自然数的物理化学性质

数学是自然科学的基础，物理学和化学的许多原理必须用数学来解释和描述。这里我们反其道而行之，我们用物理化学的概念来解释数的性质。

在数学上，数有复数，无理数，有理数，整数，自然数之分。我们这里仅仅讨论最简单的一类数，自然数。

对于自然数，我们能够从2个角度来讨论之。

1. 第一个角度，我们在计数系统中讨论自然数

我们知道自然数有2个含义。1是计数，表示数的多少。2是序数，表示物体的顺序。计数系中，最基本的数是1，它是数的最基本单位，在基本单位的基础上，不断的增加一个单位，就得到一个又一个的自然数。将自然数与原子这个概念对应，数1对应于氢原子（只有一个质子）。和原子不同的是，自然数只含带电的“质子”，不含中子。自然数的质量类似于原子的序数或者核电荷数，等于自然数的值。两个自然数相加得到一个新的自然数，满足自然数的质量守恒定律，即将2个自然数相加，其和的质量等于两个加数的质量的和。自然数的计数概念是小学一年级数学课的研究对象，是自然数的的初级概念。这里，我们这里讨论的重点是自然数的另一个方面，自然数的化学性质，我们从化学角度来研究数，对应于数的高级概念--数论。

2. 第二个角度，我们从化学角度来讨论数

2.1 自然数的元素论

我们知道，化学的基本概念是元素，所有物质都是由元素构成，只有一种元素组成的物质叫单质，包含一种以上元素的构成的纯净物称之为化合物。而数论的基本概念是质数，所有的数都可以表示为质数的乘积，即自然数的唯一分解定理。质数的分解式只包括一个质数，而合数的分解式则包含一个以上的质数。我们这里将质数对应于化学概念的元素，而合数则对应于化学概念的化合物。我不知道，物理学家是否证明了有无限多种元素。但数学家已经证明，有无限多个质数。

2.2 自然数的合成

在化学上，两种或者两种以上单质在一定条件下可发生化学反应，生成化合物。类似的，两个或者多个质数进行相乘可得到一个合数。质数相乘和化学反应不同，化合反应可能消耗能量，也可能释放能量，而在质数相乘得到合数的过程中总是要消耗能量。在自然科学领域中，能量的单位是焦耳。而在数的合成过程中，消耗的能量则用CPU指令的周期数来表示。

2.3 自然数的分解

与化合反应相对的是分解反应，化合物在一定的条件下，可以分解成单质。类似的，合数亦可分解，分解成为质数的乘积表示。同等质量的不同化合物进行分解反应所需要的能量一般是不同的，这和组成它的元素的有关，如分解氧化汞只需要较低的温度，较少的能量，而分解氟化钾则只能使用电化学分解法，需要很多能量。类似的，分解一个自然数需要的能量也不相同，这和组成它的质数的有关，一般的，当一个合数的各个质因数都较小时，需要较少的能量，反之则需要较多的能量，合数的分解是数论中的一个重要研究课题。

2.4 自然数的质量

数不同于普通物体，它是无形的，没有长宽高的概念，也没有重量。我们这里定义数的数的质量等于数的长度。数的长度用对数来定义。对数的底数，也称为基radix，一般选择2^n或者10^n .如2，2^32, 10,1000 等。例如，以2作为基，则2进制数1000的长度(质量)=log2(8)=3, 1111的长度（质量）等于log2(15)=3.9.

2.5 自然数的体积

我们定义数的体积为，存储一个数所占用的空间。我们知道，一个数必须存储在一个或者多个连续的存储单元中，存储单元可能是内存中的一个存储单元，也可能是磁盘中的一个扇区。存储单元的大小是离散的，最小单位是bit，表示一个2进制位, 除了bit 外，还有byte(1byte=8bit), word（1word=2byte），dword(1dword=4byte),sector (1 sector=512byte). 我们定义byte,word,dword等为数的体积单位。如果将2进制数1000存储于一个字节单元，则它将占用1byte，如果将其存储于一个DWORD单元，则它将占用1个DWORD。可见，同样一个数，存储于不同存储单元，占据的空间也不一样，所以体积也不一样。

2.6 自然数的密度

我们定义自然数的质量与其体积之比为自然数的密度。如果采用常规的存储方式（非压缩方法）存储自然数，则自然数的密度总是小于1，借用极限的概念，可无限接近但总是不能达到1. 例如，我们采用字节单元存储2进制数1111，则radix（基）等于256, 它的长度是log256(15) ≈0.488，而 2进制数11111111 的长度log256(255) ≈0.999, 他们的体积都是1，所以其密度分别为0.488和0.999.

