理出来，并且在第一天午夜就去掉它了。如果至少有2顶，B已经戴了一顶，那么另一顶就在自己(A)头上了，所以A在第2天的午夜去掉了帽子。同理， B也做出了同样的推理，在第2天午夜去掉了帽子。

从以上的分析我们马上可以得出，如果有c个帽子，那么需要c天的时间才能把所有的帽子去掉，而且这c个人都是在第c天的午夜才摘除帽子的。

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题目4

有一栋楼共100层，一个鸡蛋从第N层及以上的楼层落下来会摔破，在第N层以下的楼层落下不会摔破。给你2个鸡蛋，设计方案找出N，并且保证在最坏情况下，最小化鸡蛋下落的次数。

解答4

我们先假设最坏情况下，鸡蛋下落次数为x，即我们为了找出N，一共用鸡蛋做了x次的实验。那么，我们第一次应该在哪层楼往下扔鸡蛋呢？先让我们假设第一次是在第y层楼扔的鸡蛋，如果第一个鸡蛋在第一次扔就碎了，我们就只剩下一个鸡蛋，要用它准确地找出N，只能从第一层向上，一层一层的往上测试，直到它摔坏为止，答案就出来了。由于第一个鸡蛋在第y层就摔破了，所以最坏的情况是第二个鸡蛋要把第1到第y-1层的楼都测试一遍，最后得出结果，噢，原来鸡蛋在第y-1层才能摔破(或是在第y-1层仍没摔破，答案就是第y层。) 这样一来测试次数是1+(y-1)=x，即第一次测试要在第x层。OK，那如果第一次测试鸡蛋没摔破呢，那N肯定要比x大，要继续往上找，需要在哪一层扔呢？我们可以模仿前面的操作，如果第一个鸡蛋在第二次测试中摔破了，那么第二个鸡蛋的测试次数就只剩下x-2次了(第一个鸡蛋已经用了2次)。这样一来，第二次扔鸡蛋的楼层和第一次扔鸡蛋的楼层之间就隔着x-2层。我们再回过头来看一看，第一次扔鸡蛋的楼层在第x层，第1层到第x层间共x层；第1次扔鸡蛋的楼层到第2次扔鸡蛋的楼层间共有x-1层(包含第2次扔鸡蛋的那一层)，同理继续往下，我们可以得出，第2次扔鸡蛋的楼层到第3次扔鸡蛋的楼层间共有x-2层， ……最后把这些互不包含的区间数加起来，应该大于等于总共的楼层数量100，即

1： x + (x-1) + (x-2) + ... + 1 >= 100
2： (x+1)*x/2 >= 100

得出答案是14。

即我先用第1个鸡蛋在以下序列表示的楼层数不断地向上测试，直到它摔破。再用第2个鸡蛋从上一个没摔破的序列数的下一层开始，向上测试，即可保证在最坏情况下也只需要测试14次，就能用2个鸡蛋找出从哪一层开始，往下扔鸡蛋，鸡蛋就会摔破。

14, 27, 39, 50, 60, 69, 77, 84, 90, 95, 99, 100

比如，我第1个鸡蛋是在第77层摔破的，那么我第2个鸡蛋就从第70层开始，向上测试，第二个鸡蛋最多只需要测试7次(70,71,72,73,74,75,76)，加上第1个鸡蛋测试的 7次(14,27,39,50,60,69,77)，最坏情况只需要测试14次即可得出答案。

这个问题还有一个泛化的版本，即d层楼，e个鸡蛋，然后设计方案找出N，使最坏情况下测试的次数最少。

维基上给出了DP的解法，感兴趣的话也可以看看以下链接：

The puzzle of eggs and floors

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题目5

在过道上有100把上了锁的锁头。有一个人，第一次操作把这100把锁都打开了；第二次操作，每隔1个锁他就把锁给锁上(即把编号2，4，6…100的锁锁上)。第三次操作，每隔2个锁他就改变锁的状态，即如果原本是开着的，他就锁上；原本是锁着的，他就给打开。(操作对象是编号为3,6,9…99的锁)。当他做完第100次操作后(即只对编号为100的锁操作)，打开着的锁有几把？

解答5

简单题。每次就改变一些锁的状态。第1把锁只会在第1次操作时被改变状态，第2把锁会在第1次及第2次操作时被改变状态，假设能被i整除的数有a,b,c， (包含1和它本身)，那么第i把锁会被改变3次，分别是在第a，b，c次操作的时候。这样一来，对于第i把锁，如果能被i整除的数有奇数个，那么它最后的状态一定打开的，否则则是关闭的。问题就转换为1到100的数中，哪些数能整除的数的个数有奇数个。而，一个数i如果能整除a，那么它也可以整除i/a，这样一来，一个数能整除的数总是成对出现，为了使个数是奇数，这里面一定要有一对是相等的，即a = i/a，也就是：i = a2，所以，最后开着的锁就是编号为完全平方数的锁，即：

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100

一共有10把锁是打开着的。

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