博主退役了。

博主去学文化课了。

博主发现文化课好难。

博主学不动了。

诱导公式

先给出一张重要的图

（快感谢我这次用 Geogebra 画图而不是 MS-Paint）

第一组

\[\sin (\alpha+k\cdot 2\pi)=\sin\alpha(k\in Z)\]

\[\cos (\alpha+k\cdot 2\pi)=\cos\alpha(k\in Z)\]

\[\tan (\alpha+k\cdot 2\pi)=\tan\alpha(k\in Z)\]

第二组

\[\sin(\alpha+\pi)=-\sin \alpha\]

\[\cos(\alpha+\pi)=-\cos\alpha\]

\[\tan(\alpha+\pi)=\tan\alpha\]

第三组

\[\sin(-\alpha)=-\sin\alpha\]

\[\cos(-\alpha)=\cos\alpha\]

\[\tan(-\alpha)=-\tan\alpha\]

第四组

\[\sin(\pi-\alpha)=\sin \alpha\]

\[\cos(\pi-\alpha)=\cos\alpha\]

\[\tan(\pi-\alpha)=-\tan\alpha\]

以上四组根据上图显然。

第五组

\[\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\cos\alpha\]

\[\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\sin\alpha\]

\[\tan(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\frac{1}{\tan\alpha}\]

这是常识（雾）。

第六组

\[\sin(\alpha+\frac{\pi}{2})=\cos\alpha\]

\[\cos(\alpha+\frac{\pi}{2})=-\sin\alpha\]

\[\tan(\alpha+\frac{\pi}{2})=-\frac{1}{\tan\alpha}\]

证明：

\[\begin{aligned} \sin(\alpha+\frac{\pi}{2}) &=\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha-\frac{\pi}{2})\\ &=\cos(-\alpha)\\ &=\cos \alpha \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} \cos(\alpha+\frac{\pi}{2}) &=\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha-\frac{\pi}{2})\\ &=\sin(-\alpha)\\ &=-\sin \alpha \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} \tan(\alpha+\frac{\pi}{2}) &=\frac{\sin(\alpha+\frac{\pi}{2})}{\cos(\alpha+\frac{\pi}{2})}\\ &=\frac{\cos\alpha}{-\sin\alpha}\\ &=-\frac{1}{\tan\alpha} \end{aligned}\]

和差角公式

\[\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\]

\[\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\]

\[\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\]

\[\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\]

证明：如图所示，\(A(\cos\alpha,\sin\alpha)\)，\(B(\cos\beta,\sin\beta)\) 。

此处需要用到向量点积。

\[\begin{aligned} \cos(\alpha-\beta)&= \frac{\vec{OA}\cdot\vec{OB}}{|\vec{OA}||\vec{OB}|}\\ &=\frac{x_Ax_B+y_Ay_B}{1\times1}\\ &=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} \cos(\alpha+\beta) &=\cos\left(\alpha-(-\beta)\right)\\ &=\cos\alpha\cos(-\beta)+\sin\alpha\sin(-\beta)\\ &=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\\ \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} \sin(\alpha-\beta) &=\cos(\frac{\pi}{2}-(\alpha-\beta))\\ &=\cos((\frac{\pi}{2}-\alpha)+\beta))\\ &=\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)\cos\beta-\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)\sin\beta\\ &=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\\ \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} \sin(\alpha+\beta) &=\cos(\frac{\pi}{2}-(\alpha+\beta))\\ &=\cos((\frac{\pi}{2}-\alpha)-\beta))\\ &=\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)\cos\beta+\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)\sin\beta\\ &=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\\ \end{aligned}\]

二倍角公式

\[\cos(2\alpha)=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha\]

\[\sin(2\alpha)=2\cos\alpha\sin\alpha\]

将 \(2\alpha\) 带入加法公式即可。

\[\tan(2\alpha)=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}\]

证明：

\[\begin{aligned} \tan(2\alpha) &=\frac{\sin{2\alpha}}{\cos{2\alpha}}\\ &=\frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}\\ &=\frac{\frac{2\sin\alpha}{\cos\alpha}}{1-\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}}\\ &=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha} \end{aligned} \]

半角公式

\[\cos(\frac{\alpha}{2})=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}\]

\[\sin(\frac{\alpha}{2})=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}\]

证明：

\[\begin{aligned} \cos\alpha&=2\cos^2(\frac{\alpha}{2})-1\\ \cos(\frac{\alpha}{2})&=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}\\ \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} \cos\alpha&=1-2\sin^2(\frac{\alpha}{2})\\ \sin(\frac{\alpha}{2})&=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}\\ \end{aligned}\]

\[\begin{aligned} \tan(\frac{\alpha}{2})&=\frac{\sin(\frac{\alpha}{2})}{\cos(\frac{\alpha}{2})}\\ &=\frac{\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}}{\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}}\\ &=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+cos\alpha}} \end{aligned}\]

正弦定理

\[\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R\]

其中 \(R\) 是外接圆半径。

余弦定理

\[a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\]