2.7 自然数的质量守恒定律

若自然数c=a*b, 由对数的性质可知 log(c)=log(a)+log(b), 而由于自然数n的质量定义为log(n),故有定理，两个自然数乘积的质量等于两个自然数质量的和。故此，我们可以所，在自然数合成过程中，遵循质量守恒定律。

2.8 自然数化合反应和质能方程

定义1：我们定义自然数的能量e=0.5×m^２(二分之一乘以m的平方)。

定义2：若自然数n1的体积是V1, n2的体积是V2, 则两个自然数相乘所消耗的能量是V1×V2.

如果两个自然数非常接近于radix，则m接近于v，如以10为基，9000和9999的体积都是4，而质量分别为3.95和3.999957。容易看出，一个数的质量越大，则其质量和体积越接近，密度越接近于1. 在自然数很大的情况下，有近似公式：两个自然数相乘消耗的能量等于两个自然数质量的乘积。可以证明，多个充分大的自然数相乘所需的能量和相乘的顺序无关。下面用例子证明，若n1,n2,n3,n4表示4个充分大的自然数，为了方便起见，我们设它的体积都是1，而质量都近似为1. 我们采用两种方式相乘。

方式1：

step1： r1= n1 * n2 , 消耗的能量为1×1=1，r1的质量为2

step2： r2= r1 * n3 , 消耗的能量为2×1=1，r2的质量为3

step3： r3= r2 * n4 , 消耗的能量为3×1=1，r3的质量为4

在整个相乘的过程中，消耗的能量等于1+2+3=6.

方式2：

step1： r1= n1 * n2 , 消耗的能量为1×1=1，r1的质量为2

step2： r2= r3 * n4 , 消耗的能量为1×1=1，r2的质量为2

step3： r3= r2 * r3 , 消耗的能量为2×2=4，r4的质量为4

在整个相乘过程中，消耗的能量为1+1+4=6。所以自然数的合成过程消耗的能量和合成顺序无关。在方式1中，在化合反应之前，4个自然数的能量是4×（0.5×1×1）=2，在化合反应后，其积的能量是0.5×4×4=8，消耗的能量是8-2=6，这和方式1和方式2得到的结果是相同的。固有,几个充分大的数进行化合反应（相乘），其积的能量等于各个数的能量加上消耗的能量，这可以看作是数的化合反应能量守恒定律。注意，数的分解不遵循能量守恒定律。

2.9 理想能耗和实际能耗

值得注意的是，2.8 的结论是基于自然数的密度近似于1的情况下做出的。当自然数的密度远小于1时，则自然数相乘所需能量则和相乘顺序有关。现举例如下，若n1,n2,n3,n4 是自然数，其密度接近于0.5，如在DWORD为体积单位，n=65535，则其密度为log（65535）/log(4294967296) ≈0.499999312. 则2种相乘顺序消耗的能量如下：

方式1：

step1： r1= n1 * n2 ,消耗的能量为1×1=1，r1的质量=0.5+0.5=1，体积为1

step2： r2= r1 * n3 , 消耗的能量为1×1=1，r2的质量=1+0.5=1.5,，体积为2

step3： r3= r2 * n4 , 消耗的能量为2×1=2，r3的质量为1.5+0.5=2，体积为2

方式2：

step1： r1= n1 * n2 ,消耗的能量为1×1=1，r1的质量=0.5+0.5=1，体积为1

step2： r2= n3 * n4 ,消耗的能量为1×1=1，r2的质量=0.5+0.5=1,，体积为1

step3： r3= r1 * r2 , 消耗的能量为1×1=1，r3的质量为1+1，体积为2

由方式1和方式2的3个步骤可知，方式1消耗的总能量为4，而方式2消耗的总能量仅为3. 此时四个数乘积的能量为0.5×2×2=2，容易看出，其能量小于四个数的能量的和与消耗的能量的和。在2.8中，我们定义，若自然数n1的体积是V1, n2的体积是V2, 则两个自然数相乘所需要的能量E =V1*V2。这里的e为实际消耗的能量，称为实际能耗。我们这里再做一个定义，理想能耗E=m1*m2. 由于数的质量总是小于数的体积，所以实际能耗总是高于理想能耗。我们称理想能耗与实际能耗的比为功率因子。在计算若干个数的乘积时，我们总是希望功率因子越大越好。为此，我们需要遵循的原则是，在做每次乘法是，尽量使得两个乘数的质量相近。

特别说明，本文为作者在思考阶乘算法中得到的一些有趣的理论。首次发表于作者的Csdn博客和数学研发论坛，转载请注明原始出处。作者e-mail:liangbaoch@163.com